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1、 考点一 集合的概念与运算 知识梳理 1集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号或表示(3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn 图法(4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N(或 N*)Z Q R(5)集合的分类 若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类，可分为点集、数集等特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，如果一个集合不包含任何元素，这个集合就叫做空集，空集用符号“”表示，规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集解题时切勿忽视空集的情形 2.
2、集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn 图 子集 集合 A 中所有元素都在集合 B 中(即若xA，则 xB)AB(或 BA)真子集 集合 A 是集合 B 的子集，且集合 B 中至少有一个元素不在集合 A 中 AB(或 BA)集合相等 集合 A，B 中元素完全相同或集合 A，B 互为子集 AB 子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.3.全集与补集(1)如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为 全集，全集通常用字母 U 表示；(2)对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A
3、相对于全集 U 的补集，记作UA，即UAx|xU，且 xA 4.集合的运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形 符号 ABx|xA，或 xB ABx|xA，且 xB UAx|xU，且 xA 5.集合关系与运算的常用结论(1)子集个数公式：若有限集 A 中有 n 个元素，则 A 的子集个数为 2n个，非空子集个数为 2n1 个，真子集有 2n1 个(2)ABAAB，ABBAB(3)(UA)(UB)U(AB)，(UA)(UB)U(AB)典例剖析 题型一 集合的基本概念 例 1 已知集合 A0，1，2，则集合 Bxy|xA，yA中元素的个数是 答案 5 解析 列表 根据集合中元素的互异性知，B
4、 中元素有 0，1，2，1，2，共 5 个 变式训练 已知集合 A0，1，2，B(x，y)|xA，yA，xyA，则集合 B 中有_个元素 答案 6 解析 因为 xyA，xy 当 x0 时，y0；当 x1 时，y0 或 y1；当 x2 时，y0，1，2.故集合 B(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，即集合 B 中有 6 个元素 解题要点 研究集合问题，通常从代表元素入手，考查其所代表的是数还是点，如果代表元素是数 x，则是数集，如果代表元素是数对(x，y)，则是点集在列举集合的元素时可借助表格，或根据元素特征分类列举，列举时应做到不重不漏 例 2 设 a，bR
5、，集合1，ab，a0，ba，b，则 ba_.答案 2 解析 因为1，ab，a0，ba，b，且由 a 在分母的位置可知 a0，所以 ab0，则ba1，所以 a1，b1.所以 ba2.变式训练 已知集合 Am2,2m2m，若 3A，则 m 的值为_ 答案 32 解析 因为 3A，所以 m23 或 2m2m3.当 m23，即 m1 时，2m2m3，此时集合 A 中有重复元素 3，所以 m1 不符合题意，舍去；当 2m2m3 时，解得 m32或 m1(舍去)，此时当 m32时，m2123 符合题意，所以 m32.解题要点 对于含字母参数的集合，应准确进行分类讨论，列出方程或方程组求出字母参数的值需要特
6、别注意的是，求出字母参数值后，还要检验是否违反了集合中元素的互异性 题型二 集合间的基本关系 例 3 集合 A=1，0，1，A 的子集中，含有元素 0 的子集共有 个 答案 4 解析 根据题意，在集合 A 的子集中，含有元素 0 的子集有0、0，1、0，1、1，0，1，共四个.变式训练 设 M 为非空的数集，M1,2,3，且 M 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合 M 共有 个 答案 6 解析 集合1,2,3的所有子集共有 238(个)，其中一个奇数元素也没有的集合有两个：和2，故满足要求的集合 M 共有 826(个)解题要点 解题关键是弄清符合题意的集合其元素应满足的条件 在元素较少时可以
7、采取穷举法列出所有满足条件的集合 例 4 设，若，则 a 的取值范围是 答案 解析 根据题意作图：由图可知，则只要即可，即a的取值范围是 变式训练 已知集合2|540,Ax xxBaAB，则 a 的取值范围是 答案 (4,)解析 2|5401,4Ax xx，根据题意作图：由图可知，只要即可，即a的取值范围(4,).解题要点 对于这类用不等式表示的数集之间的包含关系时，常常借助数轴进行求解.在解题时应注意端点是否可以取到.题型三 集合的基本运算 例 5 已知集合 A1,2,3，B2,4,5，则集合 AB 中元素的个数为_ 答案 5 解析 AB1,2,3,4,5，共有 5 个元素.变式训练 已知集
8、合 Ax|x2x20，集合 B 为整数集，则 AB 等于_ 答案 1,0,1,2 解析 Ax|x2x20 x|1x2，B 为整数集，AB1,0,1,2.解题要点 求解集合交、并首先应对各个集合进行化简，准确弄懂集合中的元素，求并集时相同的元素只算一个 例 6 已知全集 UR，Ax|x0，Bx|x1，则集合U(AB)_ 答案 x|0 x1 解析 Ax|x0，Bx|x1，ABx|x0 或 x1，在数轴上表示如图 U(AB)x|0 x1 变式训练 已知集合 Ax|x22x0，Bx|x，则 AB_ 答案 R 解析 x(x2)0，x0 或 x2.集合 A 与 B 可用数轴表示为：由图象可以看出 ABR
9、解题要点 集合的基本运算是历年高考的热点，常与不等式的解集、函数的定义域、值域相结合命题，解题时先求出各个集合，然后借助数轴求交并是基本方法 当堂练习 1.已知集合1,2,3,4U,集合=1,2A,=2,3B,则()UAB _ 答案 4 解析 因为 AB1,2,3，全集 U1,2,3,4，所以U(AB)4 2若集合 M=1，0，1，N=0，1，2，则 MN 等于_ 答案 0，1 解析 由集合 M=1，0，1，N=0，1，2，得到 MN=0，1 3已知菱形，正方形，平行四边形，则之间的关系为_ 答案 4 已知集合 A(x，y)|1x1，0y2，x、yZ，用列举法可以表示集合 A 为_ 答案 (1
10、，0)，(1，1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)解析 集合 A 表示不等式组1x1，xZ，0y2，yZ确定的平面区域上的格点集合，所以用列举法表示集合 A 为(1，0)，(1，1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)5设集合 M0，1，2，Nx|x23x20，则 MN 答案 1，2 解析 由 x23x2(x1)(x2)0，解得 1x2，故 Nx|1x2，MN1,2 课后作业 1已知集合 Ax|2x4，Bx|(x1)(x3)0，则 AB 等于_ 答案(2,3)解析 Ax|2x4，Bx|(x1)(x3)0 x|1x3，ABx|2x3(2,3)2设集合 Mx|x22x0
11、，xR，Nx|x22x0，xR，则 MN_ 答案 2,0,2 解析 先确定两个集合的元素，再进行并集运算集合 M0，2，N0,2，故 MN2,0,2 3已知集合 Mx|3x5，Nx|x4，则 MN 等于_ 答案 x|x3 解析 在数轴上表示集合 M 和 N，如图所示，则数轴上方所有“线”下面的部分就是 MNx|x3 4若集合 A=xR|ax2+ax+1=0中只有一个元素,则 a=_ 答案 4 解析 a0 时，ax2+ax+1=0 无解，此时，A=，不合题意；a0 时，由题意得方程 ax2ax10 有两个相等实根，则 a24a0a0，解得 a4.5已知全集0,1,2,3,4U，集合1,2,3A，
12、2,4B，则UAB()=_ 答案 0,2,4 解析 UA0,4，UAB()0,2,4.6已知集合1,2,3,4A,2|,Bx xn nA,则AB _ 答案 1,4 解析 xn2，nA，x1,4,9,16.B1,4,9,16AB1,4 7满足条件0,2M0,1,2的所有集合 M 的个数为_ 答案 4 解析 由题可知集合 M 中必有 1，满足条件的 M 可以为1，0,1，2,1，0,1,2共 4 个 8已知集合 A1,3，m，B1，m，ABA，则 m_ 答案 0 或 3 解析 ABA，BA，A1,3，m，B1，m，mA，故 m m或 m3，解得 m0 或 m3 或 m1，又根据集合元素的互异性 m
13、1，所以 m0 或 m3.9设全集 U1,2,3,4,5,6，A1,2，B2,3,4，则 A(UB)等于_ 答案 1 解析 UB1,5,6，A(UB)1,21,5,61.10已知 A3,5,6,8且集合 B 满足 AB5,8，AB2,3,4,5,6,7,8，则这样的集合 B有_个 答案 4 解析 AB5,8，5,8B，又AB2,3,4,5,6,7,8而 A3,5,6,8，2,4,7B，3,6 可以属于 B，也可不属于 B 这样的 B 有 224(个)11若集合 Ax|5x2，Bx|3x3，则 AB 等于 答案 x|3x2 解析 由题意，得 ABx|5x2x|3x3x|3x2 12已知集合 Ax|x3n2，nN，B6,8,10,12,14，则集合 AB 中元素的个数为 答案 2 解析 A，5,8,11,14,17，B6,8,10,12,14，集合 AB 中有两个元素 13 已知 Ax|2axa8，Bx|x5，若 ABR，则 a 的取值范围是_ 答案 3a12 解析 Bx|x5，ABR，2a1，a85，解得3a12.