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1、专题二 指数函数与对数函数（知识串讲）必备知识1.根式(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.(2)性质：()na(a使有意义)；当n为奇数时，a，当n为偶数时，|a| 2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是 (a0，m，nN*，且n1)；正数的负分数指数幂的意义是 (a0，m，nN*，且n1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：arasar+s；(ar)sars；(ab)rarbr，其中a0，b0，r，sQ.3.指数函数及其性质(1)概念：函数yax(a0且a1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，
2、a是底数.(2)指数函数的图象与性质a10a0时，y1；当x0时，0y1当x1；当x0时，0y0，且a1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.5.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：alogaNN；logaabb(a0，且a1).(2)对数的运算法则如果a0且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)；logamMnlogaM(m，nR，且m0).(3)换底公式：logbN(a，b均大于零且不等于1).6.对数函数及其性质(1)概念：函数ylogax(a0，
3、且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，).(2)对数函数的图象与性质a10a1时，y0；当0x1时，y1时，y0；当0x0在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数7.反函数指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称.8.函数的零点(1)函数零点的概念对于函数yf(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点.(2)函数零点与方程根的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点.(3)零点存在性定理如果函数yf(x)满足：在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；f(a)
4、f(b)0且a1，b0)与对数函数相关模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)与幂函数相关模型f(x)axnb(a，b，n为常数，a0)常用结论1.画指数函数yax(a0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.2.在第一象限内，指数函数yax(a0且a1)的图象越高，底数越大.3.换底公式的两个重要结论(1)logab；(2)logambnlogab.其中a0，且a1，b0，且b1，m，nR.4.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.5.对数函数ylogax(a0，且a1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，函数图象只在第
5、一、四象限.6.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)0的实根.7.由函数yf(x)(图象是连续不断的)在闭区间a，b上有零点不一定能推出f(a)f(b)0，如图所示，所以f(a)f(b)1，b1，b0C.0a0D.0a1，b0(2)若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_.解析(1)由f(x)axb的图象可以观察出，函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0a1.函数f(x)axb的图象是在f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以b1.73 B.0.610.62C.0.80.11.250.2 D.
6、1.70.30.93.1(2)设函数f(x)若f(a)1，则实数a的取值范围是_.解析(1)A中，函数y1.7x在R上是增函数，2.53，1.72.51.73，错误；B中，y0.6x在R上是减函数，10.62，正确；C中，(0.8)11.25，问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小.y1.25x在R上是增函数，0.10.2，1.250.11.250.2，即0.80.11, 00.93.10.93.1，错误.(2)当a0时，原不等式化为71，则2a3，所以3a0.当a0时，则 1，0a0，且a1)在区间1，1上的最大值是14，则a的值为_.解析令axt，则ya2x2ax1t22t1(
7、t1)22.当a1时，因为x1，1，所以t，又函数y(t1)22在上单调递增，所以ymax(a1)2214，解得a3(负值舍去).当0a1且a2)在区间(0，)上具有不同的单调性，则M(a1)0.2与N的大小关系是()A.MN B.MN C.MN(2)函数f(x)的单调递增区间为_，单调递减区间为_.(3)已知函数f(x)bax(其中a，b为常量，且a0，a1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24).若不等式m0在x(，1上恒成立，则实数m的最大值为_.解析(1)因为f(x)x2a与g(x)ax(a1，且a2)在(0，)上具有不同的单调性.所以a2.因此M(a1)0.21，NN.(2)依题意
8、知x25x40，解得x4或x1，令u，x(，14，)，所以当x(，1时，u是减函数，当x4，)时，u是增函数.而31，所以由复合函数的单调性可知，f(x)在区间(，1上是减函数，在区间4，)上是增函数.(3)把A(1，6)，B(3，24)代入f(x)bax，得结合a0，且a1，解得所以f(x)32x.要使m在区间(，1上恒成立，只需保证函数y在区间(，1上的最小值不小于m即可.因为函数y在区间(，1上为减函数，所以当x1时，y有最小值.所以只需m即可.所以m的最大值为.答案(1)D(2)4，)(，1(3) 考点四对数的运算【例4】 (1)计算：.(2)计算：解析(1)原式 (2)原式规律方法1
9、.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.abNblogaN(a0，且a1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.【训练4】 (1)若lg 2，lg(2x1)，lg(2x5)成等差数列，则x的值等于()A.1 B.0或 C. D.log23(2)(2020成都七中检测)已知ab1，若logablogba，abba，则a_，b_.解析(1)由题意知lg 2lg(2x5)2lg(2x1)，2
10、(2x5)(2x1)2，(2x)290，2x3，xlog23.(2)设logb at，则t1，因为t，所以t2，则ab2.又abba，所以b2bbb2，即2bb2，又ab1，解得b2，a4.答案(1)D(2)42考点五对数函数的图象及应用【例5】 (1)(2020潍坊一模)若函数f(x)axax(a0且a1)在R上为减函数，则函数yloga(|x|1)的图象可以是()(2)当x(1，2)时，不等式(x1)2logax恒成立，则a的取值范围是()A.(0，1) B.(1，2)C.(1，2 D. 解析(1)由f(x)在R上是减函数，知0a1时，yloga(x1)的图象由ylogax的图象向右平移一
11、个单位得到.因此选项D正确.(2)由题意，易知a1.在同一坐标系内作出y(x1)2，x(1，2)及ylogax的图象.若ylogax过点(2，1)，得loga21，所以a2.根据题意，函数ylogax，x(1，2)的图象恒在y(x1)2，x(1，2)的上方.结合图象，a的取值范围是(1，2.答案(1)D(2)C规律方法1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.【训练5】 (1)已知函数f(x)loga(2xb1)(a0，a1)的图象如图
12、所示，则a，b满足的关系是()A.0a1b1B.0ba11C.0b1a1D.0a1b11.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知1logab0，即logaa1logabloga1，所以，a1b1.综上有0a1bbc B.bacC.cba D.cab(2)若loga(a21)loga2a1，bln 2(0，1)，clog23log2ea1，所以cab.法二log23，如图，在同一坐标系中作出函数ylog2x，yln x的图象，由图知cab.(2)由题意得a0且a1，故必有a212a，又loga(a21)loga2a0，所以0a1，a.综上，a.答案(1)D(2)C角度3对数
13、型函数性质的综合应用【例63】 已知函数f(x)loga(3ax).(1)当x0，2时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1，2上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.解(1)a0且a1，设t(x)3ax，则t(x)3ax为减函数，x0，2时，t(x)的最小值为32a，当x0，2时，f(x)恒有意义，即x0，2时，3ax0恒成立.32a0.a0且a1，a的取值范围是(0，1).(2)t(x)3ax，a0，函数t(x)为减函数.f(x)在区间1，2上为减函数，ylogat为增函数，a1，x1，2时，t(
14、x)最小值为32a，f(x)最大值为f(1)loga(3a)，即 故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1，2上为减函数，并且最大值为1.规律方法1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.【训练6】 (1)(2020全国卷)若ab0，0c1，则()A.logaclogbc B.logcalogcbC.accb(2)若函数f(x)lo
15、ga (a0，a1)在区间内恒有f(x)0，则f(x)的单调递增区间为_.解析(1)由yxc与ycx的单调性知，C，D不正确；ylogcx是减函数，得logca0，所以a1，所以函数ylogaM为增函数，又M，因此M的单调递增区间为.又x2x0，所以x0或x，所以函数f(x)的单调递增区间为(0，).答案(1)B(2)(0，)考点七函数零点所在区间的判定【例7】 (1)设f(x)ln xx2，则函数f(x)零点所在的区间为()A.(0，1) B.(1，2)C.(2，3) D.(3，4)(2)设函数yx3与y的图象的交点为(x0，y0)，若x0(n，n1)，nN，则x0所在的区间是_.解析(1)
16、因为yln x与yx2在(0，)上都是增函数，所以f(x)ln xx2在(0，)上是增函数，又f(1)ln 11210，根据零点存在性定理，可知函数f(x)ln xx2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内.(2)设f(x)x3，则x0是函数f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数yx3与y的图象如图所示.因为f(1)110，所以f(1)f(2)0，所以x0(1，2).答案(1)B(2)(1，2)规律方法确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必
17、有零点.(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.【训练7】 (1)若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A.(a，b)和(b，c)内 B.(，a)和(a，b)内C.(b，c)和(c，)内 D.(，a)和(c，)(2)函数f(x)ln x的零点所在的区间为()A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)解析(1)ab0，f(b)(bc)(ba)0，由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点；因此函数f(x)的两个零
18、点分别位于区间(a，b)，(b，c)内.(2)易知f(x)ln x在定义域(0，)上是增函数，又f(1)20.根据零点存在性定理，可知函数f(x)ln x有唯一零点，且在区间(1，2)内.答案(1)A(2)B考点八确定函数零点的个数【例8】 (1)(一题多解)函数f(x)的零点个数为()A.3 B.2 C.1 D.0(2)(2020安庆二模)定义在R上的函数f(x)，满足f(x)且f(x1)f(x1)，若g(x)3log2x，则函数F(x)f(x)g(x)在(0，)内的零点有()A.3个 B.2个 C.1个 D.0个解析(1)法一由f(x)0得或 解得x2或xe.因此函数f(x)共有2个零点.
19、法二函数f(x)的图象如图1所示，由图象知函数f(x)共有2个零点.图1(2)由f(x1)f(x1)，即f(x2)f(x)，知yf(x)的周期T2.在同一坐标系中作出yf(x)与yg(x)的图象(如图2).图2由于两函数图象有2个交点.所以函数F(x)f(x)g(x)在(0，)内有2个零点.答案(1)B(2)B规律方法函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令f(x)0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0时，f(x)3x1有一个零点x.因此当x0时，f(x)exa0只有一个实根，aex(x0)，则1a0.(2)函数g(x)
20、f(x)xa存在2个零点，即关于x的方程f(x)xa有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线yxa有2个交点.作出直线yxa与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，a1，解得a1，故选C.答案(1)D(2)C规律方法1.已知函数的零点求参数，主要方法有：(1)直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；(2)数形结合；(3)分离参数，转化为求函数的最值.2.已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点个数问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.【训练9】 (2020浙江卷)已知R，函数f(x) (1)当2时，不等式f(x)0的解集是_
21、.(2)若函数f(x)恰有2个零点，则的取值范围是_.解析(1)若2，当x2时，令x40，得2x4；当x2时，令x24x30，解得1x2.综上可知，1x4，所以不等式f(x)0的解集为(1，4).(2)令f(x)0，当x时，x4，当x时，x24x30，解得x1或x3.因为函数f(x)恰有2个零点，结合如图函数的图象知，14. 答案(1)(1，4)(2)(1，3(4，)考点十构造函数模型求解实际问题多维探究角度1二次函数、分段函数模型【例101】 “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养
22、殖密度x(单位：尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4x20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年.(1)当0x20时，求函数v关于x的函数解析式；(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值.解(1)由题意得当0x4时，v2，当4x20时，设vaxb(a0)，显然vaxb在(4，20内是减函数，由已知得解得所以v.故函数v (2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意，由(1)得f(x)当0x4时，f(x)为增函数，故f(x)maxf(4)428；当4x20时，f(x)(x
23、10)2，f(x)maxf(10)12.5.所以当0x20时，f(x)的最大值为12.5.故当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米.角度2构建指数(对数)型函数模型【例112】 一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？解(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0x1)，则a(1x)10a，即(1x)10，解得x1.故每年砍伐面积的百分比
24、为1.(2)设经过m年剩余面积为原来的，则a(1x)ma，把x1代入，即，解得m5.故到今年为止，该森林已砍伐了5年.规律方法1.指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指数与对数的互化.2.实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解.但应关注以下两点：分段要简洁合理，不重不漏；分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值.【训练11】 (1)某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过
25、10 m3的，按每立方米m元收费；用水超过10 m3的，超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为()A.13 m3 B.14 m3 C.18 m3 D.26 m3(2)(2020北京卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是()(参考数据：lg 30.48)A.1033 B.1053 C.1073 D.1093解析(1)设该职工用水x m3时，缴纳的水费为y元，由题意得y 则10m(x10)2m16m，解得x13.(2)M3361，N1080，则lglglg 3361lg1080361lg 38093.1093.答案(1)A(2)D