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1、第七章 复数 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 一、教学目标1. 了解数系的扩展过程以及虚数单位i的引入；2.理解复数的基本概念、表示法及相关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)；3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件；4.通过对数系的扩充和复数的概念的学习，培养学生数学抽象、数学运算、直观想象等数学素养。二、教学重难点1.对虚数单位i的规定以及复数的有关概念；2.虚数单位i的引入以及复数概念的理解。三、教学过程：1、创设情境：（阅读）数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的
2、数0.自然数的全体构成自然数集N随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.显然NQ.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有ZQ、NZ.如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看
3、作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R以后，数集是否完整？问题1.对于实系数一元二次方程，在实数集中我们无法解决通过以上阅读我大胆地想象一下，能否再次将实数集进行扩充，使得在新的数集中，这个问题能得到圆满解决？2、建构数学1.复数的相关概念： (1)虚数单位（两个规定）引入新数，并规定： ；实数可以与
4、它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立叫做虚数单位。 (2).复数的定义： 形如a+bi(a、bR)的数叫做复数，全体复数所成的集合叫做复数集，一般用字母C表示. (3).复数的表示（代数）形式：复数通常用字母 z 表示，即z=a+bi（a、bR）其中a叫复数z的实部，b叫复数z的虚部. 练习1.将下列式子化为 a+bi（a、bR）的形式，并分别指出它们的实部和虚部(1)2-i ；(2)2i+3; (3)-2i ；(4)0.生答:(1)2-i =2+(-1)i，实部2，虚部-1；(2)2i+3=3+2i,实部3，虚部2；(3)-2i =0+（-2）i ，实部0，虚部-2；（
5、4）0=0+0i ，实部0，虚部0。问题2.复数z=a+bi（a、bR）满足什么条件是实数？生答:当b=0时，则复数为实数。 (4). 复数的分类：zabi(a，bR) 练习2.写出复数的实部和虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，那些是纯虚数。生答:的实部是2,虚部是-3,它是虚数;4的实部是4,虚部是0,它是实数;的实部是,虚部是,它是虚数;的实部是0,虚部是6,它是纯虚数;练习3.设，“”是“复数是纯虚数”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当a=0时，如果b=0，此时是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果已经是纯虚数
6、，由定义实部为零，虚部不为零可以得到a=0，因此是必要条件，故选:B2. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等设a，b，c，d都是实数，那么abicdia=c,bd注意：两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。但两个实数可以比较大小。3、 数学应用例1.已知复数.（1）取什么值时，为实数；（2）取什么值时，为纯虚数.解:（1）复数，若为实数，则，即（2）若为纯虚数，则，解得变式训练1.在复平面内，复数 （其中）. （1）若复数为实数，求的值；（2）若复数为纯虚数，求的值；解:（1）因为复数为实数，所以，所以或4；（2）因为复数为纯虚数，所以，所以
7、变式训练2.已知复数z(a25a6)i(aR)实数a取什么值时，z是(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？解:（1）当z为实数时，有a25a60， 且有意义， 解得a1或a6，解得a1，a6，即a6时，z为实数.（2）当z为虚数时，有a25a60， 且有意义， 解得a1且a6，解得a1，a1且a6，当a（，1）（1,1）（1,6）（6，）时，z为虚数.（3）当z为纯虚数时，无解，不存在实数a使z为纯虚数.例2.根据下列条件，分别求实数x，y的值(1)x2y22xyi2i；(2)(2x1)iy(3y)i.解:(1)x2y22xyi2i，且x，yR，解得或(2)(2x1)iy(3y)i，且x，yR，解得变式训练1.设x，yR，且满足(xy)(x2y)i(x3)(y19)i，则xy_.解:因为x，yR，所以利用两复数相等的条件有解得所以xy1.4、 小结：（1）复数的相关概念：（2）两个复数相等的定义：五、作业：习题7.1