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1、专题23 平行四边形问题1.平行四边形定义有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用符号“ABCD”表示，读作“平行四边形ABCD”。2.平行四边形的性质（1）平行四边形的对边平行且相等；（2）平行四边形的对角相等；（3）平行四边形的对角线互相平分。 3.平行四边形的判定（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形； （5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 4.平行四边形的面积：S平行四边形=底边长高=ah【例题1】（2020温州）如图，在ABC中
2、，A40，ABAC，点D在AC边上，以CB，CD为边作BCDE，则E的度数为（）A40B50C60D70【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质可求C，再根据平行四边形的性质可求E【解析】在ABC中，A40，ABAC，C（18040）270，四边形BCDE是平行四边形，E70【对点练习】（2019山东临沂）如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BMDN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（）AOMACBMBMOCBDACDAMBCND【答案】A 【解析】由平行四边形的性质可知：OAOC，OBOD，再证明OMON即可证明四边形AMCN是平行四边
3、形证明：四边形ABCD是平行四边形，OAOC，OBOD对角线BD上的两点M、N满足BMDN，OBBMODDN，即OMON，四边形AMCN是平行四边形，OMAC，MNAC，四边形AMCN是矩形【例题2】（2020凉山州）如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OEAB交AD于点E，若OA1，AOE的周长等于5，则ABCD的周长等于16【答案】16【解析】由平行四边形的性质得ABCD，ADBC，OBOD，证OE是ABD的中位线，则AB2OE，AD2AE，求出AE+OE4，则AB+AD2AE+2OE8，即可得出答案四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ADBC，OBOD，OEAB，OE是ABD的
4、中位线，AB2OE，AD2AE，AOE的周长等于5，OA+AE+OE5，AE+OE5OA514，AB+AD2AE+2OE8，ABCD的周长2（AB+AD）2816；【对点练习】（2019湖北武汉）如图所示，在ABCD中，E.F是对角线AC上两点，AEEFCD，ADF90，BCD63，则ADE的大小为 【答案】21【解析】设ADEx，AEEF，ADF90，DAEADEx，DEAFAEEF，AEEFCD，DECD，DCEDEC2x，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，DAEBCAx，DCEBCDBCA63x，2x63x，解得：x21，即ADE21。【例题3】（2020扬州）如图，ABCD的对角线
5、AC、BD相交于点O，过点O作EFAC，分别交AB、DC于点E、F，连接AF、CE（1）若OE=32，求EF的长；（2）判断四边形AECF的形状，并说明理由【答案】见解析。【分析】（1）判定AOECOF（ASA），即可得OEOF=32，进而得出EF的长；（2）先判定四边形AECF是平行四边形，再根据EFAC，即可得到四边形AECF是菱形【解析】（1）四边形ABCD是平行四边形，ABCD，AOCO，FCOEAO，又AOECOF，AOECOF（ASA），OEOF=32，EF2OE3；（2）四边形AECF是菱形，理由：AOECOF，AECF，又AECF，四边形AECF是平行四边形，又EFAC，四边形
6、AECF是菱形【对点练习】(湖南省永州市)如图，四边形ABCD为平行四边形，BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E (1)求证：BE=CD (2)连接BF，若BFAE，BEA=60，AB=4，求平行四边形ABCD的面积 【答案】见解析。【解析】(1)证明：四边形ABCD为平行四边形，AB=CD，ADBE，DAE=AEB又AE平分BAD，DAE=BAE BAE=AEB BE=AB又AB=CD，BE=CD（2）BE=AB，BFAE，AF=EF，ADBE，D=DCE，DAF=FEC， ADFECF(AAS)S平行四边形ABCD=SABEBE=AB，BEA=60，ABE为等边三角形SA
7、BE=AEBF=44sin60=44=S平行四边形ABCD=一、选择题1（2020衡阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）AABDC，ADBCBABDC，ADBCCABDC，ADBCDOAOC，OBOD【答案】C【分析】根据平行四边形的定义，可以得到选项A中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以得到选项B中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以得到选项D中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；选项C中的条件，无法判断四边形A
8、BCD是平行四边形【解析】ABDC，ADBC，四边形ABCD是平行四边形，故选项A中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；ABDC，ADBC，四边形ABCD是平行四边形，故选项B中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；ABDC，ADBC，则无法判断四边形ABCD是平行四边形，故选项C中的条件，不能判断四边形ABCD是平行四边形；OAOC，OBOD，四边形ABCD是平行四边形，故选项D中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形.2（2020临沂）如图所示，P是面积为S的ABCD内任意一点，PAD的面积为S1，PBC的面积为S2，则（）AS1+S2S2 BS1+S2S2CS1+S2=S2 DS1
9、+S2的大小与P点位置有关【答案】C【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形和平行四边形的面积、三角形的面积，即可得到S和S1、S2之间的关系，本题得以解决【解析】过点P作EFAD交AD于点E，交BC于点F，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，SBCEF，S1=ADPE2，S2=BCPF2，EFPE+PF，ADBC，S1+S2=S23（2020陕西）如图，在ABCD中，AB5，BC8E是边BC的中点，F是ABCD内一点，且BFC90连接AF并延长，交CD于点G若EFAB，则DG的长为（）A52B32C3D2【答案】D【分析】依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到EF的长，再根据梯形
10、中位线定理，即可得到CG的长，进而得出DG的长【解析】E是边BC的中点，且BFC90，RtBCF中，EF=12BC4，EFAB，ABCG，E是边BC的中点，F是AG的中点，EF是梯形ABCG的中位线，CG2EFAB3，又CDAB5，DG5324.（2019广西池河）如图，在ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（）ABFBBBCFCACCFDADCF【答案】B【解析】利用三角形中位线定理得到DEAC，结合平行四边形的判定定理进行选择在ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，DE是ABC的中位线，DEACA.根据BF不能
11、判定ACDF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误B.根据BBCF可以判定CFAB，即CFAD，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确C.根据ACCF不能判定ACDF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误D.根据ADCF，FDAC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误二、填空题5（2020武汉）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是ABCD的对角线，点E在AC上，ADAEBE，D102，则BAC的大小是 【答案】26【解析】根据平行四边形的性质得到ABCD102，ADBC，根据等腰
12、三角形的性质得到EABEBA，BECECB，根据三角形外角的性质得到ACB2CAB，由三角形的内角和定理即可得到结论四边形ABCD是平行四边形，ABCD102，ADBC，ADAEBE，BCAEBE，EABEBA，BECECB，BECEAB+EBA2EAB，ACB2CAB，CAB+ACB3CAB180ABC180102，BAC266（2020天津）如图，ABCD的顶点C在等边BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG若AD3，ABCF2，则CG的长为 【答案】32【解析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质，可以得到BF和BE的长，然后可以证明DCG和EHG全等，然后即可
13、得到CG的长四边形ABCD是平行四边形，ADBC，CDAB，DCAB，AD3，ABCF2，CD2，BC3，BFBC+CF5，BEF是等边三角形，G为DE的中点，BFBE5，DGEG，延长CG交BE于点H，DCAB，CDGHEG，在DCG和EHG中，CDG=HEGDG=EGDGC=EGH，DCGEHG（ASA），DCEH，CGHG，CD2，BE5，HE2，BH3，CBH60，BCBH3，CBH是等边三角形，CHBC3，CG=12CH=327（2019湖南娄底）如图，平行四边形ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，点 E 是 AD 的中点，BCD 的周长为 18，则DEO 的周长是 【答案】
14、9【解析】E 为 AD 中点，四边形 ABCD 是平行四边形，DE= AD= BC，DO=BD，AO=CO，OE= CD，BCD 的周长为 18，BD+DC+B=18，DEO 的周长是 DE+OE+DO=（BC+DC+BD）=18=98.（ 2019河南省）如图，在ABCD中，BEAB交对角线AC于点E，若1=20，则2的度数是_.【答案】110【解析】本题考查了平行四边形的性质和和三角形外角的性质求角的大小，解题的关键是熟练运用平行四边形性质或三角形外角的有关知识思路：首先利用平行四边形的性质求出BAE的度数，再由2是ABE的外角求出2的大小.四边形ABCD是平行四边形ABCD，BAE=1=
15、20BEABABE=902是ABE的外角2=ABE+BAE=90+20=110 ，故答案为110. 9.(2019浙江金华)如图,已知ABCD，BCDE.若A20，C120，则AED的度数是 . 【答案】80【解析】延长DE交AB于F，根据平行四边形的性质及三角形内外角的关系可以确定AED的度数延长DE交AB于F，因为ABCD，BCDE，所以四边形BCDF为平行四边形，因为C120，所以BFD120，所以AFD60，又A20，所以AED60+2080，故答案为80 .三、解答题10（2020广元）已知ABCD，O为对角线AC的中点，过O的一条直线交AD于点E，交BC于点F（1）求证：AOECO
16、F；（2）若AE：AD1：2，AOE的面积为2，求ABCD的面积【答案】见解析。【分析】（1）由平行四边形的性质得出ADBC，得出EAOFCO，由ASA即可得出结论；（2）由于AE：AD1：2，O为对角线AC的中点，得出AEOADC，根据AOE的面积为2，可得ADC的面积，进而得到平行四边形ABCD的面积【解析】（1）四边形ABCD是平行四边形，ADBC，EAOFCO，O是AC的中点，OAOC，在AOE和COF中，EAO=FCOOA=OCAOE=COF，AOECOF（ASA）；（2）AE：AD1：2，O为对角线AC的中点，AO：AC1：2，EAODAC，AEOADC，AOE的面积为2，ADC的
17、面积为8，平行四边形ABCD的面积为1611（2020青岛）如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DEBF，连接AE，CF（1）求证：ADECBF；（2）连接AF，CE当BD平分ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由【答案】见解析。【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可以得到ADCB，ADCCBA，从而可以得到ADECBF，然后根据SAS即可证明结论成立；（2）根据BD平分ABC和平行四边形的性质，可以证明ABCD是菱形，从而可以得到ACBD，然后即可得到ACEF，再根据题目中的条件，可以证明四边形AFCE是平行四边形，然
18、后根据ACEF，即可得到四边形AFCE是菱形【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ADCB，ADCCBA，ADECBF，在ADE和CBF中，AD=CBADE=CBFDE=BF，ADECBF（SAS）；（2）当BD平分ABC时，四边形AFCE是菱形，理由：BD平分ABC，ABDCBD，四边形ABCD是平行四边形，OAOC，OBOD，ADBC，ADBCBD，ABDADB，ABAD，平行四边形ABCD是菱形，ACBD，ACEF，DEBF，OEOF，又OAOC，四边形AFCE是平行四边形，ACEF，四边形AFCE是菱形12（2020重庆）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点
19、O，分别过点A，C作AEBD，CFBD，垂足分别为E，FAC平分DAE（1）若AOE50，求ACB的度数；（2）求证：AECF【答案】见解析。【分析】（1）利用三角形内角和定理求出EAO，利用角平分线的定义求出DAC，再利用平行线的性质解决问题即可（2）证明AEOCFO（AAS）可得结论【解答】（1）解：AEBD，AEO90，AOE50，EAO40，CA平分DAE，DACEAO40，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ACBDAC40，（2）证明：四边形ABCD是平行四边形，OAOC，AEBD，CFBD，AEOCFO90，AOECOF，AEOCFO（AAS），AECF13（2020岳阳）如图
20、，点E，F在ABCD的边BC，AD上，BE=13BC，FD=13AD，连接BF，DE求证：四边形BEDF是平行四边形【答案】见解析。【分析】根据平行四边形的性质得出ADBC，ADBC，进而得出DFBE，利用平行四边形的判定解答即可【解析】四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBC，BE=13BC，FD=13AD，BEDF，DFBE，四边形BEDF是平行四边形14（2020淮安）如图，在ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，AC与EF相交于点O，且AOCO（1）求证：AOFCOE；（2）连接AE、CF，则四边形AECF（填“是”或“不是”）平行四边形【答案】见解析。【分析】（1）由ASA证
21、明AOFCOE即可；（2）由全等三角形的性质得出FOEO，再由AOCO，即可得出结论【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，OAFOCE，在AOF和COE中，OAF=OCEAO=COAOF=COE，AOFCOE（ASA）（2）解：四边形AECF是平行四边形，理由如下：由（1）得：AOFCOE，FOEO，又AOCO，四边形AECF是平行四边形；故答案为：是15.（2020陕西）如图，在四边形ABCD中，ADBC，BCE是边BC上一点，且DEDC求证：ADBE【答案】见解析。【分析】根据等边对等角的性质求出DECC，在由BC得DECB，所以ABDE，得出四边形ABCD是平行四边形，进而得出结论【解答】证明：DEDC，DECCBC，BDEC，ABDE，ADBC，四边形ABED是平行四边形ADBE第 21 页 共 21 页