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1、 22.1 一元二次方程 导学案学习目标：1. 能把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）；在这一过程中，体会到方程是刻画现实世界数量关系的工具2. 知道一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，能说出二次项系数、一次项系数及常数项学习过程：一、复习：列方程解应用题有哪些步骤？问题1 绿苑小区在规划设计时，准备在两棟楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？（设宽为x米，列方程）问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率。（设平均增长率为x，列方程不用求解）22问题3 有一块矩形铁皮，
2、长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作无盖方盒底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形呢？根据题意，列出方程（不必求解）二、探索新知：将上述三个方程展开并按x的降幂排列，观察是一元一次方程吗？它们有何共同点？ _ _ _满足上述3个条件的方程，就是一元二次方程一元二次方程的一般形式：任何一个一元二次方程都可以化为一般形式：_（a、b、c是已知数，a0）注意： ax2叫做_，其中a叫做_ bx叫做_，其中b叫做_ c叫做_ 为什么要a0？若a0且b0，则它是_说明：一元二次方程的一般形式ax2bxc0（a0）具
3、有两个特征： 方程的右边为0； 左边的二次项系数、一次项系数和常数项都要包括它前面的符号。三、课堂练习：1.将下列一元二次方程化为一般形式，并指出方程中的二次项系数、一次项系数和常数项：课堂检测：1. 下列方程中，哪些是一元二次方程？请说明理由。 3x25x3 2. (x3)(3x4)(x2)2化为一般形式为_，二次项系数是_、一次项是_、常数项_、3. 当a_时，关于x的方程是一元二次方程。4. 已知关于x的一元二次方程（m1）x23x5m40有一个解为2 ，求m5. 已知m是方程x2x60的一个根，则代数式m2m的值为_你本节课的收获有哪些？教学反思：一元二次方程是学生学习了一元一次方程和
4、二元一次方程组之后所接触的第三类方程，所以对于的它的概念，学生很容易理解。我通过三个实际问题，让学生经历了二次项的产生过程，之后让学生来归纳出一元二次方程的三个特点只有一个未知数；未知数的最高次数是2次方程两边都是整式。本节的第二个知识点就是一元二次方程的一般形式，学生在理解起来是比较容易的，但在练习中也会有不少学生会把二次项和一次项位置写反掉，或是在写系数时没有带上符号。22.2 一元二次方程的解法1-直接开平方法学习目标： 学习过程：一、复习：1. 一元二次方程需要满足的三个条件是什么？2. 将方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。 53x2 y22(y1)(2
5、y1)(2y1)3. 若x2a，则x叫做a 的_ 符号： x2a x_4. 36平方根是_，的平方根是_二、新课：1. 如何解方程x24根据平方根的定义，由x24可知，x就是4的平方根。因此x的值为2和2即 x24 x2 即此一元二次方程的解为：x12，x22这种利用平方根的定义来解一元二次方程的解法叫做_2. 若是方程2x21，你能否转化为类似第1题中的方程来解？若是4x210呢？解方程： 2x21 4x2103. 方程，它又与第1题中的方程有何区别？（1）根据提示，完成下面解题过程:由方程，得 _即 _； _ x1_； x2_（2） 方程 与（1）中的方程有什么区别？它又如何来解呢？方程
6、呢？请解答解方程：归纳：用直接开平方法解一元二次方程的步骤： _ _用直接开平方法解一元二次方程实质是将方程降幂，化为两个一元一次方程课堂检测：解方程： (1) x2=5 (2) （3）3x290 （4） (5) 9t260 (6) (7)3（2x1）2150本节课你有什么收获？教学反思：本节通过平方根，来引入如何用直接开平方法解一元二次方程。目的在于进一步加深学生对定义的掌握,提高学生对变式的理解能力。采取抢答的形式,提高学生学习数学的兴趣和积极性。另外，让学生通过自主探究,如何运用直接开平方法，从而达到真正理解并掌握的目的。本节课较容易掌握，但对于整体思想还有待进一步提高。一元二次方程的解
7、法2-因式分解法学习目标： 1. 知道具备什么条件的一元二次方程可适用因式分解法 2. 会用因式分解法来解一元二次方程学习过程：一、复习：1.形如_的一元二次方程可以用直接开平方法来解2.解方程：4x224 2(3x1)2100二、探索新知1. 阅读课本，可知，因式分解法适用于_的一元二次方程2. 因式分解法的根据是：若ab0，则a0或b0。这样，就把一元二次方程转化为两个一元一次方程，达到降幂的目的3. 说出下列方程的根 x(x8)0 (3x1)(2x5)04. 方程x24能否用因式分解法来解？试试看。解方程：x28x0 (5x7)(4x1)0 4x290 9x26x10 (x1)2250
8、x3x(x3) 3x(x1)2(1x) (3x5)23x15 本节课你有什么收获？教学反思： 教学时可以让学生先各自求解，然后进行交流，发现分解因式是解某些一元二次方程较为简便的方法。利用分解因式法解题时，要求熟练掌握平方差公式和完全平方公式。同学会背公式，但运用不熟练。另外，介绍了十字相乘法，大部分同学还是很喜欢的！对策：我将在以后的教学中对自己存在的优点我会继续保持，针对不足我将会不断地改进，使自己的课堂教学逐步走上一个新的台阶。一元二次方程的解法3-配方法学习目标：掌握配方法的步骤，能熟练地运用配方法解一元二次方程学习过程：一、复习1. 写出完全平方公式：_，_2. 填空（1）+6x+(
9、 )=(x+ )； （2）-8x+( )=(x- )；（3）+( )=(x+ ) （4）（5）3. 上述个5式子中，一次项系数和常数项有什么关系？4. 解方程：(x3)2=5二、新课问题1. 方程(x3)2=5与x26x40有什么关系？如何解方程x26x40呢？x26x40问题2. 能否将方程x26x40化为(mxn)2=p的形式？阅读课本，完成下图。（移项：把常数项移往方程的右边）（配方：方程两边都加上_ 左边写成完全平方式 用直接开平方法解方程 像这种把方程变形为：左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而用直接开平方法来求解的方法叫做_。检测：1. 将方程x24x10配方
10、后，原方程变形为_2. 解方程：x22x80 x26x1若二次项系数不为1呢？归纳：用配方法解一元二次方程（二次项系数为1）的步骤： _ _ _课堂检测：用配方法解下列方程（1）412x10 （2）32x30教学反思: 本节引导学生通过转化得到解一元二次方程的配方法，在教学中最关键的是让学生掌握配方，配方的对象是含有未知数的二次三项式，其理论依据是完全平方式，配方的方法是通过添项：加上一次项系数一半的平方构成完全平方式，对学生来说，要理解和掌握它，确实感到困难，因此在教学过程中及课后批改中发现学生出现以下几个问题：1.在利用添项来使等式左边配成一个完全平方公式时，等式的右边忘了加。 2.在开平
11、方这一步骤中，学生要么只有正、没有负的，要么右边忘了开方。 3.当一元二次方程有二次项的系数不为1时，在添项这一步骤时，没有将系数化为1，就直接加上一次项系数一半的平方。 因此，要纠正以上错误，必须让学生多做练习、上台表演、当场讲评，才能熟练掌握。 一元二次方程的解法4-公式法学习目标：经历探索求根公式的推导过程，提高逻辑思维能力 会用公式法解一元二次方程学习过程：一、复习1. 配方法的步骤是什么？2. 用配方法解方程： 7x80 abxc0（a0）二、新课1. 在用配方法解abxc0（a0）的过程中，为什么需要条件4ac0？若4ac0，会怎样呢？2. 一元二次方程abxc0的求根公式：_利用
12、这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的根这种解方程的方法叫做_。应用求根公式应注意： 必须把方程化为一般形式 公式中的系数a、b、c应包括它前面的符号 4ac0阅读课本P28-30，用公式法解下列方程：（1）6x10； （2）2x6；（3）43x1x2； （4）3x（x3）2（x1）（x1）本节课你有哪些收获？教学反思: 通过本节课的教学，使我真正认识到了自己课堂教学的成功与失败。对我今后课堂教学有了一定引领方向有了很大的帮助。下面我就谈谈自己对这节课的反思。 本节课的重点主要有以下3点： 1. 找出a,b,c的相应的数值 2. 验判别式是否大于等于0 3. 当判
13、别式的数值符合条件,可以利用公式求根. 出现问题：1. a,b,c的符号问题出错,在方程中学生往往在找某个项的系数时总是丢掉前面的符号。 2. 求根公式本身就很难,形式复杂,代入数值后出错很多. 所以应该按步骤来写，才能收到更好的教学效果。 3让学生上台板演，可以及时发现问题、及时纠正。一元二次方程的解法习题课学习目标：能够选择合适的方法解一元二次方程学习过程：一元二次方程的解法有哪些？各自的适用范围是什么？ 若x2-2x=2，则2x2-4x3=_教学反思: 本节课以练为主，主要以学生为主体，让他们上台板演，并让学生进行讲解，真正地把课堂还给学生。但在某些问题上还是需要老师的讲解的。今后会多加
14、培养小老师，在基础题上多加以训练巩固。一元二次方程根的判别式学习目标：能利用根的判别式判断方程的根的情况、能求字母系数的取值范围学习过程：1. 复习求根公式的推导过程2. 如何理解“4ac决定了一元二次方程的根的情况”这句话？3. 知识点：一元二次方程abxc0（a0）的根的判别式： 4ac0 方程有两个不相等的实数根；0 方程有两个相等的实数根 ；0 方程没有实数根根的判别式的应用 不解方程，判断根的情况。对于一元二次方程，下列说法正确的是（ ）A. 方程无实数根 B.方程有两个相等的实数根C. 方程有两个不相等的实数根 D.方程的根无法确定 根据方程的根的情况，确定待定系数的取值范围。已知
15、关于的一元二次方程有两个实数根和求实数的取值范围； 证明含字母系数的方程有实数根或无实数根。已知关于的一元二次方程（）.（1）求证：这个方程有两个不相等的实数根.（2）如果这个方程的两个实数根分别为，且，求m的值. 判断当字母为何值时，二次三项式是完全平方式若关于a的二次三项式16a2+ka+25是一个完全平方式则k的值可能是_若关于a的二次三项式ka2+4a+1是一个完全平方式则k的值可能是_教学反思：根的判别式是一个重点，本节课通过四种情况来讲解根的判别式的应用。采作分层教学，对于部分同学，证明的题目比较弱化。不同学生有不同的体会，尊重学生的个体差异，激发学生主动参与意识，为每个学生都创造
16、了数学活动中获得活动经验的机会。分四种情况进行讨论，开拓学生思维，体现数学的严谨性。一元二次方程的根与系数的关系学习目标：知道韦达定理的推导过程 能利用韦达定理解决一些简单的问题学习过程：阅读课本，一般的，若、是一元二次方程pxq0（p、q为已知常数，4q0）的两个根，则_，_。利用求根公式证明你的结论。若、是一元二次方程abxc0（a0）的两个根，此时_， _。你是怎么得到的？说说你的方法这个式子反映了一元二次方程的两根与系数a，b，c之间的关系，称之为韦达定理。韦达定理的应用：1. 已知方程的一个根，求另一个根和未知系数2. 求与已知方程的两个根有关的代数式的值3. 已知方程两根满足某种关
17、系，确定方程中字母系数的值4. 已知两数的和与积，求这两个数5. 已知方程的两根、，求作一个新的一元二次方程。那么课堂检测：2. 若x1，x2是一元二次方程x23x+2=0的两根，则x1+x2的值是3. 已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是 ， 4. 一元二次方程和 所有实数根的乘积等于 5.（2012张家界）已知m和n是方程2x25x3=0的两根，则= 6. 已知，是方程的两根，则（1）+ ；（2）（）（） 7. 写出一个根分别为3和1的一元二次方程：_教学反思：根与系数的关系，又称为韦达定理，是中考的一个考点，难点是定理的推导。常见的是二次项系数为1的情况，而二次项不为1的公式也
18、给出。韦达定理很是灵活，可已知方程，再判断两根之和、两根之积；也可已知其中一根，求另一根；还可以结合字母的表达，等等。所以要多出点题型，多做多练，才能熟能生巧。22.3 一元二次方程的应用 导学案学习目标：会根据实际问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，体会到方程是刻画世界现实数量关系的有效模型；能根据问题的实际意义，检验所的的结果是否合理，提高分析问题和解决问题的意识和能力学习过程： 1、一元二次方程的解法有哪些？各自的适用范围是什么？ 3、新课预习： 阅读课本 若小路形状如下图所示，其他条件不变，又该如何列方程？课堂检测：（2012滨州）滨州市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每
19、两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空解：设应邀请x支球队参赛，则每对共打 场比赛，比赛总场数用代数式表示为 根据题意，可列出方程 整理，得 解这个方程，得 合乎实际意义的解为 答：应邀请 支球队参赛阅读课本P26例8，它与课本P16的问题2有什么相似和不同之处？设增长（降低）前的数量为a，增长率（降低率）为x，增长（降低）的次数为n，增长（降低）后的数量为Q ，则Q_课堂检测：（2012成都）一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率是一样的，那么每次提价的百分率是 （2012广东）据媒体报道，我国2
20、009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？例（2012山西）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？教学反思：运用一元二次方程解决实际问题,可提高学生利用方程思想解决实际问题的能力，让学生通过数形结合的方法,转化实际问题,从而得到方程,为学好一元二次方程添砖加瓦。让学生充分感受列方程的特点和步骤, 并强调解题格式。对于应用题，难点在于找等量关系。