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1、全真模拟卷01（新课标卷）理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，集合，则集合（ ）ABCD【答案】D【解析】，.2i是虚数单位，若，则z的虚部是（ ）A1BCD【答案】D【详解】，则z的虚部是3函数的定义域为，若与都是奇函数，则=（ ）ABCD【答案】B【解析】因为函数 都是奇函数，所以 ，奇函数关于原点对称，所以函数既关于对称，又关于对称，即和 ，那么 ，所以函数的周期是4， ，故选B.4已知是曲线：上的点，是直线上的一点，则的最小值为（ ）ABCD【答案】D【详解】由得
2、，曲线是圆心为，半径的左半圆，曲线上的点到到直线的最小距离为原点到直线的距离， ，所以的最小值为.5关于函数，有以下4个结论：的最小正周期是；的图象关于点中心对称；的最小值为；在区间内单调递增其中所有正确结论的序号是（ ）ABCD【答案】B【详解】，由，知：最小正周期，故正确；由正弦函数的性质，知：中，则对称中心为，故错误；由的化简函数式知：，故正确因为在定义域上为增函数，结合复合函数单调性知：在上递增，可得，有一个单调增区间为，故上不单调，故错误，故选：B.6已知，则（ ）ABCD【答案】A【详解】，.故选：A7已知实数满足条件，则的最大值是（ ）ABCD【答案】C【详解】画出满足约束条件的
3、目标区域，如图所示:由,得，要使最大，则直线的截距要最大，由图可知,当直线过点时截距最大，联立,解得，所以的最大值为：，故选:：C.8如图，在四面体中，则二面角的余弦值为（ ）ABC1D【答案】A【详解】取中点，连接，由，得，是二面角的平面角，由，得平面，又平面，设，则，9设，是两个不共线向量，则“与的夹角为锐角”是“”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件【答案】B【详解】因为，故即，因为，是两个不共线向量，故与的夹角为锐角.故“与的夹角为锐角”是“”的必要条件.若与的夹角为，且，故，所以，故即不垂直.“与的夹角为锐角”是“”的必要不充分条件.10在
4、中，角、的对边分别为、，已知，若最长边为，则最短边长为（ ）ABCD【答案】A【详解】由知，利用同角三角函数基本关系可求得，由知，得，即为钝角，为最大角，故c为最大边，有，由知，最短边为，于是由正弦定理，即求得，故选：A.11在平面直角坐标系中，已知双曲线与双曲线有公共的渐近线，且经过点，则双曲线的焦距为（ ）ABCD【答案】D【解析】分析：双曲线C与双曲线x2=1有公共的渐近线，因此设本题中的双曲线C的方程x2=，再代入点P的坐标即可得到双曲线C的方程然后求解焦距即可详解：双曲线C与双曲线x2=1有公共的渐近线，设本题中的双曲线C的方程x2=，因为经过点，所以4-1=，解之得=3，故双曲线方
5、程为故焦距为：，选D.12已知函数，则（ ）A在单调递增B有两个零点C曲线在点处切线的斜率为D是偶函数【答案】AC【详解】由知函数的定义域为，当时，故在单调递增，A正确；由，当时，当，所以只有0一个零点，B错误；令，故曲线在点处切线的斜率为，C正确；由函数的定义域为，不关于原点对称知，不是偶函数，D错误.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若，满足约束条件，则的最大值为_.【答案】6【详解】解：根据约束条件画出可行域如下图所示：作直线：，平移直线，当其过点时，取得最大值，最大值为.14已知的展开式的各项二项式系数和为64，则展开式中的系数为_.【答案】160【详解】，的展开式通
6、项为，令，所以的展开式中的系数为.15设抛物线的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A，B，且，则_【答案】2【详解】抛物线的焦点为F 设直线AB的方程为，代入，得，设，则，由抛物线的定义可得：，由，得，即由 ，即，解得或（舍）所以所以16如图，已知多面体中，四边形为梯形，平面，为线段(包括端点)上的一个动点，则直线与直线所成角的正弦值的最小值为_.【答案】【详解】如图，将多面体放到正方体中，连接，则，直线与直线所成的角即与所成的角，设正方体的棱长为，点到直线的距离为，则，当取得最小值时取得最小值，连接、，则的最小值为点到平面的距离，连接，交于点，则平面，的长为点到平面的距离的最小值，且，直线与
7、直线所成角的正弦值的最小值为.三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知等比数列的前n项和为（），满足，成等差数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.【详解】（1）设数列的公比为q，依题意得，所以即，因为，所以，解得或， 因为，所以， 又因为，所以即，所以；（2）题意可得，则 .18如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是正方形. （）求证：； （）若，求直线与平面所成角的正弦值.【详解】（I）取的中点及的中点，连结，由是正三角形，四边形是正方形得，又平面，所以平面因为，所以平面，又平面，所以，又的中点是，所以 （II）过B作平面，
8、垂足为，连接，为直线与平面所成角，过作于，由平面及平面，得，又，平面，所以平面由，平面，平面，得平面于是点到平面的距离等于点到平面的距离等于设，则，计算得，在等腰三角形中可算得，所以直线与平面所成角的正弦值等于19为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：（1）已知该校有名学生，试估计全校学生中，每天学习不足小时的人数.（2）若从学习时间不少于小时的学生中选取人，设选到的男生人数为，求随机变量的分布列.（3）试比较男生学习时间的方差与女生学习时间方差的大小.（只需写出结论）【详解】（1）由折线图可得共抽取了人，其中男生中学习
9、时间不足小时的有人，女生中学习时间不足小时的有人.可估计全校中每天学习不足小时的人数为：人.（2）学习时间不少于小时的学生共人，其中男学生人数为人，故的所有可能取值为，.由题意可得 ； ； ； ； .所以随机变量的分布列为（3）由折线图可得.20已知椭圆：的离心率为，且坐标原点到过点，的直线的距离为.（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在过点的直线交椭圆于，两点，且与直线交于点，使得，依次成等差数列，若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【详解】（1）由题可知，所以，则椭圆方程转化为.坐标原点到过点，即的直线的距离为，可得即，解得.故椭圆的标准方程为.（2）假设存在满足题意的直线，显
10、然其斜率存在，设直线的方程为，且，.联立，消去并整理，得，由题知恒成立，由根与系数的关系知，.因为，且，成等差数列，所以，即，所以，即，解得，所以直线的方程为或.21己知函数（1）若在R上是减函数，求m的取值范围；（2）如果有一个极小值点和一个极大值点，求证有三个零点【详解】解：（1）由，得，在R上是减函数，则恒成立.设，则当时，单调递减；当时，单调递增于是由题意，所以，故m的取值范围是（2）设，则当时，单调递减；当时，单调递增若，则，则在定义域内单调递减，所以不满足条件，故所以 又，设 ，则所以在上单调递减，所以当时， 所以，使，即，单调递减，即，单调递增，即，单调递减，又，设，则，所以由，
11、得 ，得所以在 上单调递减，在上单调递增，则所以在上单调递增，则即，成立所以由零点存在定理，得在和各有一个零点，又，结合函数的单调性可知有三个零点请考生在第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，点P的极坐标为，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系（1）求曲线C的直角坐标方程和点P的直角坐标；（2）已知直线（t为参数），若直线l与曲线C的交点分别是A、B，求的值【详解】解：（1）由，得，又，即曲线C的直角坐标方程为，点P的直角坐标为（2）把直线l的方程代入C方程，整理得，设A、B对应的参数分别是、，则，于是23选修4-5：不等式选讲（10分）设函数（1）解不等式；（2）若关于x的方程没有实数根，求实数m的取值范围【详解】解：（1）当时，得，所以；当时，得，所以；当时，得，所以综上，原不等式的解集为；（2）方程没有实数根，即没有实数根， 令，当且仅当时，即时等号成立，即值域为， 若没有实数根，则，即，所以实数m的取值范围为23