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1、 1 第二章 数列与不等式 专题 08 数列中的最值问题【压轴综述】纵观近几年的高考命题，考查常以数列的相关项以及关系式，或数列的前 n 项和与第 n 项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项、前 n 项和，有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合探求数列中的最值问题，是数列不等式的综合应用问题的命题形式之一.本专题通过例题说明此类问题解答规律与方法.1.常见思路一：构建函数模型，利用函数的图象和性质解决最值问题；2.常见思路二：构建函数模型，应用导数研究函数的最值；3.常见思路三：构建不等式求解，确定范围，实现求最值；4.常见思路四：应用基本不等式
2、，确定最值【压轴典例】例 1.（河南省开封市 2019 届高三第三次模拟（理)）已知等比数列满足：，则取最小值时，数列 的通项公式为（）A B C D【答案】A【解析】设等比数列的公比为 当时，则 当时，两式相减得：即 解得 又 2 当且仅当时，等号成立.取最小值 1 时，故选 A.例 2.（安徽省黄山市 2019 届高三第二次检测）已知数列和的前 项和分别为和，且，若对任意的，恒成立，则 的最小值为（）A B C D【答案】B【解析】因为，所以，相减得，因为，所以，又，所以,因为，所以,因此，,从而,即 的最小值为，选 B.例 3.（2016 高考上海文）无穷数列 na由k个不同的数组成，n
3、S为 na的前n项和.若对任意Nn，3,2nS，则k的最大值为_.【答案】max4k【解析】当1n 时，12a 或13a；当2n时，若2nS，则12nS，于是0na，若3nS，则13nS，于是0na.从而存在Nk，当n k时，0ka.其中数列 na：2,1,1,0,0,0,满足条件，所以max4k.3 例 4.（广西柳州市 2019 届高三 1 月模拟）已知点在函数的图象上（）.数列的前 项和为，设，数列的前 项和为.则的最小值为_【答案】【解析】点在函数图象上，,是首项为，公比的等比数列，则，是首项为，公差为 2 的等差数列，当，即时，最小，即最小值为.例 5.（广东省华南师范大学附属中学、
4、广东实验中学、广雅中学、深圳中学 2019 届高三上期末）等差数列的前n项和为，对一切恒成立，则 的取值范围为_ _.【答案】【解析】，所以，由得，由函数的单调性及知，当或时，最小值为 30，故.例 6.（2018江苏高考真题）已知集合*|21,Ax xnnN，*|2,nBx xnN将ABU的所有元素从小到大依次排列构成一个数列na记nS为数列na的前n项和，则使得112nnSa成立的n的最小值为_【答案】27【解析】4 设=2kna，则12(2 1 1)+(221)+(2 21)222 kknS LL 11221212 212(12)22221 2kkkkk 由112nnSa得2211 21
5、1522212(21),(2)20(2)140,22,6kkkkkkk 所以只需研究5622na是否有满足条件的解，此时25(2 1 1)+(221)+(21)222 nSmLL 25 122m，+121nam，m为等差数列项数，且16m.由25 122212(21),2450022,527mmmmmnm，得满足条件的n最小值为27.例 7.（2019天津高考模拟（文）已知数列na是正项等比数列，1342310,2aaaaa,数列 nb满足条件123(2)nbna a aa L.()求数列na、nb的通项公式；()设11nnncab,记数列 nc的前n项和nS.求nS；求正整数k，使得对任意n
6、N，均有knSS.【答案】（1）2nna，1;nbn n（2）11;12nnSn 4k.【解析】（1）设数列 na是正项等比数列的公比为0q，因为1310aa，4232aaa 所以有1113211110222aa qaa qa qa qq，所以2;nna 1232nbna a aaL231 2 32222(2)2(2)nnbbnn 5(1)2222(1);nbn nnbn n（2）因为 11nnncab，所以，123nnScccc，123123()()nnnSaaaabbbb，111()111122,11 22 33 4(1)12nnSnn 111111111()(1),2223341nnSn
7、n 11111()1().2112nnnSnn 令11111111(1)(2)2()()22122(1)(2)nnnnnnnnSSnnnn，由于12n比(1)(2)nn变化的快，所以10nnSS，得4n，即1234,S SSS,递增而456,nSSSS递减，4S是最大，即当4k 时，对任意*nN，均有knSS.例 8.（2019江苏高考真题）定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M数列”.（1）已知等比数列an满足：245132,440a aa aaa，求证:数列an为“M数列”；（2）已知数列bn满足:111221,nnnbSbb，其中Sn为数列bn的前n项和 求数列bn的通项公式；设m
8、为正整数，若存在“M数列”cn，对任意正整数k，当km时，都有1kkkcbc剟成立，求m的最大值【答案】（1）见解析；（2）bn=n*nN；5.【解析】（1）设等比数列an的公比为q，所以a10，q0.6 由245321440a aaaaa，得244112111440a qa qa qa qa，解得112aq 因此数列na为“M数列”.（2）因为1122nnnSbb，所以0nb 由1111,bSb得212211b，则22b.由1122nnnSbb，得112()nnnnnb bSbb，当2n 时，由1nnnbSS，得111122nnnnnnnnnb bbbbbbbb，整理得112nnnbbb 所
9、以数列bn是首项和公差均为 1 的等差数列.因此，数列bn的通项公式为bn=n*nN.由知，bk=k，*kN.因为数列cn为“M数列”，设公比为q，所以c1=1，q0.因为ckbkck+1，所以1kkqkq，其中k=1，2，3，m.当k=1 时，有q1；当k=2，3，m时，有lnlnln1kkqkk 设f（x）=ln(1)xxx，则21 ln()xf xx 令()0f x，得x=e.列表如下：x(1,e)e(e，+)()f x+0 f（x）极大值 7 因为ln2ln8ln9ln32663，所以maxln3()(3)3f kf 取33q，当k=1，2，3，4，5 时，lnlnkqk，即kkq，经
10、检验知1kqk也成立 因此所求m的最大值不小于 5 若m6，分别取k=3，6，得 3q3，且q56，从而q15243，且q15216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于 6.综上，所求m的最大值为 5【压轴训练】1（2019安徽高考模拟（文）已知等差数列na的前n项和为nS，且8109SSS，则满足0nS 的正整数n的最大值为（）A16 B17 C18 D19【答案】C【解析】由8109SSS得，90a，100a，9100aa，所以公差大于零.又117179171702aaSa，1191910191902aaSa，1181891018902aaSaa，故选 C.2（2019北京师大附中高考模
11、拟（文）已知正项等比数列an满足：a7=a6+2a5，若存在两项 am、an，使得aman=16a12，则1m+9n的最小值为（）A32 B83 C114 D不存在【答案】C【解析】设正项等比数列an的公比为 q，且 q0，由 a7=a6+2a5得：a6q=a6+62aq，化简得，q2-q-2=0，解得 q=2 或 q=-1（舍去），8 因为 aman=16a12，所以1111mna qa q=16a12，则qm+n-2=16，解得 m+n=6，所以1911919198(m n)101026663nmnmmnmnmnmn.当且仅当9nmmn时取等号，此时96nmmnmn，解得3292mn，因为
12、 mn 取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1983mn，验证可得，当 m=2、n=4 时，19mn取最小值为114，故选：C 3.（2019北京高三期末（理）已知为等差数列，为其前 项和.若，则公差_；的最大值等于_.【答案】12 【解析】由a24，a3+a50 得得，则Sn6n（2）n2+7n（n）2，则当n3 或 4 时，Sn取得最大值，最大值为S39+2112，故答案为：2，12 4.（2019山东枣庄八中高三月考（理）已知数列 na的前 n 项和为nS，且12nnSa，则使不等式2221286naaaL成立的 n 的最大值为（）A3 B4 C5 D6【答案】B【解析】根据题意，数
13、列 na满足12nnSa，当1n 时，1121aa，得11a，当2n时，112nnnnnaaSSa，即12nnaa，9 所以12nnaa 又11a 满足上式，即 na 是以 2 为公比，1 为首项的等比数列 则12nna，则214nna，则数列 2na是以 1 为首项，4 为公比的等比数列，则222121 14141143nnnSaaaL，若2221286naaaL，则有141863n，变形可得：4259n，又由*nN，则4n，即 n 的最大值为 4；故选：B 5.（2019江苏高考模拟）已知正项等比数列 na的前n项和为nS若9362SSS，则631SS取得最小值时，9S的值为_【答案】7
14、33【解析】由9362SSS，得：q1，所以936111(1)(1)(1)2111aqaqaqqqq，化简得：936112(1)qqq，即963220qqq，即63(1)(2)0qq，得32q，化简得631SS6131(1)11(1)aqqqaq11312 31aqqa，当11311aqqa，即113qa时，631SS取得最小值，10 所以919(1)1aqSq91(1)13qqq7 33 故答案为：7 33 6.（2019广东高考模拟）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S4=10，S8=36，当 nN*时，nn 3aS的最大值为_【答案】71【解析】由题意，等差数列 na的前 n
15、项和为nS，若4810,36SS，设首项为1a，公差为d，则114 341028 78362adad，解得11ad，所以，所以(1)2nn nS，则2322(3)(4)1271272nnannnnSnnnn，当12nn取最小值时，3nnaS取最大值，结合函数 12(0)fxxxx的单调性，可得当3n 或4n 时，317nnmaxaS 故答案为：71 7.（2019天津高考模拟（文）已知首项与公比相等的等比数列 na中，若m，nN，满足224mna aa，则21mn的最小值为_【答案】1【解析】设等比数列 na公比为q，则首项1aq 11 由224mna aa得：22113111mna qa q
16、a q 则：28mnqq 28mn 2112114142224888nmnmmnmnmnmnmn*,m nNQ 40,0nmmn 则4424nmn mmnmn（当且仅当4nmmn，即2nm时取等号）min2114418mn 本题正确结果：1 8.（2019江苏金陵中学高考模拟）设数列 na为等差数列，其前n项和为nS，已知14760aaa，25851aaa，若对任意nN，都有nSkS成立，则正整数k的值为_【答案】10【解析】因为数列 na为等差数列，设公差为 d，14760aaa，25851aaa，两式相减，得：3d9，所以，d3，由等差中项得14743=60aaaa，即14=320aad，
17、解得：1a29，所以，(1)29(3)2nn nSn 236122nn，当 n616时，nS取得最大值，但 n 是正整数，所以，当 n10 时，nS取得最大值，对任意nN，都有nSkS成立，显然 k10.故答案为：10 9.（2019江苏扬州中学高考模拟）数列 na是等差数列，11a,公差1,2d,且4101615aaa，则实数的最大值为_.【答案】12【解析】12 41016111153(9)1515aaaadadadQ,15()21 9f dd，因为1,2d，所以令19,10,19td t，因此15()2f tt，当10,19t，函数()f t是减函数，故当10t 时，实数有最大值，最大值
18、为1(10)2f.10.（2019福建高考模拟（理）在数列 na中，1253aa，11280nnnananN，若12nnnnbaaanN，则 nb的前n项和取得最大值时n的值为_【答案】10【解析】解法一：因为11280nnnana 所以211280nnnana，-，得122nnnnanana即122nnnaaa，所以数列 na为等差数列 在中，取1n，得1280a即128a，又1253aa，则225a，所以313nan因此12100aaaL，1112130aaaL 所以1280bbbL，99101180baaa ，10101112100baaa，1112130bbbL 所以12389TTTT
19、 TL，9101112T TTTL 又1089108TTbbT，所以10n 时，nT取得最大值 解法二：由11280nnnana，得12811nnaannn n，令1nnacn，则11111282811nnccnnnn，则11281nccn，即1211281281nccann，代入得12228 12828nnancnann a，取1n，得1280a，解得128a，又1253aa，则225a，故1283nan 13 所以313nan，于是1231 3283253nnnnbaaannn 由0nb，得31 32832530nnn，解得8n或10n，又因为98b ，1010b，所以10n 时，nT取得
20、最大值 11.（2019全国高考真题（文）记Sn为等差数列an的前n项和，已知S9=a5（1）若a3=4，求an的通项公式；（2）若a10，求使得Snan的n的取值范围【答案】（1）210nan；（2）110()nnN.【解析】（1）设等差数列 na的首项为1a，公差为d，根据题意有1119 89(4)224adadad，解答182ad，所以8(1)(2)210nann ，所以等差数列 na的通项公式为210nan；（2）由条件95Sa，得559aa，即50a，因为10a，所以0d，并且有5140aad，所以有14ad，由nnSa得11(1)(1)2n nnadand，整理得2(9)(210)
21、nn dnd，因为0d，所以有29210nnn，即211100nn，解得110n，所以n的取值范围是：110()nnN 12.（2017上海高考真题）根据预测，某地第 个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：辆），14 其中，第 个月底的共享单车的保有量是前 个月的 累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第 4 个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第 个月底的单车容纳量（单位：辆）.设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【答案】（1）935；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）计算和的前 项和的差即可得出答案；（2）令得出，
22、再计算第个月底的保有量和容纳量即可得出结论.试题分析：（1）（2），即第 42 个月底，保有量达到最大 ，此时保有量超过了容纳量.13（2018河南高三期中（文）已知非零数列na满足*13()nnaa nN，且1a，2a的等差中项为 6（1）求数列na的通项公式；（2）若32lognnba，求1 22 33 411111nnbbb bb bb b取值范围【答案】(1)3nna (2)1 1,8 4【解析】（1）由*13nnaanN，得 na为等比数列且公比3q.设首项为1a，12,a aQ的等差中项为 6，即1212aa q，解得13a，故3nna.15(2)由32log2nanbn 得到：1
23、111 1122141nnb bnnnn，1 22 33 41111111111111114223141nnbbb bb bb bnnnLL,因为11141n可以看成关于 n 的单调递增函数，所以 n=1 时，最小为18，且1111414n，1 22 33 4111111 1,8 4nnbbb bb bb bL.14.（2019湖南高考模拟（文）已知数列 na的首项13a，37a，且对任意的nN，都有1220nnnaaa，数列 nb满足12nnba，nN.（）求数列 na，nb的通项公式；（）求使122018nbbbL成立的最小正整数n的值.【答案】（）21nan，21nnb;（）10【解析】
24、（）令1n 得，12320aaa，解得25a.又由1220nnnaaa知211nnnnaaaa 212aaL，故数列 na是首项13a，公差2d 的等差数列，于是21nan，1221nnnba.（）由（）知，21nnb.于是11nnTbbbL 122222nL 12 1 22212nnnn.令 122nf nn，易知 f n是关于n的单调递增函数，又 1092921031f，111021022056f，16 故使112018nbbbL成立的最小正整数n的值是 10.15.（2019山东日照一中高三期中（理）已知数列an中，1123123naaaana，（nN*）（）证明当 n2 时，数列nan
25、是等比数列，并求数列an的通项 an；（）求数列n2an的前 n 项和 Tn；（）对任意 nN*，使得 恒成立，求实数 的最小值【答案】（）（）()【解析】（）证明：由 a1+2a2+3a3+nan=，得 a1+2a2+3a3+（n1）an1=（n2），：，即（n2），当 n2 时，数列nan是等比数列，又 a1=1，a1+2a2+3a3+nan=，得 a2=1，则 2a2=2，（n2），；（）解：由（）可知，Tn=1+2230+2331+2432+2n3n2，则，两式作差得：，得：；（）解：由（n+6），得（n+6），即对任意 nN*恒成立 当 n=2 或 n=3 时 n+有最小值为 5，有最大值为，故有 ，实数 的最小值为 16.（2019山东高考模拟（文）已知数列的各项均为正数，且对任意，为和 1 的等比中项，数列满足.17（1）求证：数列为等比数列，并求通项公式；（2）若，的前 项和为，求使不小于 360 的 的最小值.【答案】（1）证明见解析，；（2）18.【解析】（1）由题意得：，即 数列成等比数列，首项为，公比为 ，又为正项数列 （2）由（1）得：，即 或（舍去）所以不小于的 的最小值为