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1、第八章 微分方程主要内容,一、一阶微分方程,1、可分离变量的一阶微分方程,变量分离，得,积分得,化简整理。,方法：,例,两端积分，得,即,两边取指数运算，得通解为,解 分离变量，得,2、齐次微分方程,令,代入方程得,此为变量可分离的方程。,一、一阶微分方程,方法：,解 原方程可写为,分离变量，得,例：,积分，得,通解为,3、一阶线性微分方程,方法：公式法,一、一阶微分方程,例,解 将方程改写成,1、右端仅含 的二阶微分方程：,方法：积分一次，化为一阶方程,再积分一次，便得通解,其中 为任意常数.,二、可降阶的二阶微分方程,例 求微分方程 的通解.,解 积分一次，得,再积分一次,得,其中 为任意
2、常数.,2、右端不显含 的二阶微分方程：,方法：作变量代换：,例 求方程 的通解.,解 令 , 则 ，代入原方程,得,二、可降阶的二阶微分方程,分离变量，得,两端积分，得,即,两端再积分，得,为任意常数,方法：作代换,3、 右端不显含 的二阶微分方程：,二、可降阶的二阶微分方程,例 求微分方程 的通解.,解 令 , 则,代入原方程,得,两端积分，得,两端再积分得 便是通解.,当 时,分离变量，得,其中 为常数,方法：特征方程法,三、二阶常系数线性微分方程,1、二阶常系数线性齐次微分方程,根据微分方程写出其特征方程,分三种情况：,（1）方程有两个不等的实根,微分方程的通解为,（2）方程有两个相等
3、的实根,微分方程的通解为,（3）方程有一对共轭根,微分方程的通解为,例 求下列方程的通解.,（1）,（3）,（2）,解 （1）此方程的特征方程为,其根为,因此原微分通解为,解 （2）此方程的特征方程为,其根为,因此原微分通解为,解 （3）此方程的特征方程为,其根为,因此原微分通解为,其中 为常数,方法：非齐次方程的通解等于对应齐次方 程的通解加上其本身的一个特解。,三、二阶常系数线性微分方程,2、二阶常系数线性非齐次微分方程,其特解形式为：,（ 1 ）若 不是特征方程,的根时,（ 2 ）若 是特征方程,的单根时,（ 3 ）若 是特征方程,的重根时,例 2 求下列微分方程的通解.,解 先求方程 的通解.,齐次方程的通解为,再求其本身的一个特解.,因 ，故 ，而 不是上述,对应特征方程的根，故应设,代入原方程，化简，比较同次幂的系数，得,原方程的通解为,