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1、第八章第八章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法n8.1 欧拉法欧拉法 （重点）（重点）n8.2 龙格龙格-库塔法库塔法n8.3 亚当斯方法亚当斯方法n8.4 线性多步法线性多步法（重点）（重点）n8.5 方程组与高阶方程的数值解法方程组与高阶方程的数值解法n8.6 边值问题的数值解法边值问题的数值解法1欧拉法的几何意义欧拉法的几何意义y0 xix0 x1xi+1xn-1xnx228.1.1 矩形法矩形法（8.1.2）38.1.2 梯形法（改进的梯形法（改进的Euler方法）方法）(8.1.4)4迭代求解隐式方程迭代求解隐式方程（8.1.5）5隐式方程的收敛性隐式方程的收敛性6隐式方程的收敛
2、性隐式方程的收敛性7预估矫正法预估矫正法8局部截断误差局部截断误差9算法精度与局部截断误差的主项算法精度与局部截断误差的主项10欧拉法的局部截断误差欧拉法的局部截断误差11梯形法的局部截断误差梯形法的局部截断误差12算法精度算法精度二阶方法二阶方法一阶方法一阶方法一阶方法一阶方法注：也可定义算法具有注：也可定义算法具有p阶精度为：算法公式对阶精度为：算法公式对任意次数不超过任意次数不超过p次的多项式准确成立，但对于次的多项式准确成立，但对于某一某一p+1次多项式不准确成立。次多项式不准确成立。13例例 证明证明Euler方法能准确地求解以下初值问题方法能准确地求解以下初值问题14证明证明15
3、Euler法的收敛性法的收敛性其中：16例考察以下初值问题例考察以下初值问题Euler法的收敛性法的收敛性解：解：178.2 Runge-Kutta方法方法龙格-库塔（Runge-Kutta)方法的一般形式为：此类公式 称为 r级级 p阶阶 R-K方法方法。使局部截断误差为：其中:i,i,ij为待定参数,适当选择参数:i,i,iji=1,2,.,rn=0,1,2,.18二级二阶二级二阶Runge-Kutta方法方法适当选择参数:1,2,使局部截断误差为：这里仍假定 yn=y(xn)(r=2)受改进的Euler方法的启发，可设：19二级二级Runge-Kutta方法方法由二元函数Taylor展式得：由一元函数Taylor展式得：20二级二阶二级二阶Runge-Kutta方法方法与Taylor展式相比较得：由于有四个参数，只有三个方程，因此有一个自由参数，即解（计算格式）不唯一。21展开展开Taylor公式到二阶微分公式到二阶微分22二级二级R-K公式的阶公式的阶由R-K公式：对比Taylor展式：23Runge-Kutta方法的其他问题方法的其他问题248.4 线形多步法线形多步法线性多步法一般形式可设为：（8.4.1）25基于基于Taylar展开式的方法展开式的方法261、四阶、四阶Adams显示格式显示格式故：27