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1、第五章 投影变换,基 本 要 求,掌握换面法的基本原理与其变换规律。 掌握换面法求线段实长、平面实形及对投影面倾角的方法。 掌握用换面法解决一般空间几何元素的定位和度量问题。 了解旋转法的基本原理与其变换规律。,3-1 概述,3-1 概述,投影变换的基本方法有以下两种：,1空间几何要素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的投影面，使空间几何要素对新投影面的相对位置变成有利于解题的特殊位置，然后找出其在新投影面上的投影。这种方法称为换面法。,2投影面保持不动，使空间几何要素绕某一轴线旋转到平行或垂直于投影面的特殊位置，然后找出其旋转后的新投影。这种方法称为旋转法。,V/H 体系变为V1/H 体系
2、,X1,A,新投影面必须满足下列两条原则： 新投影面必须对空间几何元素处于有利于解体的特殊位置。 必须垂直于原有的一个投影面使之构成新的两面投影体系。,一、换面法,二、旋转法,A,B,C,a(b),oo,c,a,b,c,a,a,A,V,H,X,3-2 换面法,一、换面法的基本概念,用换面法解题时，新投影面必须满足下列两条原则： 新投影面必须对空间几何元素处于有利于解体的特殊位置。 必须垂直于原有的一个投影面使之构成新的两面投影体系。,a,a,1、点的一次换面,A,V,H,X,a1,V,H,X,a,a,ax,点的换面规律： 点的新投影与不变投影的连线垂直于新的投影轴； 新投影到新投影轴的距离等于
3、被更换的投影到旧轴的距离。,二、换面法的基本规律,换V面,1、点的一次换面,a,a,H,V,V,H,X,a,a,A,X,二、换面法的基本规律,换H面,2、点的两次换面,a2,A,X,a,a,a1,H,V,V1,X1,V/HV1/H,V1/H2,V,H,X,a,a,a1,二、换面法的基本规律,换面法中的四个基本作图问题，主要是解决将直线及平面变换成对投影面处于特殊位置的问题。在变换过程中必须遵循点的变换规律。,三、四个基本问题,三、四个基本问题,A,B,a,b,b,a,a1,b1,V,H,X,a,b,a,b,作图特点： 新的投影轴必须平行于直线的一个投影，且可求出直线的实长和倾角 求直线对某投影
4、面的倾角，新投影轴必须平行于该投影面直线的投影,V,H,1、一般位置直线变换成平行线,将一般位置直线变换成投影面平行线，并求出角？,a,b,a,b,V,H,X,三、四个基本问题,V,H,X,b,b,V,H,X,a,a,作图特点：新投影轴必须与反映直线实长的投影垂直。,三、四个基本问题,2、将平行线变换成垂直线,a,b,a,b,X,V,H,必须经过两次变换,若将一般位置的直线 变换成投影面垂直线,三、四个基本问题,a,b,a,b,V,H,X,两次变换的作图,三、四个基本问题,c,a,b,a,b,c,A,C,V,H,X,B,作图特点: 取投影面的平行线，使新投影轴垂直于直线实长的投影。 若求平面对
5、此投影面的倾角，必须取该投影面的平行线。,三、四个基本问题,3、将一般位置平面变换成垂直面,a,作图特点： 新的投影轴必须和平面有积聚性的投影相平行。,X,H,V,b,b,a,c,c,A,B,C,三、四个基本问题,4、将垂直面变换成 投影面的平行面,X,a,b,c,a,b,c,变换的作图过程,三、四个基本问题,必须经过两次变换,实形,a,b,c,a,b,c,三、四个基本问题,如何将一般位置平面 变换成投影面平行面,四、换面法的应用,应用换面法解题时，首先分析空间几何元素间的相互关系及位置，使几何元素处于何种位置时，才有利于解题，然后确定换面的具体步骤，应用上面的基本方法进行图解。 下面展示了特
6、殊位置的几何元素的投影，可直接反映其空间距离、角度等关系。,a,a,b,b,c,c,四、换面法的应用,a,x,x,x,(b),a,(d),c,a,b,c,d,m,n,m,n,e),f),a,(b),b,m,m,b),L,x,(b),a,(d),c,a,b,c,d,m,n,m,n,d),L,a,b,c,d,c,d,(b),a,(d),e,f,(f),e,g),x,例题1,例题2,例题3,例题4,应用举例,例题1 已知多边形ABCDEF对H面的倾角=45, 试完成 多边形的正面投影。,x,O,a,b,c,d,e,f,a,b,d1(c1),f1(e1),应用举例,例题2 已知A与直线BC的投影，求点
7、A到BC直线间的距离。,k2,距离,b,a,a,b,c,c,X,H,V,空间分析,应用举例,例题3 求变形接头ABCD和ABEF之间的夹角，如图所示。,c,a,d,b,f,e,a(e),b(f),d,c,x,V,H,d2,f2,应用举例,例题4 求交叉两直线AB和CD间的最短距离EF ，如图所示。,e1,f1,b,a,d,c,a,b,c,d,X,V,H,3-3 旋转法,旋转法就是投影面不动，通过旋转使几何元素对投影面处于有利于解题的特殊位置。这里只讨论几何元素绕垂直于投影面的轴旋转。,一、旋转法的基本概念,二、点的旋转,O,O,P,o,o,o,o,o,o,x,o,点绕投影面垂直轴旋转的投影规律
8、： 1）点的旋转轨迹在轴所垂直的投影面上的投影，反映圆的实形。 2）轨迹圆在旋转轴所平行面上的投影，为平行于投影轴的直线。,H,O,O,A,B,a,b,o,三、直线与平面的旋转,直线与平面的旋转规律： 1）旋转时直线与平面上各点必须绕同一轴线、朝同一方向、转同一角度。 2）在轴线所垂直的投影面上的投影大小不变，对该投影面的倾角也不变。,x,a,b,a,b,1.旋转规律,三、直线与平面的旋转,2.不指明轴旋转,根据直线与平面旋转时的三同规律和不变性，可将旋转后的投影移到某个合适的位置。但要使投影的形状和大小不变，而另一投影仍按旋转规律作图。这种作图方法称为不指明旋转轴法或平移法,x,a,b,a1
9、,b1,c,a,b,c,a1,b1,c1,c1,四、四个基本问题,1. 将一般位置直线变为投影面平行线,x,o,a,b,a,b,一般直线旋转成投影面平行线作图特点： 求直线对某投影面的倾角，旋转轴必须垂直于该投影面。,四、四个基本问题,2. 将投影面的平行线变换成投影面垂直线,x,o,a,b,a,b,平行线旋转成垂直线的作图特点： 1）旋转轴必须垂直于直线实长所在的那个投影面。 2）将反映直线实长的投影旋转成与投影轴线垂直。,问题： 如何将一般位置直线旋转成投影面的垂直线？,四、四个基本问题,3. 将一般位置平面变换成投影面垂直面,x,a,b,c,a1,b1,a,b,c,o,一般位置平面旋转成
10、垂直面的作图特点： 1）在平面上取一条投影面的平行线，将该线变成垂直线 2）求对某个投影面的倾角，必须取对该投影面的平行线,四、四个基本问题,4. 将投影面垂直面变换成投影面平行面,x,a,b,c,c1,o,a1,b,a,c,垂直面旋转成投影面平行面的作图特点： 将平面有积聚性的投影旋转到平行于投影轴的位置,问题： 如何将一般位置平面旋转成投影面的平行面？,五、应用举例,例题5 过点A 作AK 与已知直线BC 垂直相交，如图所示。,a,b,c,m1,a,b,c,b1,c1,k1,k1,k,k,x,o,例题6 试将点D绕所设OO轴旋转到已知平面ABC上，如图所示。,五、应用举例,x,o,a,b,c,o,a ,b ,c ,o ,o ,e,f,d,d ,例题7 试过A点作直线ACAB，并使直线AC与H面的倾角=45， 且点C在H面内，求直线AC的两面投影。如图所示。,五、应用举例,x,o,a,b,a,b,c1,b1,c1,分析： 与H面倾角=45的直线AC，必在轴线过A点且垂直于H面的锥面上，锥底圆在H面内。锥面上的一直线AC AB，若直线AB绕锥轴线旋转成正平线时，其AC与AB的正面投影反映直角，AC在旋转过程中的倾角不变。将所求AC1的投影返回即可对应作出AC的两面投影。,