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1、“三垂线定理及其逆定理（复习课）”教案、教案说明及点评李仕魁 执教（贵州省实验中学） 曹福海 点评（北京教科院基础教育教学研究中心）教案课题：三垂线定理及其逆定理（复习课）教材：人教版全日制普通高级中学（必修）数学第二册（下A）教学目的知识目标：进一步理解、记忆并应用三垂线定理及其逆定理。 能力目标：（1）理解三垂线定理及其逆定理之间的关系，掌握三垂线定理及其逆定理应用的规律；（2）善于在复杂图形中分离出适用的直线用于解题；（3）进一步培养学生的识图能力、思维能力和解决问题的能力德育目标：通过强化训练渗透化繁为简的思想和转化的思想教学重点进一步掌握三垂线定理及其逆定理并应用它们来解有关的题教学
2、难点对复杂图形如何分离出符合定理的条件用以解题以及解决问题的能力的培养授课类型复习课教学模式讲练结合 教学过程环节1：复习导入教师给出三垂线定理及其逆定理，然后提出问题：三垂线定理及其逆定理彼此独立吗？它们的位置能不能交换一下？ （引发学生对三垂线定理及其逆定理的关系的思考，分析三垂线定理及其逆定理的内容）环节2：三垂线定理及其逆定理的剖析1、认识三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。问题：正定理研究的是哪两条线的垂直关系？它是如何解决的？解决问题的主要思想使什么？设置目的：让学生通过分析得出三垂线定理是通过判断平面内的直线与斜线在平面内的
3、射影垂直来得到这条直线与斜线的垂直关系，即 线射垂直 线斜垂直 （平面问题） （空间问题） 从而让学生体会三垂线定理中蕴含的降维思想：把空间问题转化为平面问题。2、认识三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。问题：逆定理研究的又是哪两条直线的垂直关系？它又是如何解决的？设置目的：让学生类比三垂线定理的分析思路得出三垂线定理的已知和结论： 线斜垂直 线射垂直 （空间问题） （平面问题）教师再引导学生分析其中的数学思想：把空间中的条件归结到同一个平面中，这在解题中是非常重要的，把已知条件相对集中是解题的第一步。3、讨论正定理与逆定理的关系
4、正定理线射垂直 线斜垂直 （平面问题） 逆定理 （空间问题）从而得出两个定理的关系： （教师板书）正定理：线射垂直线斜垂直（先平面后空间） 逆定理：线斜垂直线射垂直（先空间后平面）4、总结应用两个定理解题的一般步骤教师引导学生通过对定理内容的再认识，提取应用两个定理解题的一般步骤。（出示幻灯片）基准平面主线垂线正定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。定 定 找逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。环节3、定理应用举例 应用一、证明线线垂直例1、判断下列命题的真假：（1）若a是平面的斜线，直线b垂
5、直于a在平面内的射影，则 ab （ ）（2）若 a是平面的斜线，平面内的直线b垂直于a在平面内的射影，则 ab （ ）（3）若a是平面的斜线，直线b 且b垂直于a在另一平面内的射影，则ab （ ）（4）若a是平面的斜线,b,直线 b垂直于a在平面内的射影，则 ab （ ）设置目的：加深学生对两个定理的认识，明确定理使用的条件，同时让学生能较好地理解三垂线定理及其逆定理中五个元素“一面四线”之间的关系。教学安排：安排四个学生口答，教师组织其他学生讨论，教师点评强调运用定理时需要注意的地方。例2、已知P 是平面ABC 外一点， PA平面ABC ，AC BC， 求证： PC BC。设置目的：让学生逐
6、步掌握应用定理证明两条直线垂直的一般步骤，巩固学生对两个定理的认识；通过对问题的解决让学生能够区分正定理和逆定理，在解题时能够正确的选用；题中没有配图，让学生学会根据已知信息画出几何图形。教学安排：教师先给出题干部分，让学生根据已知信息画出几何图形，教师再给出问题。由于题目并不难，可以由学生讨论解决，但这里主要是组织学生对运用三垂线定理解题的步骤的归纳。例3、在四面体ABCD中，已知ABCD，ACBD，求证：ADBC。设置目的：进一步加深学生对运用定理解题时的解题步骤地理解和掌握；让学生在解题中逐步学会通过寻找垂线来实现两种线线垂直关系的相互转化，ADBC是空间两条直线的垂直，通过正定理可以把
7、它转化为基准平面内的线线垂直问题，再利用逆定理把已知中的异面垂直关系集中到基准平面内，实现已知与未知的对接。教学安排：学生讨论完成，教师归纳方法。应用二、作出二面角的平面角问题1：我们知道利用几何法求二面角的大小时第一步就是要作出二面角的平面角，那么求作二面角的平面角的常用方法有哪些？教学安排：学生讨论，归纳出求作二面角平面角的三种方法即定义法（、垂面法、垂线法。问题2：为什么利用三垂线定理及其逆定理可以作出二面角的平面角？（让学生再次认识三垂线定理及其逆定理的结论，同时巩固学生对二面角的平面角定义的理解）教学安排：教师展示利用三垂线定理及其逆定理求作二面角的平面角的过程，其中重点是构造另一个
8、半平面。教师动画展示过程：平移平面内的直线a与斜线PO相交，从而利用相交直线作出平面，产生二面角，此时斜线PO与射影AO就形成了二面角的平面角。教师再点明问题中主线就是二面角的棱。 P P P a A a A O A O A O 例4、在四棱锥P-ABCD 中，已知底面ABCD 是正方形，侧棱PD 底面ABCD，PD =DC，求二面角C PB D的大小。设置目的：让学生熟悉利用三垂线定理及其逆定理求作二面角的平面角的基本方法，让学生体会到三垂线定理及其逆定理在求解二面角问题中的应用。教师安排：让学生思考后讨论解法，教师板书示范，这里强调几何证法。环节4、课堂小结问题：今天，我们研究了哪些问题？
9、（学生讨论，归纳总结这节课的研究的主要内容，教师出示幻灯片） v1、认识三垂线定理与其逆定理的内容和关系：正定理：线射垂直线斜垂直（先平面，后空间）逆定理：线斜垂直线射垂直（先空间，后平面）2、利用两个定理解题的基本思路：定基准平面定主线找垂线3、两个定理的主要应用：（1）证明线线垂直；（2）寻找二面角的平面角。环节5、布置课外作业（出示幻灯片）在四棱锥P-ABCD 中，已知底面ABCD 是正方形，侧棱PD 底面ABCD，PD =DC，E 是PC 的中点，作EF PB 交PB 于点F.(1)求证:PA /平面EDB； (2)证明:PB 平面EFD； (3)求二面角C PB D的大小（2004年
10、天津高考题）设置目的：检查学生对三垂线定理及其逆定理的理解和应用，这里主要是证明线线垂直和求作二面角的平面角。环节6、下课教案说明 一、授课内容的数学本质和教学目标定位1. 授课内容的数学本质本节课主要目的是加深学生对三垂线定理及其逆定理的理解和认识，同时通过例题和练习让学生逐步理解两个定理在证明线线垂直和求作二面角方面的运用。三垂线定理及其逆定理是高中立体几何中两个重要的定理。三垂线定理及其逆定理，揭示了平面内的直线与平面的垂线、斜线及斜线在平面内的射影这三条直线的垂直关系，其实质是平面内的一条直线与平面的一条斜线（或斜线在平面内的射影）垂直的判定定理。也就是说，这两个定理主要研究的是直线与
11、直线的垂直关系，进而也是研究直线与平面垂直、平面与平面垂直的重要结论。三垂线定理把平面内的直线与平面的斜线的垂直关系转化为平面内的直线与斜线在平面内的射影的垂直关系，这里把一个空间问题转化成一个平面问题，体现了数学中化归的思想。而三垂线定理的逆定理则是把平面内的直线与斜线在平面内的射影的垂直关系转化为平面内的直线与平面的斜线的垂直关系，此时是把空间的几何条件归结为平面内的几何条件，从而可以利用初中平面几何的知识来求解立体几何问题。因此，三垂线定理及其逆定理较好地展现了立体几何中空间问题与平面问题相互转化的重要思想。2. 教学的目标定位在之前，学生已经分别学习了三垂线定理和三垂线定理的逆定理，但
12、是对于两个定理之间联系和区别却没有太多的认识。因此，本节课的主要目的也就是让学生在已有知识的基础上，对三垂线定理及其逆定理进行进一步的学习和研究，从中体会立体几何的一些重要的数学思想。从知识目标上，加深学生对三垂线定理及其逆定理的理解和认识；从能力上，让学生在理解三垂线定理及其逆定理的基础上，能利用两个定理证明直线与直线的垂直问题、求二面角的大小等问题，从而体会三垂线定理及其逆定理的简单运用；从情感上，让学生通过对三垂线定理及其逆定理的再认识，体会立体几何中空间问题与平面问题相互转化的思想。二、教学内容的基础、地位和作用1. 三垂线定理及其逆定理的实质三垂线定理及其逆定理是共面两直线的垂直关系
13、于空间两直线的垂直关系之间的相互转化的判定定理，它们的实质是通过线线垂直得到线面垂直又转化为线线垂直。因此，这节课要求学生较好掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理，同时对三垂线定理和三垂线定理的逆定理要有一定的了解，就可以在教师的引导下通过师生探讨、学生讨论等方式对三垂线定理及其逆定理的关系及应用作进一步的学习。由于其中还涉及利用三垂线定理及其逆定理求作二面角的平面角，所以这节课一般放在立体几何一章的复习课上。2. 教学内容的地位和作用三垂线定理及其逆定理可以说是直线与平面垂直的判定定理和性质定理的应用，同时两个定理也是立体几何中空间问题与平面问题的相互转化的一个典型例子。通过对两个定理进一
14、步的学习，可以加深学生对直线与平面垂直的判定定理和性质定理得理解，从某种意义上说，也可以帮助学生更好地掌握直线与平面的垂直关系，让学生更好地体会立体几何中空间与平面相互转化的数学思想。三垂线定理及其逆定理是立体几何中证明各种垂直关系的重要结论，同时也是求作二面角的平面角的重要依据。三、教学诊断分析1. 学习本内容时学生容易了解的地方由于在之前学生已经分别对三垂线定理和三垂线定理的逆定理进行了一定程度的学习和练习，因此学生对两个定理的内容以及定理在解题中的应用都有了一些了解，而理解这两个定理的内容也是学好本节课的基础。2. 学习本内容时学生容易误解的地方在认识三垂线定理和三垂线定理的逆定理的关系
15、时，由于两个定理是彼此独立的，而两个定理刚好是两对线线垂直关系的相互转化，学生往往认为两个定理没有先后顺序可以交换，从而不能很好地理解两个定理中体现的数学思想。另一方面，由于没有很好地理解定理的内容，学生往往不知道什么时候应该使用这两个定理来解题，有的则是使用定理时没有完全具备定理中的条件。四、教法特点以及预期效果分析1. 教法特点教学的指导思想是：启发学生反复思考，不断内化成为自己的认知结构。整节课采用讲练结合的方式展开教学，以系列问题为纽带引导学生对两个定理的条件和结论进行思考，从而理清两个定理之间的关系。设置的例题由学生讨论完成，充分发挥学生的主体作用。在讲解每一个例题时，如何灵活地应用
16、三垂线定理及其逆定理都是讲课的重点，也是时刻要把握住的中心环节，特别是一个空间图形有多个平面时，更加强调解题的一般步骤：首先确定“基准平面”，再确定“主线”，然后找出“垂线”就是关键了。2. 预期效果通过本节课的学习，学生能很好地掌握三垂线定理和三垂线定理的内容，能较好地理解两个定理之间的关系，从而理解立体几何中空间问题与平面问题之间转化的数学思想，并能在之后的学习中逐步利用这种思想来研究立体几何问题。采用精讲多练的方法，能使学生见到的题型更多，解题思路更为灵活，使他们比较容易地提高一个层次，从而使以后的学习较为顺利。教学中紧紧把灵活运用三垂线定理及其逆定理作为重点，强调学生对运用定理的思路的
17、理解，并通过一定的例题让学生逐步体会到，由于三垂线定理及其逆定理研究的是平面的直线a与平面的斜线PO、直线a与斜线PO在平面内的射影AO之间的垂直关系，因此我们把直线a称为问题的“主线”，但由于主线a必须出现在平面内，所以我们把平面成为“基准平面”，所以利用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直的基本思路是：先定基准平面，再定主线，再找垂线。在例2和例3中都强调了这种思路，因此通过本节课的学习，学生对这种解题的基本思路会有一个更深刻的理解。在二面角大小的计算中，求作二面角的平面角一直是一个比较困难的问题，教学中通过平移主线a与斜线PO相交后构作另一个半平面，让学生感受了利用三垂线定理及其逆定理求作二
18、面角的平面角的基本原理，使得学生在今后计算二面角大小时能够更自如地利用三垂线定理及其逆定理来求作二面角的平面角。点评三垂线定理及其逆定理是高中立体几何中两个重要的定理。它揭示了平面内的一条直线与平面的垂线、斜线及斜线在平面内的射影这三条直线的垂直关系，是判定线线垂直的重要依据，进而也是研究线面垂直、面面垂直的重要依据；它较好地展现了立体几何中空间问题和平面问题相互转化的思想方法，而转化是处理立体几何中线面关系的基本策略。因而，三垂线定理及其逆定理的教学历来都受到广大数学教师的关注。李仕魁老师上的这节复习课是在学生已经对三垂线定理及其逆定理进行了一定程度的学习和练习，对这两个定理的内容以及应用有
19、了一些了解的基础上安排的。其主要特点有：1. 重视对这两个定理知识的梳理、方法的总结、本质的揭示这节课一开始以教师设问讲授的方式复习了这两个定理的内容，对这两个定理及其关系进行剖析，得到如下的结论： 线斜垂直逆定理正定理线射垂直 （平面问题） （空间问题） 进而，教师又总结了应用这两个定理解题的一般步骤： 定基准平面找垂线 定主线 然后,再通过四个例题的讲练，引导学生加深对这两个定理本质的理解 、按照解题步骤解决相关问题。2. 重视数学思想方法的渗透 这节课从系统复习到例题的讲练，直至小结，始终强调这两个定理所揭示的平面内一条直线与平面的钭线和斜线在平面内的射影同时垂直的结论，是我们可以把平面
20、内一条直线和平面的斜线垂直的空间问题与平面内一条直线和斜线在平面内射影垂直的平面问题相互转化的依据，而领悟和运用这种转化的思想方法正是立体几何教学的重要目标之一。3. 注意引导学生思考，适当开展师生互动 这节课采取了以教师讲授为主、讲练结合的教学方法。教学中，从系统复习到四个例题的处理，教师注意提出问题，引导学生思考，或回答问题，或相互议论，有一些师生互动，尽管课堂气氛还不甚活跃，但从学生反映看，这节课达到了预期效果。4. 运用了多媒体教学手段，辅之以板书板图，突出了教学重点，加大了教学容量这节课知识和方法的归纳、四个例题和小结要点的呈现，教师在课前都制作了课件，课上使用效果良好，而板书、板图简明扼要，相得益彰，起到了辅助教学的积极作用。总之，这节课是一节取得预期效果的好课。 当然，对于一位青年教师来说，这节课尚有可商榷之处，也有可以改进提高的空间。比如：如何按教学大纲（试验修订版）的教学目标准确把握对这两个定理的教学要求，确定本节课的教学目标？怎样设计教学过程（系列问题的设计、例题的选择、小结的处理等），使学生更积极主动地参与到教学之中，充分体现学生的主体地位？以上个人陋见，仅供参考。