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1、 考点一 集合的概念与运算知识梳理1集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号或表示(3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN(或N*)ZQR(5)集合的分类若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类，可分为点集、数集等特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，如果一个集合不包含任何元素，这个集合就叫做空集，空集用符号“”表示，规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集解题时切勿忽视空集的情形2.集合间的基本关系关系自然语言符号语
2、言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若xA，则xB)AB(或BA)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中AB(或BA)集合相等集合A，B中元素完全相同或集合A，B互为子集AB子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.3.全集与补集(1)如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为 全集 ，全集通常用字母 U 表示；(2) 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作UA，即UAx|xU，且xA4.集合的运算集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A
3、Bx|xA，或xBABx|xA，且xBUAx|xU，且xA5.集合关系与运算的常用结论(1)子集个数公式：若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n1个，真子集有2n1个(2) ABAAB，ABBAB(3)(UA)(UB)U(AB)，(UA)(UB)U(AB) 典例剖析题型一 集合的基本概念例1已知集合A0，1，2，则集合Bxy|xA，yA中元素的个数是 答案 5解析 列表根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，1，2，1，2，共5个变式训练 已知集合A0，1，2，B(x，y)|xA，yA，xyA，则集合B中有_个元素答案 6解析因为xyA，xy当x0时，y0；当x1时
4、，y0或y1；当x2时，y0，1，2.故集合B(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，即集合B中有6个元素解题要点 研究集合问题，通常从代表元素入手，考查其所代表的是数还是点，如果代表元素是数x，则是数集，如果代表元素是数对(x，y)，则是点集在列举集合的元素时可借助表格，或根据元素特征分类列举，列举时应做到不重不漏例2设a，bR，集合1，ab，a，则ba_.答案 2解析因为1，ab，a，且由a在分母的位置可知a0，所以ab0，则1，所以a1，b1.所以ba2.变式训练 已知集合Am2,2m2m，若3A，则m的值为_答案 解析 因为3A，所以m23或2m2m3.
5、当m23，即m1时，2m2m3，此时集合A中有重复元素3，所以m1不符合题意，舍去；当2m2m3时，解得m或m1(舍去)，此时当m时，m23符合题意，所以m.解题要点 对于含字母参数的集合，应准确进行分类讨论，列出方程或方程组求出字母参数的值需要特别注意的是，求出字母参数值后，还要检验是否违反了集合中元素的互异性题型二 集合间的基本关系例3集合A=1，0，1，A的子集中，含有元素0的子集共有 个答案 4解析 根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有0、0，1、0，1、1，0，1，共四个.变式训练 设M为非空的数集，M1,2,3，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有 个答案 6解
6、析集合1,2,3的所有子集共有238(个)，其中一个奇数元素也没有的集合有两个：和2，故满足要求的集合M共有826(个)解题要点 解题关键是弄清符合题意的集合其元素应满足的条件在元素较少时可以采取穷举法列出所有满足条件的集合例4设，若，则a的取值范围是 答案 解析 根据题意作图： 由图可知，则只要即可，即的取值范围是变式训练 已知集合，则a的取值范围是 答案 解析 ，根据题意作图： 由图可知，只要即可，即的取值范围.解题要点 对于这类用不等式表示的数集之间的包含关系时，常常借助数轴进行求解.在解题时应注意端点是否可以取到.题型三 集合的基本运算例5已知集合A1,2,3，B2,4,5，则集合AB
7、中元素的个数为_答案 5解析 AB1,2,3,4,5，共有5个元素.变式训练 已知集合Ax|x2x20，集合B为整数集，则AB等于_答案 1,0,1,2解析 Ax|x2x20x|1x2，B为整数集，AB1,0,1,2.解题要点 求解集合交、并首先应对各个集合进行化简，准确弄懂集合中的元素，求并集时相同的元素只算一个例6已知全集UR，Ax|x0，Bx|x1，则集合U(AB) _答案 x|0x1解析 Ax|x0，Bx|x1，ABx|x0或x1，在数轴上表示如图U(AB)x|0x1变式训练 已知集合Ax|x22x0，Bx|x，则AB_答案 R 解析x(x2)0，x0或x2.集合A与B可用数轴表示为：
8、由图象可以看出ABR解题要点 集合的基本运算是历年高考的热点，常与不等式的解集、函数的定义域、值域相结合命题，解题时先求出各个集合，然后借助数轴求交并是基本方法当堂练习1. 已知集合,集合,则_答案 4解析因为AB1,2,3，全集U1,2,3,4，所以U(AB)42若集合M=1，0，1，N=0，1，2，则MN等于_答案 0，1解析 由集合M=1，0，1，N=0，1，2，得到MN=0，13已知菱形，正方形，平行四边形，则之间的关系为_答案 4已知集合A(x，y)|1x1，0y2，x、yZ，用列举法可以表示集合A为_答案 (1，0)，(1，1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1) 解析
9、 集合A表示不等式组确定的平面区域上的格点集合，所以用列举法表示集合A为(1，0)，(1，1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)5设集合M0，1，2，Nx|x23x20，则MN 答案1，2解析由x23x2(x1)(x2)0，解得1x2，故Nx|1x2，MN1,2课后作业1已知集合Ax|2x4，Bx|(x1)(x3)0，则AB等于_答案(2,3)解析Ax|2x4，Bx|(x1)(x3)0x|1x3，ABx|2x3(2,3)2设集合Mx|x22x0，xR，Nx|x22x0，xR，则MN_答案2,0,2解析先确定两个集合的元素，再进行并集运算集合M0，2，N0,2，故MN2,0,23已
10、知集合Mx|3x5，Nx|x4，则MN等于_答案x|x3解析在数轴上表示集合M和N，如图所示，则数轴上方所有“线”下面的部分就是MNx|x34若集合A=xR|ax2+ax+1=0中只有一个元素,则a=_答案4解析a0时，ax2+ax+1=0无解，此时，A=，不合题意；a0时，由题意得方程ax2ax10有两个相等实根，则，解得a4.5已知全集，集合，则= _答案0,2,4解析0,4，0, 2,4.6已知集合,则_答案1,4解析xn2，nA，x1,4,9,16.B1,4,9,16AB1,47满足条件0,2M0,1,2的所有集合M的个数为_答案4解析由题可知集合M中必有1，满足条件的M可以为1，0,
11、1，2,1，0,1,2共4个8已知集合A1,3，B1，m，ABA，则m_答案0或3解析ABA，BA，A1,3，B1，m，mA，故m或m3，解得m0或m3或m1，又根据集合元素的互异性m1，所以m0或m3.9设全集U1,2,3,4,5,6，A1,2，B2,3,4，则A(UB)等于_答案1解析UB1,5,6，A(UB)1,21,5,61.10已知A3,5,6,8且集合B满足AB5,8，AB2,3,4,5,6,7,8，则这样的集合B有_个答案4解析AB5,8，5,8B，又AB2,3,4,5,6,7,8而A3,5,6,8，2,4,7B，3,6可以属于B，也可不属于B 这样的B有224(个)11若集合Ax|5x2，Bx|3x3，则AB等于 答案x|3x2解析由题意，得ABx|5x2x|3x3x|3x212已知集合Ax|x3n2，nN，B6,8,10,12,14，则集合AB中元素的个数为 答案2解析A，5,8,11,14,17，B6,8,10,12,14，集合AB中有两个元素13 已知Ax|2axa8，Bx|x5，若ABR， 则a的取值范围是_答案3a解析Bx|x5，ABR， 解得3a.