第24讲 随机变量的数学期望.pdf

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1、随机变量的数学期望 随机变量的数字特征 数学期望数学期望 方差方差 协方差协方差 相关系数相关系数 矩矩 离散型随机变量的数学期望 例例1 1 设某车间有设某车间有M台机床，每天工作的机床台数台机床，每天工作的机床台数 是个随机变量是个随机变量X. .如何定义如何定义X的平均值呢？的平均值呢？ 可以对可以对X进行进行N天观察，设有天观察，设有0 0台，台，1 1台，台， M台机床工作的天数分别为台机床工作的天数分别为n0, ,n1, , nM(n0+ n1+nM=N), 那么此车间在那么此车间在N天中平均每天工天中平均每天工 作的机床台数为作的机床台数为 0101 01 01 MM nnnnn

2、n nM NNNN 0 . M k k n k N 离散型随机变量的数学期望 00 ( ). MM k N kk n nkkfk N 则则 ( )/ Nk fknNNk 设设为为 天天中中有有 台台机机床床工工作作的的频频率率， ( ) ()(0,1,). N k Nfk pP Xk kM 当当 充充分分大大时时，频频率率稳稳定定于于概概率率值值 0 . M k k nkp 因因此此，算算数数平平均均值值 稳稳定定于于数数值值 000 ( ). MMM k Nk kkk n nkkfkkp N 即即 期望期望 离散型随机变量的数学期望 定义定义1 1 设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布列

3、的分布列 若级数若级数 绝对收敛，即绝对收敛，即 则称则称 为为X的的数学期望或均值数学期望或均值, ,记为记为E(X) 即即 当当 发散时，称发散时，称X的数学期望不存在的数学期望不存在. () (1,2,). ii P Xxpi 1 ii i x p 1 |, ii i xp 1 (). ii i E Xx p 1 | ii i xp 1 ii i x p 0 01 1分布期望分布期望 E(X)的物理意义的物理意义：表示一维离散质点系的重：表示一维离散质点系的重 心坐标心坐标. . 例例2 (02 (01 1分布分布) ) 设设X的分布列为的分布列为 求求E(X). . 解解 E(X)=0

4、(1- -p)+1p = p . X P 0 1p p 1 (01).p 泊松分布的期望泊松分布的期望 例例3 3 设设X的分布列为的分布列为 求求E(X). . 解解 () 0, 0,1,2, ! k P Xkek k 1 - 1 e. (1)! k k ee k 0 ! k k EXke k 1( 1)! k k e k ( )XP 常用离散分布的期望 若若XB(1, p), 则则E(X)=p. 若若XB(n, p), 则则E(X)=np. 若若XP(), 则则E(X)=. 若若XG(p), 则则E(X)=1/p. 01, 0.p 这这里里 数学期望名字的来由分赌本问题 1717世纪中叶，

5、甲、乙两人赌技相同世纪中叶，甲、乙两人赌技相同, ,各出各出 赌注赌注5050法郎，约定无平局，谁先胜法郎，约定无平局，谁先胜3 3局，则局，则 得全部赌注得全部赌注100100法郎，现已赌了法郎，现已赌了3 3局，甲局，甲2 2胜胜 1 1负而因故中止了赌博负而因故中止了赌博, ,问这问这100100法郎要如何法郎要如何 分才算公平？分才算公平？ 平分对甲不公平，全归甲对乙不公平平分对甲不公平，全归甲对乙不公平. . 合理的分法是按一定的比例甲拿大头合理的分法是按一定的比例甲拿大头. . 数学期望名字的来由分赌本问题 基于已赌局数分：基于已赌局数分：甲得甲得100100法郎中的法郎中的2/3

6、2/3，乙得，乙得 100100法郎中的法郎中的1/3.1/3. 基于已赌局数和未赌两局的期望分：基于已赌局数和未赌两局的期望分：最多再最多再 赌两局必分胜负，两局的所有可能结果为赌两局必分胜负，两局的所有可能结果为 甲甲、甲乙、乙甲、乙乙甲甲、甲乙、乙甲、乙乙 由于赌技相同，所以甲得由于赌技相同，所以甲得100100法郎的可能性为法郎的可能性为 3/43/4，乙得，乙得100100法郎的可能性为法郎的可能性为1/4.1/4. 数学期望名字的来由分赌本问题 若用随机变量若用随机变量X表示甲的最终所得，其分布列为表示甲的最终所得，其分布列为 甲的“期望”所得为：甲的“期望”所得为：0 0 1/4

7、+100 1/4+100 3/4=75.3/4=75. 即甲分得总赌注的即甲分得总赌注的3/43/4，乙分得总赌注的，乙分得总赌注的1/4.1/4. 这种基于这种基于已赌结果和再赌期望已赌结果和再赌期望的分法更合理些的分法更合理些. . 费马费马 帕斯卡帕斯卡 X P 0 100 1/4 3/4 连续型随机变量的数学期望 离散型时：离散型时： 定义定义2 2 设设X是连续型随机变量，其密度函是连续型随机变量，其密度函 数为数为 f (x)，若，若 绝对收敛，则称绝对收敛，则称 为为X的的数学期望或均值数学期望或均值，即，即 E(X)物理意义：以物理意义：以f(x)为密度的一维连续质为密度的一维

8、连续质 点系重心坐标点系重心坐标. 1 (). ii i E Xx p x( )f x dx ( )xf x dx ( )xf x dx ()( ).E Xxf x dx 均匀分布的期望均匀分布的期望 例例4 4 设设X的概率密度为的概率密度为 求求E(X). 解解 1 , , ( ) 0, axb f xba 其其他他. . ()xf xxE Xd . 2 b a x d a x ba b ( , )XU a b 指数分布指数分布 例例5 5 设设X的概率密度为的概率密度为 求求E(X). 解解 e, 0, ( ) 0. 0, 0. x x f x x 00 ( )() xx xf x dx

9、x edxxdeE X 0 00 () xxx xeedxedx 0 1 (. 1 ) x e ( )XE 正态分布的期望正态分布的期望 例例6 6 解解 2 ( ,),().X NE X 设设求求 2 2 () 2 ( 1 2 ) x E Xxedx 2 2 2 t xt tedt 令令 22 22 . 22 tt edttedt ( )f x x 0 2 0 例例7 7( (柯西分布柯西分布) )设设X的概率密度为的概率密度为 求求E(X). 解解 故故 E(X)不存在不存在. 2 1 ( ) () (1) f xx x 2 (1) dx x x 2 02 0 1 2ln(1). (1)

10、xdx x x 0 22 0 (1)(1) xdxxdx xx 一维随机变量函数的数学期望 例例8 8 已知已知X的分布的分布列列为为 求求Y = X2 的数学期望的数学期望. . 解解 X 1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.3 0.4 P 0.1 0.2 0.3 0.4 X 1 0 1 2 Y 1 0 1 4 Y=X2 0 1 4 P 0.2 0.4 0.4 ( )0 0.21 0.4 4 0.42. E Y 22 22 ( )( 1)0.100.2 10.320.42. E Y 一维随机变量函数的数学期望一维随机变量函数的数学期望 定理定理1 1设设Y=g(X)，g(x)是连续函数是

11、连续函数. (1)若若X是离散型随机变量，其分布列是离散型随机变量，其分布列P(X= xi)=pi (i=1,2, ),且且 则则 (2)若若X是连续型随机变量，其概率密度为是连续型随机变量，其概率密度为fX(x), 且且 则则 1 | ()|, ii i g xp 1 ( ) ()(); ii i E YE g Xg xp | ( )|( ), X g xfx dx ( ) ()( )( ). X E YE g Xg x fx dx 一维随机变量函数的数学期望一维随机变量函数的数学期望 例例9 9 设设X的分布列为的分布列为 求求E(2X- -1). 解解 X 0 1 2 3 P 1/2 1

12、/4 1/8 1/8 (21)(2 01) 1/ 2(2 11) 1/ 4 (2 21) 1/ 8(2 31) 1/ 8 3/ 4. EX 一维随机变量函数的数学期望一维随机变量函数的数学期望 例例10 10 设公共汽车起点站在每小时的设公共汽车起点站在每小时的10分分,30分，分， 50分发车，一位不知发车时间的乘客，每小时分发车，一位不知发车时间的乘客，每小时 内到达车站的时间是随机的，求该乘客在车站内到达车站的时间是随机的，求该乘客在车站 等车的数学期望等车的数学期望. . 解解 设每小时内乘客到达车站的时间为设每小时内乘客到达车站的时间为X，等车，等车 时间为时间为Y. 则则XU 0,

13、 60 ， 1 , 060, ( )60 0, . x f x 其其他他 一维随机变量函数的数学期望一维随机变量函数的数学期望 例例10 10 设公共汽车起点站在每小时的设公共汽车起点站在每小时的10分分, 30分，分， 50分发车，一位不知发车时间的乘客，每小时分发车，一位不知发车时间的乘客，每小时 内到达车站的时间是随机的，求该乘客在车站内到达车站的时间是随机的，求该乘客在车站 等车的数学期望等车的数学期望. . 解解 10, 010 30, 1030 () 50, 3050 6010, 5060 XX XX Yg X XX XX ， ， ， ， 一维随机变量函数的数学期望一维随机变量函数

14、的数学期望 10, 010 30, 1030 () 50, 3050 6010, 5060 XX XX Yg X XX XX ， ， ， ， ( )()=( )( ) X E YEg Xg x fx dx 1030 010 5060 3050 11 (10)(30) 6060 11 + (50)(70) 6060 10. xdxxdx xdxxdx 二维随机变量函数的数学期望 定理定理2 2 设设Z=g( X, Y )，g(x, y)为连续函数为连续函数 . (1)若若(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布列是二维离散型随机变量，其分布列 且且 则则 (,)( ,1,2,), ijij P X

15、x Yyp i j 11 | (,)| ijij ij g x yp 11 () (, )(,); ijij ij E ZE g X Yg x yp 二维随机变量函数的数学期望 (2)(2)若若(X,Y)是二维连续型随机变量，其概率是二维连续型随机变量，其概率 密度为密度为f(x, y), 且且 则则 特别特别 | ( , )|( , ),g x yf x y dxdy ( ) (, )( , ) ( , ).E ZE g X Yg x y f x y dxdy ()( , ),E Xxf x y dxdy ( )( , ).E Yyf x y dxdy 例例11 11 设随机变量设随机变量Y

16、服从参数为服从参数为 的指数分布，的指数分布， 随机变量随机变量 求求(1)(1)X1和和X2的联合分布列；的联合分布列；(2)(2)E(X1+X2). 解解 =1 0, , ( =1,2). 1, k Yk Xk Yk 12 (0)(1,2)P XXP YY 1, 0, ( ) 0, 0. y Y ey Fy y 1 (1)1,P Ye 12 12 (1,0)(1,2)(12).P XXP YYPYee 12 (0,1)(1,2)0,P XXP YY 1 X 2 X 1 1e 12 ee 0 2 e 0 1 0 1 2 12 (1)(1,2)(2).P XXP YYP Ye 1 12 122

17、 12 (2) ()(00) (1)+(0+1) 0 (10) ()(11) . E XXe eee ee 1 X 2 X 1 1 e 12 ee 0 2 e 0 1 0 1 例例12 12 设二维随机变量设二维随机变量( (X, ,Y) )的概率密度的概率密度 求求E(X), , E(Y), , E(XY). . 解解 1, | |,01, ( , ) 0, yxx f x y 其其他他. . 1 0 2 ()( , )1. 3 x x E Xxf x y dxdyxdxdy 1 0 ( )( , )0. x x E Yyf x y dxdydxydy 1 0 ()( , )0. x x E

18、 XYxyf x y dxdyxdxydy 数学期望的性质 1. 设设C是常数，则是常数，则E(C)=C; 2. E(CX)=CE(X), C是常数是常数. . 3. E(X1+X2) = E(X1)+E(X2); 4.设设X1与与X2独立，则独立，则 E(X1X2)=E(X1)E(X2); 11 :(). nn ii ii EXE X 推推广广 11 :(). nn ii ii EXE X 推推广广 数学期望的性质 证明证明 1.1.设设P(X=C)=1,则则E(C)=E(X)=C1=C. . 下面仅对连续型随机变量给出证明下面仅对连续型随机变量给出证明. . 12112212 12 (),

19、(),(,) (,). XXfxfxXX f x x 设设，的的概概率率密密度度分分别别为为 的的概概率率密密度度为为 2. ()( )( )().E CXCxf x dxCxf x dxCE X 12121212 1121221212 12 3. ()() (,) (,)(,) ()(). E XXxxf x x dx dx x f x x dx dxx f x x dx dx E XE X 数学期望的性质 证明证明 下面仅对连续型随机变量给出证明下面仅对连续型随机变量给出证明. . 12112212 12 (),(),(,) (,). XXfxfxXX f x x 设设，的的概概率率密密度

20、度分分别别为为 的的概概率率密密度度为为 12121212 4. ()(,)E X Xx x f x x dx dx 12112212 ()()x x fxfx dx dx 1111222 ()()x f x dxx f x dx 12 () ().E X E X 例例1313 解解 X表示表示n重贝努里试验中的“成功重贝努里试验中的“成功A”发生的”发生的 次数，设次数，设 ,01.().( , )pXB n pE X设设求求 1 (1,2, ). 0 i i Xin i ， 第第 次次试试验验成成功功， ，第第 次次试试验验失失败败. . 1, , n XXp则则独独立立同同分分布布于于参

21、参数数为为 的的(0-1)(0-1)分分布布， 12 (),(1,2, ), in E Xp inXXXX且且 12 1 ()(). n ni i E XXXXnpEEX 从从而而 例例14 14 将将n个编号为个编号为1,2,n的球随机地放入的球随机地放入n个编个编 号为号为1,2,n的盒中的盒中. .一个盒中放一只球，将一只一个盒中放一只球，将一只 球放入与球同号的盒子中算一个配对，记球放入与球同号的盒子中算一个配对，记X为配为配 对的个数，求对的个数，求E(X). 解解 1 (1,2, ). 0 i ii Xin ， 第第 号号球球放放入入第第 号号盒盒， 设设 ， 否否则则. . (1)!1 ()(1), ! ii n E XP X nn 则则 11 1 ()()1. nn i ii E XE X n 故故 1 , n i i XX 又又 谢谢 谢！谢！