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1、第2课时指数函数的性质的应用学 习 目 标核 心 素 养1.掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小及解不等式(重点)2通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是研究函数的重要工具，并能运用指数函数研究一些实际问题(难点)借助指数函数的性质及应用，培养逻辑推理和数学运算素养.利用指数函数的单调性比较大小【例1】比较下列各组数的大小：(1)1.52.5和1.53.2；(2)0.61.2和0.61.5；(3)1.70.2和0.92.1；(4)a1.1与a0.3(a0且a1)解(1)1.52.5,1.53.2可看作函数y1.5x的两个函数值，由于底数1.51，所以函数y1.5x在
2、R上是增函数，因为2.53.2，所以1.52.51.5，所以0.61.21.701,0.92.10.92.1.(4)当a1时，yax在R上是增函数，故a1.1a0.3；当0a1时，yax在R上是减函数，故a1.11和0a1两种情况分类讨论.1比较下列各值的大小：，2，3，.解先根据幂的特征，将这4个数分类：(1)负数：3；(2)大于1的数：，2；(3)大于0且小于1的数：.(2)中，22(也可在同一平面直角坐标系中，分别作出yx，y2x的图象，再分别取x，x，比较对应函数值的大小，如图)，故有32.利用指数函数的单调性解不等式【例2】(1)解不等式3x12；(2)已知ax23x10，a1)，求
3、x的取值范围解(1)21，原不等式可以转化为3x11.yx在R上是减函数，3x11，x0，故原不等式的解集是x|x0(2)分情况讨论：当0a0，a1)在R上是减函数，x23x1x6，x24x50，根据相应二次函数的图象可得x5；当a1时，函数f(x)ax(a0，a1)在R上是增函数，x23x1x6，x24x50，根据相应二次函数的图象可得1x5.综上所述，当0a1时，x5；当a1时，1xag(x)(a0，a1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)ag(x)2若ax153x(a0且a1)，求x的取值范围解因为ax153x，所以ax
4、1a3x5，当a1时，yax为增函数，可得x13x5，所以x3；当0a1时，yax为减函数，可得x13.综上，当a1时，x的取值范围为(，3)；当0a0，且a1)的单调性与yx2的单调性存在怎样的关系？提示：分两类：(1)当a1时，函数yax2的单调性与yx2的单调性一致；(2)当0a1时，函数yax2的单调性与yx2的单调性相反【例3】判断f(x)x22x的单调性，并求其值域思路点拨解令ux22x，则原函数变为yu.ux22x(x1)21在(，1上递减，在1，)上递增，又yu在(，)上递减，yx22x在(，1上递增，在1，)上递减ux22x(x1)211，yu，u1，)，00，a1)的单调性
5、的处理技巧(1)关于指数型函数yaf(x)(a0，且a1)的单调性由两点决定，一是底数a1还是0a1；二是f(x)的单调性，它由两个函数yau，uf(x)复合而成.(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成yf(u)，u(x)，通过考查f(u)和(x)的单调性，求出yf(x)的单调性.1比较两个指数式值的大小的主要方法(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数yax的单调性(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且cbn，则amc且cbn，则ambn.2解简单指数不等式问题的注意点(1)形如axay的不等式，可借助yax的单调性求解如果a的值
6、不确定，需分0a1两种情况进行讨论(2)形如axb的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助yax的单调性求解(3)形如axbx的不等式，可借助图象求解3(1)研究yaf(x)型单调区间时，要注意a1还是0a1时，yaf(x)与f(x)单调性相同当0a0.1b，则ab.()(3)a，b均大于0且不等于1，若axbx，则x0.()(4)由于yax(a0且a1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也组不成具有奇偶性的函数()答案(1)(2)(3)(4)2若2x11，则x的取值范围是()A(1,1)B(1，)C(0,1)(1，) D(，1)D2x1120，且y2x是增函数，x10，x0且a1)的图象经过点.(1)比较f(2)与f(b22)的大小；(2)求函数g(x)ax22x(x0)的值域解(1)由已知得a2，解得a，因为f(x)x在R上递减，2b22，所以f(2)f(b22)(2)因为x0，所以x22x1，所以3，即函数g(x)a(x0)的值域为(0,37