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1、 大数定律 依概率收敛 在第在第5 5讲中，把频率稳定值称为“统计概讲中，把频率稳定值称为“统计概 率”；在第率”；在第2424讲中，把算数平均值稳定值称讲中，把算数平均值稳定值称 为“数学期望”，这里“为“数学期望”，这里“稳定稳定”的含义是”的含义是 什么？什么？ 依概率收敛 例如，设例如，设A为某一试验的事件，将试验在为某一试验的事件，将试验在 相同的条件下重复进行相同的条件下重复进行n次，用次，用m表示表示A出现出现 的次数，的次数，m/n为为A出现的频率，出现的频率，p为事件为事件A发生发生 的概率，当试验次数的概率，当试验次数n充分大时，频率充分大时，频率m/n稳稳 定于概率定于概
2、率p，可以写成，可以写成 ? 即，即， lim. n m p n 0,. m NnNp n 当当时时，有有 依概率收敛 这里频率是随机变量，频率这里频率是随机变量，频率m/n稳定于概率稳定于概率p, , 应该从应该从概率概率的角度来理解，即的角度来理解，即 把它称为把它称为依概率收敛依概率收敛. . 0,1. m nPp n 当当 充充分分大大时时，有有 lim1. n m Pp n 故故 依概率收敛 定义定义1 1 设设Z1,Z2,Zn,是一个随机变量是一个随机变量 序列，序列，a是一个常数，若对任意是一个常数，若对任意 或或 则称序列则称序列Z1,Z2,Zn,依概率收敛依概率收敛于于a,
3、,记为记为 lim()1, n n P Za 0 有有 lim (). PP nn n ZaZa n 或或 lim()0, n n P Za 切比雪夫不等式 定理定理1 1 对任意随机变量对任意随机变量X, ,若若D(X)存在，则对存在，则对 任意任意 或或 0 有有 2 () |()|. D X PXE X 2 () |()|1. D X PXE X ()E X()E X ()E X 切比雪夫不等式 证证 设设X的概率密度为的概率密度为f(x), 则则 对离散型随机变量，只需把积分号换成求和对离散型随机变量，只需把积分号换成求和 号即可号即可. |()| |()|( ) x E X PXE
4、Xf x dx 2 2 |()| () ( ) x E X xE X f x dx 2 22 1() ()( ). D X xE Xf x dx 切比雪夫不等式 切比雪夫不等式应用范围广，但估计得比切比雪夫不等式应用范围广，但估计得比 较粗糙较粗糙. . 例例1 1 用切比雪夫不等式确定掷一匀称硬币时，用切比雪夫不等式确定掷一匀称硬币时， 需掷多少次，才能保证“正面”出现的频率需掷多少次，才能保证“正面”出现的频率 在在0.40.4至至0.60.6之间的概率不小于之间的概率不小于0.9.0.9. 解解 设需掷设需掷n次次, ,正面出现次数为正面出现次数为X, ,则则 XB(n, 0.5), E
5、(X)=0.5n, D(X)=0.25n. 切比雪夫不等式 求满足求满足 的的n. XB(n, 0.5), E(X)=0.5n, D(X)=0.25n. (0.40.6)(0.40.6 ) X PPnXn n 250.n 所所以以 2 0.2525 (|0.5 | 0.1 )110.9 (0.1 ) n PXnn nn (0.40.6)0.90 X P n 伯努利大数定律 定理定理2 2 设设Yn是是n重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件A发生的发生的 次数，次数，p(0p 0，有，有 或或 伯努利大数定律提供了用频率来确定概率的伯努利大数定律提供了用频率来确定概率的 理论依据理论依据. li
6、m|1, n n Y Pp n lim|0. n n Y Pp n 伯努利大数定律 证证 由切比雪夫不等式得由切比雪夫不等式得 故故 ( , )(),() nnn YB n pE Ynp D Ynpq由由已已知知，故故 (1),qp 2 1 ,(). nn n YYpq Ep DD Y nnnn 从从而而 lim|0. n n Y Pp n 2 0|, n Ypq Pp nn 独立同分布随机变量序列 定义定义2 2 若随机变量序列若随机变量序列X1,X2,Xn, 相互独立，对相互独立，对n 2, X1,X2,Xn独立，且有独立，且有 相同的分布函数，则称相同的分布函数，则称X1,X2,Xn,
7、, 是独是独 立同分布的随机变量序列立同分布的随机变量序列. . 切比雪夫大数定律 定理定理3 3 设设X1,X2,Xn,是相互独立的随机是相互独立的随机 变量序列变量序列. .它们都有有限的方差，并且方差它们都有有限的方差，并且方差 有共同的上界，即有共同的上界，即 D(Xi) C(i=1,2,), ,则对则对 任意任意 0，有，有 或或 11 11 lim|()|1. nn ii n ii PXE X nn 11 11 lim|()|0 nn ii n ii PXEX nn 切比雪夫大数定律 推论推论 设设X1,X2, 是独立同分布的随机变量是独立同分布的随机变量 序列，且序列，且 则对任
8、给则对任给 0，有，有 或或 2 (),()(1,2,) ii E XD Xi 1 1 lim|0 n i n i PX n 1 1 lim|1. n i n i PX n 辛钦大数定律辛钦大数定律 定理定理4 4 设设X1,X2, 是独立同分布的随机变量是独立同分布的随机变量 序列，且序列，且 ，则对任给，则对任给 0， 有有 或或 这是随机变量序列的算数平均值稳定性的较这是随机变量序列的算数平均值稳定性的较 确切的解释确切的解释. (),(1,2,) i E Xi 1 1 lim|0 n i n i PX n 1 1 lim|1. n i n i PX n 例例2 2 设设X1,X2, 是独立同分布的随机变量序是独立同分布的随机变量序 列，都服从参数为列，都服从参数为2的指数分布。则当的指数分布。则当 时，时， 依概率收敛于什么？依概率收敛于什么？ n 2 1 1 n ni i YX n 22 12 ,XX由由已已知知也也解解独独立立同同分分布布， (2)()1/ 2,()1/4, iii XEE XD X由由 222 ()() ()1/4(1/ 2)1/ 2, iii E XD XE X 由由辛辛钦钦大大数数定定律律， 22 1 11 () 2 n P nii i YXE X n ().n 谢谢 谢！谢！