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1、专题11.1 两个计数原理一、选择题1.（山东省2018年普通高校招生（春季）景区中有一座山，山的南面有2条道路，山的北面有3条道路，均可用于游客上山或下山，假设没有其他道路，某游客计划从山的一面走到山顶后，接着从另一面下山，则不同走法的种数是（ ）A 6 B 10 C 12 D 20【答案】C【解析】先确定从那一面上，有两种选择，再选择上山与下山道路，可得不同走法的种数是223=12.因此选C.2.（2020山西运城高三其他模拟（文）中国象棋中棋子“马”的走法规则是走“日”字的对角线（图中楚河汉界处的“日”字没有画出），如图，马从点处走出一步，只能到达点，中的一处则马从点出发到达对方“帅”所
2、在的处，最少需要的步数是A5B6C7D8【答案】B【解析】由题意可知，按如图所示的走法，需要6步即可点出发到达对方“帅”所在的处，故选：B.3（2020江西高三月考）四个学生，随机分配到三个车间去劳动，不同的分配方法数是（ ）A12B64C81D24【答案】C【解析】先安排一位同学分配到三个车间去劳动，有3种安排方法， 同理，再安排一位同学分配到三个车间去劳动，也有3种安排方法，依次类推，因此，根据分步乘法计数原理共有种分配方法.故选：C4（2020云南昆明一中高三其他模拟（理）数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343 ，12
3、521等.两位数的回文数有11 ，22 ，3，99共9个，则在三位数的回文数中偶数的个数是（ ）A40B30C20D10【答案】A【解析】由题意，若三位数的回文数是偶数，则末（首）位可能为，.如果末（首）位为，中间一位数有种可能，同理可得，如果末（首）位为或或，中间一位数均有种可能，所以有个，故选：A5（2019福建高二期末（理）如图，某城市中，、两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从到不同的走法共有（ ）A.10B.13C.15D.25【答案】C【解析】因为只能向东或向北两个方向向北走的路有5条，向东走的路有3条走路时向北走的路有5种结果，向东走的路有3种结果根
4、据分步计数原理知共有种结果，选C6（2019北京高二期末）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图：如果把5根算筹以适当的方式全部放入 下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为（ ）ABCD【答案】B【解析】按每一位算筹的根数分类一共有15种情况,如下 2根以上的算筹可以表示两个数字，运用分布乘法计数原理，则上列情况能表示的三位数字个数分别为：2，2，2，4，2，4，4，4，4，4，2，2，4，2，2
5、，根据分布加法计数原理，5根算筹能表示的三位数字个数为：.故选B.7（2019安徽六安二中高二期末（理）如图，用5种不同的颜色把图中、四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有( )A.200种B.160种C.240种D.180种【答案】D【解析】涂有5种涂法，有4种，有3种，因为可与同色，故有3种，由分步乘法计数原理知，不同涂法有种故答案选D.8（2019上海市七宝中学高一月考）如果不等式组的整数解有（）个，那么适合这个不等式组的整数、的有序数对共有（ ）个A.17个B.64个C.81个D.72个【答案】D【解析】由得，不妨设，故可取共种可能，可取共种可能，可以满足整数解有个
6、，为.所以有序数对共有个，故选D.9（2020江西高三月考）、五人排一个5天的值日表，每天由一人值日，每人可以值多天或不值，但相邻的两天不能由同一人值，那么值日表的排法种数为（ ）A120B324C720D1280【答案】D【解析】根据分步计数原理，可得：第一天可以是5个人中的任意一个，共有5种情形；第二天除了第一天的那个人，另外4个人任意一个都可以，共有4种情形；第三天除了第二天的那个人，另外4个人任意一个都可以，共有4种情形；第四天除了第三天的那个人，另外4个人任意一个都可以，共有4种情形；第五天除了第四天的那个人，另外4个人任意一个都可以，共有4种情形；所以所有的排法总数为：种.故选：D
7、.10（2020四川高一月考）设，与是的子集，若，则称为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”（规定与是两个不同的“理想配集”的个数是（ ）A16B9C8D4【答案】B【解析】由题意，对子集分类讨论：当集合，集合可以是，共4中结果；当集合，集合可以是，共2种结果；当集合，集合可以是，共2种结果；当集合，集合可以是，共1种结果，根据计数原理，可得共有种结果.故选：B.二、填空题11.（浙江省杭州市第二中学2018届高考仿真）工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的2个螺栓.则不同的固定螺栓方式的种数是_【答案】60
8、【解析】根据题意，第一个可以从6个钉里任意选一个，共有6种选择方法，并且是机会相等的，若第一个选1号钉的时候，第二个可以选3,4,5号钉，依次选下去，可以得到共有10种方法，所以总共有106=60种方法，故答案是60.12.（2019湖北高二期末（理）有位同学参加学校组织的政治、地理、化学、生物门活动课，要求每位同学各选一门报名（互不干扰），则地理学科恰有人报名的方案有_【答案】【解析】由题意，先在4位同学中选2人选地理学科，共种选法，再将剩下的2人在政治、化学、生物3门活动课任选一门报名，共339种选法，故地理学科恰有2人报名的方案有6954种选法，故答案为：5413（2020陕西西安中学高
9、三月考（理）汽车上有5名乘客，沿途有3个车站，每人在3个车站中随机任选一个下车，直到乘客全部下车，不同的下站方法有_种（用数字作答）【答案】243【解析】因为每位乘客可以在任意的车站下车，所以每位乘客下车的情况有3种，所以5名乘客下客站的方法有种故答案为：24314.（2020福建高三其他模拟（理）寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有_种.【答案】45【解析】先选出坐对位置的人，即从5人中选1人，有5种可能；剩下四人进行错排，设四人座位为，则四人都不坐在自己位置上有
10、这9种可能；所以恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有种故答案为：4515（2019浙江高考模拟）某超市内一排共有个收费通道，每个通道处有号，号两个收费点，根据每天的人流量，超市准备周一选择其中的处通道，要求处通道互不相邻，且每个通道至少开通一个收费点，则周一这天超市选择收费的安排方式共有_种【答案】108【解析】设6个收费通道依次编号为1,2,3,4,5,6，从中选择3个互不相邻的通道，有135,136,146,246共4种不同的选法.对于每个通道，至少开通一个收费点，即可以开通1号收费点，开通2号收费点，同时开通两个收费点，共3种不同的安排方式.由分步乘法计数原理，可得超市选择收费的安排方
11、式共有种.16.（2019上海高二期末）现有颜色为红、黄、蓝的小球各三个，相同颜色的小球依次编号、，从中任取个小球，颜色编号均不相同的情况有_种【答案】【解析】设红色的三个球分别为、，黄色的三个球分别为、，蓝色的三个球分别为、，现从中任取个小球，颜色编号均不相同的情况有：、，因此，从中任取个小球，颜色编号均不相同的情况有种，故答案为：.17（2020福建厦门一中高三其他模拟（理）2020年初，湖北面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，厦门人民心系湖北，志愿者纷纷驰援，若将甲、乙、丙、丁4名医生志愿者分配到A，B两家医院（每人去一家，每家医院至少安排1人），且甲医生不安排在A医院，则共有_种
12、分配方案.【答案】7【解析】甲只能安排在医院，乙、丙、丁3名医生共有种安排方法，其中乙、丙、丁3名医生都安排在医院不合题意，所以符合题意的分配方案共有种.故答案为：7.18（2018长沙市明德中学高三开学考试（理）关于x，y，z的方程x+y+z7（其中x，y，zN+）的解共有_组【答案】15【解析】当x1时，y+z6，所以（y，z）可以为（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）共5种；当x2时，y+z5，所以（y，z）可以为（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共4种；当x3时，y+z4，所以（y，z）可以为（1，3），（2，2）（3，1）共3种；当x4时，y+z3，
13、所以（y，z）可以为（1，2），（2，1）共2种；当x5时，y1，z1只有1种；综上方程x+y+z7（其中x，y，zN+）的解共有：1+2+3+4+515种故答案为：15.19如图所示，在连结正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有_个（用数字作答）.【答案】40【解析】把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8432（个）.第二类，有两条公共边的三角形共有8个.由分类加法计数原理知，共有32840（个）.故答案为：40.20若m，n均为非负整数，在做mn的加法时各位均不进位(例如：1343 8023 936)，则称(m，n)为“简单的”有序
14、对，而mn称为有序对(m，n)的值，那么值为1 942的“简单的”有序对的个数是_.【答案】300【解析】第1步，110,101，共2种组合方式；第2步，909,918,927,936，990，共10种组合方式；第3步，404,413,422,431,440，共5种组合方式；第4步，202,211,220，共3种组合方式.根据分步乘法计数原理，值为1942的“简单的”有序对的个数是21053300.故答案为：300.21（2019山西高三期末（理）一个五位自然数数称为“跳跃数”，如果同时有或（例如13284，40329都是“跳跃数”，而12345，54371，94333都不是“跳跃数”），则由
15、1，2，3，4，5组成没有重复数字且1，4不相邻的“跳跃数”共有_个.【答案】【解析】若为“M”型：第二位和第四位是4、5时，4、5的排法有2种，则1只有1种排法，2、3安排在剩下的2个位置，此时有224个跳跃数；第二位和第四位是3、5时，3、5的排法有2种，则4只有1种排法，1、2安排在剩下的2个位置，此时有224个跳跃数；若为“W”型：第二位和第四位是1、2时，1、2的排法有2种，则4只有1种排法，3、5安排在剩下的2个位置，此时有224个跳跃数；第二位和第四位是1、3时，1、3的排法有2种，此时只有2个跳跃数；则一共有4+4+4+214个跳跃数；故答案为：14.22（2020全国高三其他模拟（理）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹记数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如下表：数字形式纵式横式表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图所示.如果把根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为_.【答案】【解析】按每一位算筹的根数分类一共有种情况，分别为、，根或根以上的算筹可以表示两个数字，运用分步乘法计数原理，得上面情况能表示的三位数字个数分别为：、，根据分类加法计数原理，得根算筹能表示的三位数字个数为：.故答案为：. 第11页，总11页