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1、考点十一等差数列与等比数列一、选择题1(2020山东淄博二模)在正项等比数列an中，若a3a74，则(2)a5()A16 B8 C4 D2答案C解析在正项等比数列an中，a50，由等比中项的性质可得aa3a74，a52，因此，(2)a5(2)24.故选C.2(2020湖南郴州一模)数列是等差数列，且a11，a3，那么a5()A. B C5 D5答案B解析1，3，数列是等差数列，设公差为d，312d，解得d1.1145，解得a5.故选B.3(2020全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和若a5a312，a6a424，则()A2n1 B221n C22n1 D21n1答案B解析设等比数列an的公比
2、为q，由a5a312，a6a424可得解得所以ana1qn12n1，Sn2n1.因此221n.故选B.4(2020海南中学高三摸底)已知等差数列an的前n项和为Sn，若S510，S1040，则S15()A80 B90 C100 D110答案B解析根据等差数列前n项和的片段和的性质，可知S5，S10S5，S15S10也是等差数列，又S510，S1040，故可得10,30,50成等差数列，故S15S1050，解得S1590.故选B.5(2020山西大同市高三模拟)已知正项数列an满足aan1an2a0，an的前n项和为Sn，则()A. B C D答案A解析由aan1an2a0，得(an1an)(a
3、n12an)0，又an为正项数列，所以an12an，所以数列an是等比数列，且公比q2，设首项为a1，则S531a1，a3a1224a1，则.故选A.6(2020全国卷)设an是等比数列，且a1a2a31，a2a3a42，则a6a7a8()A12 B24 C30 D32答案D解析设等比数列an的公比为q，则a1a2a3a1(1qq2)1，a2a3a4a1qa1q2a1q3a1q(1qq2)q2，因此，a6a7a8a1q5a1q6a1q7a1q5(1qq2)q532.故选D.7(多选)(2020山东威海三模)我国天文学和数学著作周髀算经中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照
4、日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法正确的是()A相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺B春分和秋分两个节气的晷长相同C立冬的晷长为一丈五寸D立春的晷长比立秋的晷长短答案ABC解析由题意可知，夏至到冬至的晷长构成等差数列an，其中a115寸，a13135寸，公差为d寸，则1351512d，解得d10(寸)，同理可知，冬至到夏至的晷长构成等差数列bn，首项b1135，末项b1315，公差d10(单位都为寸)，故A正确；春
5、分的晷长为b7，b7b16d1356075，秋分的晷长为a7，a7a16d156075，所以B正确；立冬的晷长为a10，a10a19d1590105，即立冬的晷长为一丈五寸，C正确；立春的晷长、立秋的晷长分别为b4，a4，a4a13d153045，b4b13d13530105，b4a4，故D错误故选ABC.8(多选)(2020山东潍坊高密二模)设正项等差数列an满足(a1a10)22a2a920，则()Aa2a9的最大值为10 Ba2a9的最大值为2C.的最大值为 Daa的最小值为200答案ABD解析因为正项等差数列an满足(a1a10)22a2a920，所以(a2a9)22a2a920，即a
6、a20.所以a2a910，当且仅当a2a9时等号成立，故A正确；因为210，所以，a2a92，当且仅当a2a9时等号成立，故B正确；因为，当且仅当a2a9时等号成立，所以的最小值为，故C错误；D项结合A项的结论，有aa(aa)22aa4002aa4002102200，当且仅当a2a9时等号成立，故D正确故选ABD.二、填空题9(2020四川成都石室中学一诊)若等差数列an满足：a11，a2a35，则an_.答案n解析设等差数列an的公差为d，a11，a2a35，即2a13d5，d1，ann.10(2020江苏南京金陵中学、南通海安高级中学、南京外国语学校第四次模拟)设正项等比数列an的前n项和
7、为Sn，且，则数列an的公比为_答案3解析设正项等比数列an的公比为q.因为S20S10a11a12a20，S30S20a21a22a30q10(a11a12a20)，故，即，因为等比数列an为正项数列，故q0，所以q3.11(2020新高考卷)将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列an，则an的前n项和为_答案3n22n解析因为数列2n1是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列3n2是以1为首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列an是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以an的前n项和为n163n22n.12(2020海南中学高三第六次月考)已知等差数列a
8、n的首项及公差均为正数，令bn(nN*，n0，aan2Sn中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答已知数列an的前n项和为Sn，a11，_.若a1，ak，Sk2成等比数列，求k的值解若选择，因为2Sn(n1)an，nN*，所以2Sn1(n2)an1，nN*，两式相减，得2an1(n2)an1(n1)an，整理，得nan1(n1)an，即，nN*.所以为常数列1，所以ann.所以akk，Sk2，又a1，ak，Sk2成等比数列，所以(k2)(k3)2k2，所以k25k60，解得k6或k1(舍去)，所以k6.若选择，由an(n2)变形，得SnSn1，所以 ( )( )，易知Sn0，所以 1，所以是公
9、差为1的等差数列，又1，所以 n，Snn2，所以anSnSn12n1(n2)，又n1时，a11也满足上式，所以an2n1.因为a1，ak，Sk2成等比数列，所以(k2)2(2k1)2，解得k3或k，又kN*，所以k3.若选择，因为aan2Sn(nN*)，所以aan12Sn1(n2)，两式相减，得aaanan12Sn2Sn12an(n2)，整理，得(anan1)(anan1)anan1(n2)，因为an0，所以anan11(n2)，所以an是首项为1，公差为1的等差数列，所以an1(n1)1n，Sk2，又a1，ak，Sk2成等比数列，所以(k2)(k3)2k2，所以k6或k1，又kN*，所以k6
10、.一、选择题1(2020山东省实验中学高三4月高考预测)在正项等比数列an中，a5a115，a4a26，则a3()A2 B4 C D8答案B解析由a5a1a1q4a115，a4a2a1q3a1q6，解得或(舍去)故a3a1q24.故选B.2(2020吉林长春质量监测二)在等差数列an中，若3a52a7，则此数列中一定为0的是()Aa1 Ba3 Ca8 Da10答案A解析设等差数列an的公差为d.由于等差数列an中3a52a7，所以3(a14d)2(a16d)，化简得a10，所以a1为0.故选A.3若等比数列的前n项和、前2n项和、前3n项和分别为A，B，C，则()AABC BB2ACCABCB
11、3 DA2B2A(BC)答案D解析由等比数列的性质可知，当公比q1时，A，BA，CB成等比数列，所以(BA)2A(CB)，所以A2B2ACABA(BC)，当q1时，易验证此等式成立，故选D.4(2020海南中学高三第七次月考)已知正项等比数列an，满足a2aa202016，则a1a2a1017()A41017 B21017 C41018 D21018答案B解析由a2aa202016，可得(a7a1011)216，所以a7a10114，a5092，所以a1a2a1017a21017.故选B.5(2020全国卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石
12、)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A3699块 B3474块C3402块 D3339块答案C解析设第n环扇面形石板块数为an，第一层共有n环，则an是以9为首项，9为公差的等差数列，an9(n1)99n.设Sn为an的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为Sn，S2nSn，S3nS2n，因为下层比中层多729块，所以S3nS2nS2nSn729，即729，即9n2729，解得n9，所以S3nS273402.故选C.
13、6(2020福建厦门高三毕业班5月质量检查)已知Sn是正项等比数列an的前n项和，S1020，则S302S20S10的最小值为()A10 B5 C5 D10答案C解析an是正项等比数列，S10，S20S10，S30S20仍然成等比数列，设公比为q，S1020，S20S1020q，S30S2020q2，S302S20S10(2020q20q2)2(2020q)2020(q2q)，当q时，S302S20S10取得最小值5，故选C.7(多选)(2020山东青岛三模)在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩张丘建算经是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪
14、书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹4丈，1丈10尺，若这一个月有30天，记该女子这一个月中的第n天所织布的尺数为an，bn2an，对于数列an，bn，下列选项中正确的为()Ab108b5 Bbn是等比数列Ca1b30105 D答案BD解析由题意可知，数列an为等差数列，且a15，设数列an的公差为d，由题意可得30a1390，解得d，ana1(n1)d，bn2an，
15、2an1an2d(非零常数)，则数列bn是等比数列，B正确；5d53，(2d)525d23，b108b5，A错误；a30a129d51621，a1b305221105，C错误；a4a13d53，a5a14d54，D正确故选BD.8(多选)(2020山东省实验中学高三6月模拟)记数列an的前n项和为Sn，若存在实数H，使得对任意的nN*，都有|Sn|H，则称数列an为“和有界数列”下列说法正确的是()A若an是等差数列，且公差d0，则an是“和有界数列”B若an是等差数列，且an是“和有界数列”，则公差d0C若an是等比数列，且公比|q|1，则an是“和有界数列”D若an是等比数列，且an是“和
16、有界数列”，则an的公比|q|1答案BC解析若an是等差数列，则Snna1n2n.对于A，当d0时，Snna1，若a10，根据一次函数的性质可知，此时不存在符合题意的H，所以A错误；对于B，an是“和有界数列”，而Snn2n，则解得所以B正确；若an是等比数列，则Snqn.对于C，若|q|1，则当n时，Sn，故存在实数H，使得对任意的nN*，都有|Sn|H，即an是“和有界数列”，所以C正确；对于D，若an是等比数列，且an是“和有界数列”，q的取值可能为1，此时|Sn|a1|，所以存在实数H，使得对任意的nN*，都有|Sn|H，所以D错误故选BC.二、填空题9(2020大同一中一模)设等比数
17、列an的前n项和为Sn，若S3S6S9，则数列an的公比q是_答案1解析当q1时，S3S63a16a19a1S9.当q1时，S3S6S9，2q3q61q9，(q31)2(q31)0，q1，q1.10(2020全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若a12，a2a62，则S10_.答案25解析设等差数列an的公差为d，由a12，a2a62，可得a1da15d2，即2d(2)5d2，解得d1.所以S1010(2)1204525.11设Sn是数列an的前n项和，且a11，(n1)an1(n1)Sn，则Sn_.答案解析(n1)an1(n1)Sn，nan1Sn1nSn，n(Sn1Sn)Sn1nSn，2，
18、nSn是首项为1，公比为2的等比数列，则nSn2n1，Sn.12(2020江苏高考)设an是公差为d的等差数列，bn是公比为q的等比数列已知数列anbn的前n项和Snn2n2n1(nN*)，则dq的值是_答案4解析等差数列an的前n项和公式为Pnna1dn2n，等比数列bn的前n项和公式为Qnqn，依题意SnPnQn，即n2n2n1n2nqn，通过对比系数可知得故dq4.三、解答题13(2020山东日照二模)已知数列an满足a12，nan1(n1)an2n(n1)，设bn.(1)求数列bn的通项公式；(2)若cn2bnn，求数列cn的前n项和解(1)解法一：因为bn，且nan1(n1)an2n
19、(n1)，所以bn1bn2，又因为b1a12，所以bn是以2为首项，2为公差的等差数列所以bn22(n1)2n.解法二：因为bn，所以annbn，又因为nan1(n1)an2n(n1)，所以n(n1)bn1(n1)nbn2n(n1)，即bn1bn2，又因为b1a12，所以bn是以2为首项，2为公差的等差数列所以bn22(n1)2n.(2)由(1)及题设，得cn22nn4nn，所以数列cn的前n项和Sn(411)(422)(4nn)(41424n)(12n).14(2020云南昆明三模)已知数列an为正项等比数列，Sn为an的前n项和，若S321，a2a36a1.(1)求数列an的通项公式；(2
20、)从三个条件：bn；bnan2n；bnlog2中任选一个作为已知条件，求数列bn的前n项和Tn.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分解(1)设数列an的公比为q，因为a2a36a1，所以a1qa1q26a1，故q2q60，解得q2或q3(舍去)，故q2.由S321，得a1(1qq2)21，将q2代入，得a13，所以数列an的通项公式为an32n1.(2)选择bn：bnn1，数列bn是首项为b11，公比为的等比数列，所以Tn3.选择bnan2n：bnan2n32n12n，所以Tn3(2n1)n2n.选择bnlog2：bnlog2log2log22n1n1，数列bn是首项为0，公差为1的等差数列所以Tn.