《2023届高考数学一轮复习计划 第二节 数学模型的构建与拟合（Word学案）.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023届高考数学一轮复习计划 第二节 数学模型的构建与拟合（Word学案）.doc（12页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第二节数学模型的构建与拟合已知数学模型解决实际问题为保护环境，绿色出行，某高校今年年初成立自行车租赁公司，初期投入36万元，建成后每年收入25万元，该公司第n年需要付出的维修费用记作an万元，已知an为等差数列，相关信息如图所示：(1)设该公司前n年总盈利为y万元，试把y表示成n的函数，并求出y的最大值；(总盈利即n年总收入减去成本及总维修费用)(2)求该公司经过几年经营后，年平均盈利最大，并求出最大值解(1)由题意，每年的维修费用是以6为首项，2为公差的等差数列，则an62(n1)2n4，nN*所以y25n36n220n36(n10)264所以当n10时，y取最大值为64万元(2)年平均盈利
2、202208，当且仅当n，即n6时取等号 ，所以经过6年，年平均盈利最大，最大值为8万元1求解已知数学模型解决实际问题的关注点(1)认清所给数学模型，弄清哪些量为待定系数；(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数2利用所给数学模型，借助所给模型的性质求解实际问题，并进行检验，例如：涉及到个数时，变量应取正整数；涉及到费用、速度等问题，变量的取值应该为正数 为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)(0x10，k为常数)，若不建
3、隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值解：(1)当x0时，C8，k40，C(x)(0x10)，f(x)6x6x(0x10)(2)由(1)得f(x)2(3x5)10(0x10)令3x5t，t5,35，则y2t102 1070(当且仅当2t，即t20时等号成立)，此时x5，因此f(x)的最小值为70隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元构建数学模型解决实际问题考向1构造函数模型f(x)在(0，)上的导函数为f(x)，xf(x)2f(x
4、)，则下列不等式成立的是()A2 0212f(2 022)2 0222f(2 021)B2 0212f(2 022)2 0222f(2 021)C2 021 f(2 022)2 022 f(2 021)D2 021 f(2 022)2 022 f(2 021)解析令g(x)，则g(x)，因为在(0，)上xf(x)2f(x)，所以在(0，)上g(x)0，即g(x)在(0，)上为增函数所以g(2 022)g(2 021)，即2 0212f(2 022)2 0222f(2 021)，故选A答案A考向2构造数列模型风雨桥是侗族最具特色的建筑之一风雨桥由桥、塔、亭组成其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形
5、和正八边形如图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影其正六边形的边长计算方法如下：A1B1A0B0B0B1，A2B2A1B1B1B2，A3B3A2B2B2B3，AnBnAn1Bn1Bn1Bn，其中Bn1BnB2B3B1B2B0B1，nN*根据每层边长间的规律建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关某一风雨桥亭、塔共5层，若A0B08 m，B0B105 m则这五层正六边形的周长总和为()A35 mB45 mC210 mD270 m解析由已知得：AnBnAn1Bn1Bn1Bn，Bn1BnB2B3B1B2B0B105，因此数列AnBn(1n5，nN*)是以a1A0
6、B08为首项，公差为d05的等差数列，设数列AnBn(1n5，nN*)前5项和为S5，因此有S55a154d58540535 m，所以这五层正六边形的周长总和为6S5635210 m故选C答案C考向3构造几何模型设，为平面，l，m，n为直线，则m的一个充分条件为()A，l，mlBn，n，mCm，D，m解析构造如下图形：如图知A错；如图知C错；如图在正方体中，两侧面与相交于l，都与底面垂直，内的直线m，但m与不垂直，故D错答案B自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因
7、素为自变量列什么就是把问题中已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等 1正三棱锥PABC中，已知点E在PA上，PA，PB，PC两两垂直，PA4，PE3EA，正三棱锥PABC的外接球为球O，过E点作球O的截面，则截球O所得截面面积的最小值为()AB2C3D4解析：C由PA，PB，PC两两垂直，可知该三棱锥由棱长为4的正方体四个顶点组成，三棱锥外接球的直径为所在正方体的体对角线，设外接球半径为R，R2，过O作OHPA，H为垂足，OH2，在RtOHE中，OH2，HE1
8、，OE3，当OE垂直截面时，截面圆半径最小设半径为r，r2R2OE2(2)2323，Sr23故选C2已知函数f(x)(bR)若存在x1,2，使得f(x)，则实数b的取值范围是_解析：令g(x)xf(x)，x1,2，则g(x)f(x)xf(x)0在x1,2上有解，2x(xb)10，即bx在x1,2上有解，设h(x)x，x1,2，bh(x)max，h(x)x在1,2上为增函数，h(x)maxh(2)b实数b的取值范围是答案：数学模型的拟合考向1拟合函数的选择2020年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通已知组成北斗三号全球卫星导航系统的卫星中包含地球静止轨道卫星，它的运行轨道为圆形轨道
9、，每小时运行的轨迹对应的圆心角为，若将卫星抽象为质点，以地球球心为原点，在卫星运行轨道所在平面建立平面直角坐标系，则以下函数模型中最适合用来刻画地球静止轨道卫星的纵坐标与运行时间的关系的是()A指数函数模型B对数函数模型C幂函数模型D三角函数模型解析如图，不妨假设卫星与地球球心的距离为R，卫星运行方向为顺时针，初始位置在点P0处，OP0与x轴正半轴的夹角为，经过t小时后，卫星在点P处，则OP与x轴正半轴的夹角为t，则点P的纵坐标yRsin所以最适合用来刻画地球静止轨道卫星的纵坐标与运行时间的关系的是三角函数模型故选D答案D本题以“北斗三号全球卫星导航系统”为背景考查三角函数的定义，质点的轨迹等
10、知识，意在考查数学建模、逻辑推理和数学运算核心素养求解此类问题的关键是能从长串的文字语言中提炼出关键字眼，并能根据关键字眼寻找轨迹方程，即可判断函数模型 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关经验表明，某种绿茶用85 的水泡制，再等到茶水温度降至60 时饮用，可以产生最佳口感为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律()Aymx2n(m0)Bymaxn(m0,0a1)Cymaxn(m0，a1)Dymlogaxn(m0，a0，a1)
11、解析：B由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且m0,0a1故选B考向2拟合函数的应用某蛋糕店制作的蛋糕尺寸有6,8,10,12,14,16(单位：英寸)六种，根据日常销售统计，将蛋糕尺寸、平均月销量y(个)以及成本和单价的数据整理得到如下的表格蛋糕尺寸x(英寸)6810121416平均月销量y(个)9121515138成本(元)20406080100120单价(元)5090140180200220(1)求该蛋糕店销售蛋糕的平均月利润(利润销售收入成本)；(2)根据题中数据，从yabx与ycd(x11)2两个模型中选择更合适的，建立y关于x的经验回归方程(系数精确到001)参考公式：对于
12、一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，(u3，v3)，(un，vn)，其经验回归方程u的斜率和截距的最小二乘估计分别是，参考数据：(yi)(x1)2，(xi)270，(yi)(ti)160，(ti)2600，i解(1)根据题意，该蛋糕店销售蛋糕的平均月利润为93012501580151001310081005 670(元)(2)由表中的数据可知x与y之间不是线性关系，所以选ycd(x11)2，设t(x11)2，则t，(9121515138)12，(25911925)，027，121511，所以1511027t，因此y关于x的经验回归方程为1511027(x11)2解决此类问题的步骤 为帮助乡
13、村致富，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量y(单位：g/m3)与样本对原点的距离x(单位：m)的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值(xi)2(ui)2(yi)2(xi)(yi)(ui)(yi)697900216001414122613140(1)利用样本相关系数的知识，判断yabx与yc哪一个更适宜作为平均金属含量y关于样本对原点的距离x的回归方程类型？(2)根据(1)的结果回答下列问题：建立y关于x的经验回归方程；样本对原点的距离x20时，金属含量的预报值是多少？已知该金属在距离原点x m时的平均开采成本W(单位：元)与x，y关系为W1 000(yln
14、 x)(1x100)，根据(2)的结果回答，x为何值时，开采成本最大？附：对于一组数据(t1，s1)，(t2，s2)，(tn，sn)，其样本相关系数r，其经验回归方程t的斜率和截距的最小二乘估计分别为，解：(1)yabx的样本相关系数r10898，yc的样本相关系数r20996，|r1|r2|，yc更适宜作为平均金属含量y关于样本对原点的距离x的回归方程类型(2)10，979(10)021100，10010u100，y关于x的经验回归方程为100当x20时，金属含量的预报值为100995 g/m3W1 000(yln x)1 000(1x100)，令f(x)100ln x(1x100)，则f(
15、x)，当1x10时，f(x)0，f(x)单调递增；当10x100时，f(x)0，f(x)单调递减，f(x)在x10处取得极大值，也是最大值，此时W取得最大值，故x为10时，开采成本最大课时过关检测A级基础达标1高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数vf(h)的大致图象是()解析：Bvf(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B2(2022重庆高三模拟)某区要从5名干部甲、乙、丙、丁、戊中随机选取2人，赴区属的某村进行驻村工作，则甲或乙被选中的概率是()ABCD解析：D从5名干部中随机选取2人，共有(甲，
16、乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)这10种等可能方案，其中符合条件的有7种方案，所求概率为故选D3已知函数t144lg的图象可表示打字任务的“学习曲线”，其中t(h)表示达到打字水平N(字/min)所需的学习时间，N表示打字速度(字/min)，则按此曲线要达到90字/min的水平，所需的学习时间是()A144 hB90 hC60 hD40 h解析：A由N90可知，t144lg144 (h)4一个球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10 次着地时，经过的路程是()A100200(12
17、9)B100100(129)C200(129)D100(129)解析：A由题意，第10次着地时，经过的路程是1002(502510029)1002100(212229)100200100200(129)，故选A5在某市2022年3月份的高三线上质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布N(98,100)已知参加本次考试的全市学生有9 455人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第()A1 500名B1 700名C4 500名D8 000名解析：A因为学生的数学成绩X服从正态分布N(98,100)，则P(X108)1P(88X108)1P(X)(10682
18、7)0158 65，而0158 659 4551 500，所以该学生的数学成绩大约排在全市第1 500名故选A6“今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺”这是我国古代数学名著九章算术卷五中“商功”中的问题意思为“现有城(如图，等腰梯形的直棱柱体)，下底长4丈，上底长2丈，高5丈，纵长126丈5尺(1丈10尺)”，则该问题中“城”的体积等于()A1897 5106立方尺B3795 0106立方尺C2530 0105立方尺D1897 5105立方尺解析：AV1 2651 897 5001897 5106(立方尺)，故选A7(多选)若f(x)满足f(x)f(x)0，则对任意正实数a，
19、下列不等式恒成立的是()Af(a)f(2a)Bf(a)e2af(a)Cf(a)f(0)Df(a)解析：BD设h(x)exf(x)，则h(x)exf(x)f(x)，因为f(x)f(x)0，所以h(x)0，h(x)在R上是增函数，因为a是正实数，所以a2a，所以eaf(a)e2af(2a)，即f(a)eaf(2a)，又ea1，故f(a)，f(2a)大小不确定，故A；因为aa，所以eaf(a)eaf(a)，即e2af(a)f(a)，故B正确；因为a0，所以eaf(a)e0f(0)f(0)，即f(a)，又ea1，所以f(a)，f(0)大小不确定，故C，D正确故选B、D8某市出租车的计价标准为12元/k
20、m，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费_元解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付12元所以可以建立一个等差数列an来计算车费令a1112，表示4 km处的车费，公差d12，那么当出租车行至14 km处时，n11，此时需要支付车费a11112(111)12232(元)答案：2329已知定义在(0，)上的函数f(x)，其导函数为f(x)，满足f(x)3，且f(3)4，则不等式xf(x)3x25x的解集为_解析：构造函数g(x)f(x)3x，x
21、0，则g(x)f(x)30，故函数g(x)为(0，)上的增函数，则g(3)f(3)95当x0时，由xf(x)3x25x可得f(x)3x5，即f(x)3x5，即g(x)g(3)，解得x3，所以不等式xf(x)3x25x的解集为(3，)答案：(3，)10在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值解：如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方
22、的小艇，则AC14x，BC10x，ABC120根据余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos 120，解得x2故AC28，BC20根据正弦定理得，解得sin 所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角的正弦值为B级综合应用11在一次抽样调查中测得5组成对数据，其数值及散点图如下：x02505124y1612521(1)根据散点图判断yabx与yckx1哪一个更适宜作为y关于x的经验回归方程类型；(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，试建立y与x的经验回归方程；(计算结果保留整数)(3)在(2)的条件下，设zyx且x4，)，试求z的最小值解：(1)由题中散点图可以判断，yckx1更适宜作为y关于x的经验回归方程类型(2)令tx1，则yckt，构造新的成对数据，如下表：t42105025y1612521易知y与t存在线性相关关系计算得155，72，4，1，所以y关于t的经验回归方程为4t1所以y关于x的经验回归方程为1(3)由(2)得zyxx1，易得zx1在x4，)上单调递增函数，即最小值为6