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1、 永久免费组卷搜题网213 函数的应用与最值最优化是现实中理想的追求,最优化问题就是最值问题,是应用题的焦点一、明确复习目标1理解最值的的概念，掌握求最值的方法；2掌握解应用题的一般步骤和建模方法。二建构知识网络1函数的最值的定义：函数y=f(y)，定义域为A，若存在y0A，使得对任意的yA，恒有成立，则称为函数的最小（大）值。2.求函数最值的方法（求最值与求值域一般相同,最值问题更具综合性和灵活性）（1）配方法：用于二次函数，或可通过换元法转化为二次函数的最值问题；（2）判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的最值,但必须检验这个最值在定义域内有相应的x的值；（3）不等式法：利用平
2、均不等式求最值,注意一正二定三等；（4）换元法:通过变量代换,化繁为简,化难为易,化未知为已知,其中三角代换是重要方法。换元后须注意新变量的取值范围；（5）数形结合法(图象法)：当一个函数图象可作时，通过图象可求其最值；（6）单调性法：利用函数的单调性求最值；（7）求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值.3解应用题的一般程序(1)审题：阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,理顺数量关系,这一关是基础.(2)建模：将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型,正确进行建“模”是关键的一关。(3)求解：求解数学模型，得到数学结论，要充分注重数学模型中元素的实际意义，更
3、要注意巧思妙作，优化过程。(4)作答：将数学结论还原给实际问题的过程。4常见函数模型(1)二次函数型。(2) “对钩函数”型(3) 分段函数模型。(4) y=N(1+p)y型及数列型三、双基题目练练手1.函数f（y）=的最大值是 ( )A. B. C. D.2如果0a1,0xym(x1)对满足|m|2的一切实数m的取值都成立。则x的取值范围是 。6若，则y+y的最小值是_.7 一批货物随17列货车从A市以V千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车间距离不得小于()2千米 ，那么这批物资全部运到B市，最快需要_小时(不计货车的车身长) 简答提示:1-4.DCDB;
4、1.配方法分母3/4,再由不等式法; 2.设.,当k=1,即x=y=a时取等号.k+1/k无最大值,xy无最小值; 3.数形结合;4. 设提价2x元,则获利y=(10+x)(100-10x)= -20(x2-5x-50),x=2或3时最大,x=3时投资小; 5即f(m)=(x1)m(2x1)0在-2,2 恒成立， 则f(2)0且f(-2)0解得x（,）;6.设x=cos,y=cos,由已知x,y不能取负值,否则,若x0恒成立，试求实数a的取值范围 解:(1) 当a=时，f(x)=x+2f(x)在区间1，+上为增函数，f(x)在区间1，+上的最小值为f(1)= (2)解法一: 在区间1，+上，f
5、(x)= 0恒成立x2+2x+a0恒成立 设y=x2+2x+a, x1,+y=x2+2x+a=(x+1)2+a1递增，当x=1时，ymin=3+a,当且仅当ymin=3+a0时，函数f(x)0恒成立，故a3 解法二:f(x)=x+2, x1,+当a0时，函数f(x)的值恒为正；当a0时，函数f(x)0恒成立，故a3解法分析：（1）中不能用用判别式法求最值, 对也不能用均值不等式求最值，只能用”对钩”函数的的单调性求最值. （2）中法一转化的很高明，法二是这一类题的一般解法。【例2】某农产品去年各季度的市场价格如下表：今年某公司计划按去年各季度市场价的“最佳近似值m”（m是与上表中各售价差的平方
6、和取最小值时的值）收购该种农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点），计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将税率降低x个百分点，预测收购量可增加2x个百分点。（1）根据题中条件填空，m= （元/担）（2）写出税收y（万元）与x的函数关系式；（3）若要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围。解:设平方和为y(1)取最小值时,故应填200.(2)降低税率后的税率为(10-x)%,农产品的收购量为a(1+2x%)万担,收购总金额200a(1+2x%),依题意，（3）原计划税收为（万元），依题意，得：,解得:答:x的取值范围是0
7、x2.方法提炼:理清m 的实际意义求出m;建模,解二次不等式.【例3】某校办工厂有毁坏的房屋一幢，留有旧墙一面，其长14m,现准备利用这面旧墙，建造平面图形为矩形，面积为126m2的厂房，工程条件：（1）修1m旧墙的费用是建1m新墙的费用的25%，（2）用拆去1m旧墙的材料建1m新墙，其费用是建1m新墙费用的50%，（3）建门窗的费用与建新墙的费用相同，问：如何利用旧墙才能使建墙费用最低？解：设利用旧墙的一面矩形边长为x，则矩形的另一面边长为（1）利用旧墙的一段xm(x14)为矩形的一面长，则修旧墙的费用为，剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为，其余的建新墙的费用为故总费用当且仅当x=12时，y
8、最小=7a(6-1)=35a(2)若利用旧墙的一面矩形边长x14,则修旧墙的费用为，建新墙的费用为，故总费用设上为增函数，当x=14时，所以，采用第一种方案，利用旧墙12m为矩形的一面边长，使建墙费用最省。特别提醒: 本题要对厂房一边长14两种方案都作讨论.【例4】某海滨浴场的岸边可以近似的看成直线，位于岸边A处的救生员发现海中B处有人求救，若救生员在岸边的行进速度为6米/秒，在海中的行进速度2米/秒,在AD上找一落点C，使救生员从A到B的时间最短，并求出最短时间。解： ,则从A经C到B的时间为t,因此点C应选沿岸边AD距D点米处,才能使救生员从A经C到B所用的时间最短为秒法二：设DBC=则，
9、用时记,它表示点(cos,sin)和(0,3)连线的斜率,结合图形知当连线与圆弧相切时k 最大,t最小,y=ky+3代入y2+y2=1,=0,得, 此时,最小.解法研讨:法一:以CD长为自变量建模,导数法求最值;法二:以DBC为自变量建模,方法更具灵活性.【研讨.欣赏】(2006湖南)对1个单位质量的含污物体进行清洗, 清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:1污物质量物体质量（含污物）为, 要求清洗完后的清洁度为. 有两种方案可供选择, 方案甲: 一次清洗; 方案乙: 分两次清洗. 该物体初次清洗后受残留水等因素影响, 其质量变为a(1a3). 设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是c=, (
10、0.8ca-1), 用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是, ()分别求出方案甲以及c=0.95时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少; ()若采用方案乙, 当a为某定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量, 使总用水量最小? 并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响.解：（）设方案甲与方案乙的用水量分别为与，由题设有，解得由得方案乙初次用水量为3，第二次用水量满足方程，解得，故即两种方案的用水量分别为19与。因为当时，即，故方案乙的用水量较少（）设初次与第二次清晰的用水量分别为与，类似（）得 （*）于是当为定值时，当且仅当 时等号成立，此时（不合题意，舍去）或（0.8，0.99）将
11、代入（*）式得故时总用水量最少，此时第一次与第二次用水量分别为与，最少总用水量是当时，故是增函数（也可以用二次函数的单调性判断）。这说明，随着的值的增加，最少总用水量增加。五提炼总结以为师1熟练掌握求函数最值的几种方法，并能灵活转化运用；2用不等式求最值时要注意“=”的成立条件;3不等式恒成立问题转化为最值问题4解应用题的一般程序:(1)审题 (2)建模;(3)求解;(4)作答同步练习 213 函数的应用与最值【选择题】1（2005上海）若函数, 则该函数在(-,+)上是 ( ) (A)单调递减无最小值 (B) 单调递减有最小值 (C)单调递增无最大值 (D) 单调递增有最大值2.（2004湖
12、北）函数f(x)=a2+loga(x+1)在0,1上的最大值和最小值之和为a，则a的值为（ ）ABC2D43. 设x1、x2为方程4x24mx+m+2=0的两个实根， x12+x22的最小值为( )A. B. C.-m2+m+2 D.1【填空题】4.(2006天津)某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 吨 5若x、yR，且x2+y2=1，则（1xy）(1+xy)的最小值是_，最大值是_ .6.某工厂八年来某种产品总产量c与时间t（年）的函数如图所示，下列四种说法：（1）前三年中产量增长的速度越来越快；（
13、2）前三年中产量增长的速度越来越慢；（3）第三年后，这种产品停止生产；（4）第三年后，年产量保持不变，其中说法正确的序号是_.简答提示:1-3.ABB; 3.注意0限制m的范围;4.总费用,当x=20时取等号,费用最小.答:20;5.三角代换,令x=cos,y=sin.答案:3/4, 1; 6.增长速度是切线斜率,(2)对;三年后总产不变,即停产,(3)对,答案:(2),(3); 【解答题】7.设m是实数，记M=m|m1,f(x)=log3(x24mx+4m2+m+) (1)证明:当mM时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则mM (2)当mM时，求函数f(x)
14、的最小值 (3)求证:对每个mM,函数f(x)的最小值都不小于1 (1)证明:先将f(x)变形:f(x)=log3(x2m)2+m+,当mM时，m1,(xm)2+m+0恒成立，故f(x)的定义域为R 反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则只须x24mx+4m2+m+0,令0,即16m24(4m2+m+)0,解得m1,故mM (2)解析:设u=x24mx+4m2+m+,y=log3u是增函数，当u最小时，f(x)最小而u=(x2m)2+m+,显然，当x=m时，u取最小值为m+,此时f(2m)=log3(m+)为最小值 (3)证明:当mM时，m+=(m1)+ +13,当且仅当m=2时等号成立.l
15、og3(m+)log33=1 8.某市有小灵通与全球通两种手机，小灵通手机的月租费为25元，接听电话不收费，打出电话一次在3 min以内收费0.2元，超过3 min的部分为每分钟收费0.1元，不足1 min按1 min计算（以下同）.全球通手机月租费为10元，接听与打出的费用都是每分钟0.2元.若某人打出与接听次数一样多，每次接听与打出的时间在1 min以内、1到2 min以内、2到3 min以内、3到4 min以内的次数之比为4311.问，根据他的通话次数应该选择什么样的手机才能使费用最省？（注：m到m+1 min以内指含m min，而不含m+1 min）解：设小灵通每月的费用为y1元，全球
16、通的费用为y2元，分别在1 min以内、2 min以内、3 min以内、4 min以内的通话次数为4x、3x、x、x，则y1=25+（4x+3x+x+x）0.2+0.1x=25+1.9x，y2=10+2（0.24x+0.43x+0.6x+0.8x）=10+6.8x.令y1y2，即25+1.9x10+6.8x，解得x3.06.总次数为（4+3+1+1）23.06=55.1.故当他每月的通话次数小于等于55次时，应选择全球通，大于55次时应选择小灵通.9.某影院共有1000个座位，票价不分等次。根据该影院的经营经验，当每张标价不超过10元时，票可全部售出，当每张票价高于10元时，每提高1元，将有3
17、0张票不能售出，为了获得更好的收益，需给影院一个合适的票价，符合的基本条件是：为方便找零和算帐，票价定为1元的整数倍；影院放映一场电影的成本费用支出为5750元，票房收入必须高于成本支出。用x（元）表示每张票价，用y（元）表示该影院放映一场的净收入（除去成本费用支出后的收入）。（1）把y表示成x的函数，并求其定义域；（2）试问在符合基本条件的前提下，每张票价定为多少元时，放映一场的净收入最多？解：（1）由题意知当x10时，y=1000x-5750, 当x10时，y=1000-30(x-10)x-5750= -30x2+1300x-5750又xN,6x38 所求表达式为（2）当当所以每张票价定为
18、22元时净收入最多。10.甲、乙两地相距Skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c kmh，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(kmh)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(kmh)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶分析：(1)抓住关系式：全程运输成本=单位时间运输成本全程运输时间，而全程运输时间=(全程距离)(平均速度)就可以解决解(1)由已知汽车从甲地到乙地所用时间为,全程运输成本为所求函数及定义域为: (2)依题意S,a,b,v都是正数,故有当
19、且仅当上式等号成立.若时,全程运输成本最小.若,则即当在区间(0,c上是减函数.则当v=c时，y取最小值综上可知,当时,速度应为;当时,速度应为v=c;说明：此题是1997年全国高考试题由于限制汽车行驶速度不得超过c，因而求最值的方法也就不完全是常用的方法，再加上字母的抽象性，使难度有所增大【探索题】某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率与日产量（件）之间大体满足关系： （其中c为小于96的正常数）注：次品率，如表示每生产10件产品，约有1件为次品其余为合格品已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元，但每生产一件次品将亏损元，故厂方希
20、望定出合适的日产量（1）试将生产这种仪器每天的盈利额（元）表示为日产量（件）的函数；（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？解：（1）当时，所以，每天的盈利额;当时，所以，每日生产的合格仪器约有件，次品约有件故，每天的盈利额综上，日盈利额（元）与日产量（件）的函数关系为：（2）由（1）知，当时，每天的盈利额为0当时，令，则故 当且仅当，即时，等号成立所以（i）当时，（等号当且仅当时成立）（ii） 当时，由得，易证函数T(t)在上单调递减（证明过程略）即（等号当且仅当t=96-c即时取得）综上，若，则当日产量为84件时，可获得最大利润；若，则当日产量为时，可获得最大利润点评分段函数是历年高考的热门话题，常考常新，值得我们在复课时认真对待 永久免费组卷搜题网