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1、利用数形结合求解函数问题摘要:数形结合思想方法是研究数学问题的重要方法，本文对中学数学中的函数问题，谈谈如何运用数形结合的思想解题。关键词：数形结合、图形、函数。著名的数学家华罗庚先生说过：数形结合千般好，数形分离万事休。有些繁难的代数题，若我们借助于图形的性质，可以使许多抽象的概念及复杂的数量关系直观化、简单化，从而探索出巧妙的解法。下面就函数的几个方面进行研究。1、利用数形结合求函数的定义域。面对求函数的定义域问题，有些人常常是顾此失彼，所以在看到题目后，首先的应该把所有使函数有意义的条件列出，待求出所有满足条件的解后用相应的图形表示出来，再逐一判断，这样才能尽量避免失误，得出正确的答案。
2、例1：已知函数f(x)的定义域是a,b其中a0b,求函数g(x)=f(x)+f(-x)的定义域。分析：若g(x)的定义域为M,f(x)f(-x)的定义域分别为A、B，则有M=AB，利用数轴分析得知，阴影部分即为所求。如图AB解：函数f(x)的定义域为a,baxb若使f(x)e有意义，必须有axb，即有bxaa0b b0a又|a|b0 .ab函数g(x)的定义域x|axbx|bxa=x|bxb小结：这样的题目要是改为选择题，图形一画那就简单明了，不用解题，要是象上面的求解，画出图形有助于解题。2、利用数形结合求函数的值域。对于一些给了的定义域求值域的函数，若只采用代数的方法思考问题，往往会太过于
3、抽象或无从下手。但如果根据函数的定义，引入图象，使所求的问题具体化，可从图中一目了然，则达到事半功倍的效果。例2求函数y=|x+3|x+1|的值域。分析：就自变量x的范围讨论去掉绝对值，将函数表示为分段函数，画出分段函数的图象，由图象即可得y的范围 函数的图象如图，由图象即可得y2，2。小结：数形结合能将抽象的问题直观化、形象化，能使问题灵活直观地获解，在数学学习中要注意把握善于运用这种数学思想。 3、利用数形结合求函数的单调区间。例3、设函数f(x)=x22|x|1 (3x3).指出函数f(x)的单调区间并说明在各个区间上f(x)是增函数还是减函数。解：当x0时，f(x)=x22x1=(x1
4、)22 当x0时，f(x)=x2+2x1=(x+1)22即 根据二次函数的作图方法，可得函数图象，如图函数f(x)单调区间为3，1），1，0），0，1）， 1，3。由图形可看出函数在区间3，1），0，1）上为减函数，在区间 1，0），1，3上为增函数。小结：用数形结合的方法，先画出函数的图象，由图象可直观得解。4、用数形结合解方程、不等式等有关问题。例4、已知关于x的方程2kx22x3k2=0的两实根一个小于1，另一个大于1，求实数k的取值范围。分析：若直接利用求根公式解答此题，则要解复杂的无理不等式组。如果从函数观点出发，令f(x)=2kx22x3k2则由根的分布，函数f(x)的图象只能如图
5、所示。 对应的条件是 或 解：由以上分析可知，令f(x)=2kx22x3k2,为使方程 f(x)=0的两个根一个小于1，另一个大于1，只需使 或 解得k0或k4小结：本题是一个利用函数图象解决方程根的分布问题的的典型例题，一般地，关于根的分布问题，均可引入函数，由函数图象的特征构造解法，使问题得以巧妙解决。5、用数形结合求函数的最值。求函数的最值的类型题有很多种，例如：给出函数，根据其定义域求最值。这种题型与求函数的值域是相类似的，另一种类型的求最值的题型则是给出x,y所满足的方程，再求另一个关于x,y的函数式的最值，我们常用数形结合来解这类问题，正确地作出图像，必要时还要配合一定的计算。例5
6、、求函数的最大值和最小值分析：对于这种特殊的函数，应注意观察，利用其特殊的性质，把函数看作是定点（3，2）与单位圆上的点P（cosx,sinx）连线的斜率。解：这可以看作是定点A（3，2）与单位圆上的点P（cosx,sinx）连线的斜率。因此，y的最值就是当直线AP与单位圆相切时的斜率。单位圆x2+y2=1中斜率为k的切线方程为 由于该切线过点A（3，2），故 以上是利用“数形结合”的方法来求最值的，让我们对比一下用纯代数的方法看看它们有什么区别。解：原式可化为： 3y+ycosx=2+sinx |cos(x+v)|1 8y2 12y+30 例6、求函数 的最小值。解：y表示x轴上点P(x,0
7、)到A(1,1),B(3,2)两点的距离之和，求出A关于X轴的对称点A（1，-1）。|AP|=|AP| 又两点之间直线段最短|AP|+|PB|=|AP|+|PB| y的最小值为|AB|= 注:类似这种y=形式的函数求其最值,常采用这种找出对称点,并利用两点之间线段最短的形式来解。 结束语“数”和“形”是数学学习的两个基本对象，对于一些问题，单纯的从“数”的角度去分析探求需要分类讨论，运算会较繁冗，因此应当设法从“形”的角度去构造直观图形来刻划问题的条件和结论，使错综复杂的关系变得清晰可辨，解题思路顿开。本文仅针对函数的几个问题进行讨论“数形结合”，而“数形结合”的题型远不止函数的这些题型，我们应根据题目的结构特征，提倡使用“数形结合”。参考文献：1.陈桂云:构造几何图形解题 中学数学教学 1996,22.刘志联:构造几何模型巧解代数题 中学数学月刊 2003,13.薛金星: 中学教材全解 陕西人民教育出版社 第 5 页 共 5 页