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1、2.4函数与方程2.4.1函数的零点【学习要求】1.了解函数零点的概念，会求函数的零点；2.会判定二次函数零点的个数；3.熟悉函数零点的性质，理解函数零点与方程根的关系【学法指导】通过函数零点概念的建立，感知函数与方程的密切联系，进一步加深对函数方程思想的理解，同时体验数学中的转化思想的意义和价值.填一填：知识要点、记下疑难点1.零点的定义：一般地，如果函数yf(x)在实数处的值 等于零 ，即 f()0 ，则叫做这个函数的零点，我们也把一个函数的图象与 x轴交点 的横坐标叫做这个函数的零点函数yf(x)有零点函数yf(x)的图象与x轴有 交点 方程f(x)0有 实数根 2.二次函数yax2bx
2、c (a0)的零点当b24ac0时，二次函数有_2_个零点；b24ac0时，二次函数有_1_个零点；b24ac0时，二次函数有_0_个零点3.如果函数yf(x)在实数集R上有零点a，b (ab)，当函数的图象通过零点且穿过x轴时，函数值_变号，并在区间(，a)、(a，b)、(b，)上所有函数值保持同号.研一研：问题探究、课堂更高效问题情境下图是某地气象局测得当地一天的一张气温变化模拟函数图(即一个连续不间断的函数图象)，由于图象中有一段被墨水污染了，有人想了解一下当天7时到11时之间有无可能出现温度是0摄氏度，你能帮助他做出正确判断吗？探究点一函数零点的定义导引考察下列一元二次方程与对应的二次
3、函数：(1)方程x22x30与函数yx22x3；(2)方程x22x10与函数yx22x1；(3)方程x22x30与函数yx22x3.问题1你能列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴的交点坐标吗？答：略问题2“导引”中方程的根与对应函数图象与轴的交点有怎样的关系？答：方程根的个数与对应函数与x轴交点的个数相同，方程的根是函数与x轴交点的横坐标问题3在“导引”中，当x的值为1,3时，函数yx22x3的值为0，我们把1,3叫做函数yx22x3的零点，那么如何定义函数f(x)的零点？答：一般地，如果函数yf(x)在实数处的值等于零，即f()0，则叫做这个函数的零点在坐标系中表示图象与x轴的公共点的
4、是(，0)点. 问题4函数yf(x)有零点可等价于哪些说法？答：函数yf(x)有零点函数yf(x)的图象与x轴有交点方程f(x)0有实数根问题5函数的零点与函数图象上的点有什么区别？答：函数的零点不是点，是函数值为0时对应的自变量的值，也是函数图象与x轴交点的横坐标；函数图象上的点可用有序实数对表示，而函数的零点只用一个实数表示例1已知函数yax2bxc，若ac0，则函数f(x)的零点个数有 ()A0 B1 C2 D不确定解析：因为ac0， 所以函数yax2bxc的图象与x轴有两个交点，即函数f(x)的零点个数为2.小结：求函数的零点或判断零点的个数除了利用零点的定义外，还经常利用其等价结论跟
5、踪训练1函数yx22x8的零点是 ()A(2,0)，(4,0) B(2,0) C(4,0) D2和4解析：函数yx22x8对应的方程为x22x80，而方程x22x80有两个实数根，x12，x24， 由于函数零点就是对应方程的根，所以D选项正确探究点二函数零点的性质问题1二次函数f(x)x22x3的零点是什么，画出函数f(x)的图象观察函数零点把x轴分成哪几部分？函数f(x)在各部分的函数值的符号有什么特点？答： 由x22x30，解得x11，x23，即函数的零点为1,3.画出函数f(x)的图象如右图，发现函数零点把x轴分成(，1)，(1,3)，(3，)当x(1,3)时，y0.问题2观察f(x)x
6、22x3的图象，指出函数值的符号在函数零点附近发生怎样的变化？答:当函数的图象通过零点且穿过x轴时，函数值变号问题3二次函数f(x)x22x3在区间(2,1)上有零点x1，而f(2)0，f(1)0，即f(2)f(1)0，在区间(2,4)上有零点x3而f(2)0，即f(2)f(4)0.由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？答：如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根问题4如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，函数yf(
7、x)在区间(a，b)上存在零点，那么f(a)f(b)0是否一定成立？答:不一定成立，由下图可知问题5如果函数yf(x)满足了在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0两个条件后，函数的零点是唯一的吗？还要添加什么条件可以保证函数有唯一零点？答:函数零点不一定唯一，由下图可知还需添加函数yf(x)在区间a，b上单调小结:函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，但不一定有f(a)f(b)0.例2求函数yx32x2x2的零点，并画出它的图象解因为x32x2x2x2(x2)(x2)(x2)(x21)(x2)(x1)(x1)，所以已知函数的零点为1,1,2. 3个零点把x轴分成4
8、个区间：(，1)，(1,1)，(1,2)，(2，)在这4个区间内，取x的一些值，以及零点，列出这个函数的对应值表(略)，在直角坐标系内描点连线，即得函数图象如图所示：小结:由函数的图象不难看出，这一函数图象通过三个零点时，函数值分别改变了符号，并且在每个区间内，函数值保持同号跟踪训练2已知aR，讨论关于x的方程|x26x8|a的实数解的个数解:令f(x)|x26x8|，g(x)a，在同一坐标系中画出f(x)与g(x)的图象，如图所示，f(x)|(x3)21|，下面对a进行分类讨论，由图象得，当a0时，原方程无实数解；当a1时，原方程实数解的个数为3；当0a1或a0时，原方程实数解的个数为2.练
9、一练：当堂检测、目标达成落实处1.函数yx24的图象与x轴的交点坐标及其函数的零点分别是 ()A(0，2)；2 B(2,0)；2 C(0，2)；2 D(2,0)；2解析:令x240，得x2，故交点坐标为(2,0)，所以函数的零点为2.2.若函数f(x)在定义域R上的图象是连续的，图象穿过区间(0,4)，且方程f(x)0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)f(4)的值 ()A大于0 B小于0 C等于0 D无法判断解析:由题意可知，函数在零点左边和右边的函数值是异号的，所以f(0)f(4)0， 即m24m120，m6或m2.4.若函数f(x)x2axb的零点是2和4，则a_，b_.解析:2，4是函数f(x)的零点，f(2)0，f(4)0， 即解得.课堂小结：1.函数的零点实质上是函数图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)g(x)的根是函数yf(x)与yg(x)的图象交点的横坐标，也是函数yf(x)g(x)的零点2.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础. 2 / 2