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1、专题9通项公式和数列求和一、单选题1正项数列an的前n项和为Sn，且满足，则a5（ ）A8B5C6D7【答案】B【分析】根据，时，得到，当时，根据得到或者，再求即可.【详解】正项数列，当时，所以.当时，所以或者.当时，是首项为1，公差为1的等差数列，所以，；当时，与是正项数列矛盾，所以舍去.故选：B.2已知数列的前项和，则的通项公式为（ ）ABC D【答案】B【分析】利用求出时的表达式，然后验证的值是否适合，最后写出的式子即可.【详解】，当时，当时，上式也成立，故选：B.【点睛】易错点睛：本题考查数列通项公式的求解，涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即，算出之后一定要判断时对应的式子是否成立
2、，最后求得结果，考查学生的分类思想与运算求解能力，属于基础题.3在数列中，且，则其通项公式为（ ）ABCD【答案】D【分析】先由得出，再由累加法计算出，进而求出.【详解】解：，化简得：，两边同时除以并整理得：，即，将上述个式子相加得：，即，又也满足上式，.故选：D.【点睛】易错点点睛：利用累加法求数列通项时，如果出现，要注意检验首项是否符合.4数列，的一个通项公式是（ ）ABCD【答案】C【分析】根据选项进行逐一验证，可得答案.【详解】选项A. ,当时，无意义.所以A不正确.选项B. ,当时，故B不正确.选项C. ，所以满足.故C正确.选项D. ,当时, ,故D不正确.故选：C5已知数列1，,
3、，则数列的第k项是（ ）ABCD【答案】D【分析】根据已知中数列的前4项，分析数列的项数及起始项的变化规律，进而可得答案【详解】解：由已知数列的前4项：1，,归纳可知该数列的第项是一个以1为首项，以为公比的等比数列第项开始的连续项和，所以数列的第项为：故选：D6已知数列满足则数列的最大项为（ ）ABCD【答案】B【分析】本题先根据递推公式进行转化得到然后令，可得出数列是等比数列即然后用累乘法可求出数列的通项公式，根据通项公式及二次函数的知识可得数列的最大项【详解】解：由题意，可知：令，则，数列是以为首项，为公比的等比数列，各项相乘，可得：令，则，根据二次函数的知识，可知：当或时，取得最小值，的
4、最小值为数列的最大项为故选：【点睛】本题主要考查根据递推公式得出通项公式，构造新数列的方法，累乘法通项公式的应用，以及利用二次函数思想求最值；7已知等差数列的前项和满足：，若，则的最大值为（ ）ABCD【答案】C【分析】首先根据数列的通项与的关系，得到，再根据选项，代入前项和公式，计算结果.【详解】由得，.又，.故选:C.【点睛】关键点睛：本题的第一个关键是根据公式，判断数列的项的正负，第二个关键能利用等差数列的性质和公式，将判断和的正负转化为项的正负.8已知数列的前n项和，则（ ）A350B351C674D675【答案】A【分析】先利用公式求出数列的通项公式，再利用通项公式求出的值.【详解】
5、当时，；当时，.不适合上式，.因此，；故选：A.【点睛】易错点睛：利用前项和求通项，一般利用公式，但需要验证是否满足.9已知在数列中，则的值为（ ）ABCD【答案】C【分析】由累乘法可求得，即可求出.【详解】，即，.故选：C.10已知数列的前项和为，且满足，若，则的最小值为（ ）ABCD0【答案】A【分析】转化条件为，由等差数列的定义及通项公式可得，求得满足的项后即可得解.【详解】因为，所以，又，所以数列是以为首项，公差为2的等差数列，所以，所以，令，解得，所以，其余各项均大于0，所以.故选：A.【点睛】解决本题的关键是构造新数列求数列通项，再将问题转化为求数列中满足的项，即可得解.11若数列
6、的前项和为，则称数列是数列的“均值数列”.已知数列是数列的“均值数列”且通项公式为，设数列的前项和为，若对一切恒成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】D【分析】根据题意，求得，进而求得数列的通项公式为，结合裂项法求得数列的前和，得出不等式，即可求得实数的取值范围.【详解】由题意，数列的前项和为，由“均值数列”的定义可得，所以，当时，；当时，也满足，所以，所以，所以，又对一切恒成立，所以，整理得，解得或.即实数的取值范围为.故选：D.【点睛】数列与函数、不等式综合问题的求解策略：1、已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一把要利用数列的通项公式，前项和公式，求和方法等对于式子化简变形
7、，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性；2、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.12已知单调递增数列的前n项和满足，且，记数列的前n项和为，则使得成立的n的最小值为（ ）A7B8C10D11【答案】B【分析】由数列与的关系转化条件可得，结合等差数列的性质可得，再由错位相减法可得，即可得解.【详解】由题意，当时，所以，整理得，因为数列单调递增且，所以，即，当时，所以，所以数列是以为首项，公差为1的等差
8、数列，所以，所以，所以，所以，所以，所以成立的n的最小值为8.故选：B.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是数列与关系的应用及错位相减法的应用.二、填空题13已知首项为1的数列的前n项和为Sn，且当n为偶数时，当n为奇数且n1时，.若，则m的最小值为_.【答案】18【分析】根据已知条件求出n为偶数和奇数时的通项公式，再求得前项的和得解【详解】由题意得，即.又，数列是以4为首项，2为公比的等比数列，奇数项的和为偶数项的和为，使得的最小整数m的值为18.故答案为：18【点睛】分奇偶项求得通项公式是解题关键.14设数列是以为首项，为公比的等比数列，其前项和为，则的前项和为_.【答案】【分析】先根据题
9、意得，由于数列是以为首项，为公比的等比数列，进而利用分组求和法求和即可得答案.【详解】解：由等比数列的前项和公式得，由于数列是以为首项，为公比的等比数列，设的前项和，则.故答案为：【点睛】本题考查等比数列求和，分组求和，考查运算能力，是基础题.本题解题的关键是求出，再结合数列是以为首项，为公比的等比数列，再次求和即可.15已知数列满足，则_.【答案】【分析】利用已知条件得，运用叠加法先求得，再求得.【详解】依题意数列满足，所以，所以， ，所以，所以，所以，故答案为：.16数列的前项和为，则数列的前项和_【答案】【分析】利用可得为等比数列，即可求出，进而得出，利用裂项相消法即可求出.【详解】，时
10、，两式作差，得，化简得，检验：当时，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列；，令，.故答案为：【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于结构，利用分组求和法；（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.三、解答题17已知数列的前项和满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）已知数列满足，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据所给的递推关系，结合、等比数列的定义进行求解即可；（2）利用错位相减法进行求解即可.【详解】（1），时，又，是以3为首项
11、，3为公比的等比数列，；（2）由（1）知，所以，由得：18已知各项均为正数的数列的前n项和满足，且.（1）求的通项公式：（2）设数列满足，并记为的前n项和，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】(1)利用已知与的关系求的通项公式；(2)先根据(1)的结论求出，再求出的前n项和，利用放缩法证明不等式.【详解】（1）由，结合，因此由得，又，得从而是首项为2公差为3的等差数列，故的通项公式为.（2）由可得，从而，于是.【点睛】关键点点睛：本题考查了已知与的关系求的通项公式，根据利用放缩法得，证明不等式，属于较难题.19已知数列的前项和为，且（1）求数列通项公式；（2）若数列满足，求数列的
12、前项和【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用即可求出；（2）利用错位相减法即可求出.【详解】（1）当时，则；当时，满足；（2）依题意，故，故，两式相减可得，【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于结构，利用分组求和法；（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.20设是公比为正数的等比数列， ，.（1）求的通项公式；（2）设是首项为，公差为的等差数列，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用等比数列的定义求出公比后，再根据可得结果；（2）根
13、据等差数列的首项和公差求出后再根据等差、等比数列的前项和公式，分组求和，即可得到结果.【详解】（1）由题意设等比数列的公比为q，即，的通项公式.（2）是首项为1，公差为2的等差数列，数列的前n项和.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前项和公式，考查了等比数列的通项公式和前项和公式，关键是正确求得等比数列的基本量，并注意分组求和思想的应用，属于基础题.21已知数列的前n项和满足.（1）求数列的通项公式；（2）记，是数列的前n项和，若对任意的，不等式都成立，求实数k的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由得出的递推关系，结合得等比数列，从而得通项公式；（2）用裂项相消法求得和，不等
14、式可变形为，令，再用作差法得出的单调性，得最大项，从而得的取值范围【详解】（1）因为数列的前n项和满足，所以当时，两式相减得：，即，又时，解得：，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，从而（2）由（1）知：，所以，对任意的，不等式都成立，即，化简得：，令，因为，故单调递减，所以，故，所以，实数k的取值范围是【点睛】方法点睛：本题考查求等比数列的通项公式，考查裂项相法法求和，数列不等式恒成立问题数列求和方法有：公式法，错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法，倒序相加法等，用作差法确定数列的单调性求出数列的最大（小）项是求数列最值的常用方法22已知等差数列中，前项和为，为等比数列且各项均为
15、正数，且满足：.（1）求与；（2）记，求的前项和；（3）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）, （2） （3）【分析】（1）设等差数列的公差为d,等比数列的公比为,由,且满足:,.可得,联立解出即可得出.（2）,利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出.（2）不等式,即,化为:.对n分类讨论,利用数列的单调性即可得出.【详解】（1）设等差数列的公差为d,等比数列的公比为,且满足:,， ,联立解得,；（2）,的前n项和,两式相减得,；（3）不等式,即,化为:， 当n为偶数时,，当n为奇数时,解得，对一切恒成立,，实数m的取值范围是【点睛】关键点睛：本题考查求等差数列和等比数列的通项公式，利用错位相减法求和，数列不等式恒成立求参数范围，解答本题的关键是利用错位相减法求和，计算要准确，不等式,即,化为:，再分的奇偶性分别求解即可.属于中档题.