专题一 第4讲 不等式.docx

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1、第4讲不等式考情分析1.不等式的解法是数学的基本功,在许多题目中起到工具作用.2.求最值和不等式恒成立问题常用到基本不等式.3.题型多以选择题、填空题形式考查,中等难度考点一不等式的性质与解法核心提炼1不等式的倒数性质(1)ab,ab0.(2)a0bb0,0c.2不等式恒成立问题的解题方法(1)f(x)a对一切xI恒成立f(x)mina,xI;f(x)a对一切xI恒成立f(x)maxg(x)对一切xI恒成立当xI时,f(x)的图象在g(x)的图象的上方(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法例1(1)若p1,0mn1 B.Cmplognp答案D解析方法一设m,n,p2,逐个代入可知D正确方法二

2、对于选项A,因为0mn1,所以01,所以0p0,所以,故B不正确;对于选项C,由于函数yxp在(0,)上为减函数,且0mnnp,故C不正确;对于选项D,结合对数函数的图象可得,当p1,0mnlognp,故D正确(2)(2020北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知关于x的不等式axb0的解集是2,),则关于x的不等式ax2(3ab)x3b0的解集是()A(,3)(2,) B(3,2)C(,2)(3,) D(2,3)答案A解析由关于x的不等式axb0的解集是2,),得b2a且a0,则关于x的不等式ax2(3ab)x3b0,即(x3)(x2)0,解得x2,所以不等式的解集为(,3)(2,)易错提醒求

3、解含参不等式ax2bxc0恒成立问题的易错点(1)对参数进行讨论时分类不完整,易忽略a0时的情况(2)不会通过转换把参数作为主元进行求解(3)不考虑a的符号跟踪演练1(1)已知函数f(x)则不等式x2f(x)x20的解集是_答案x|1x1解析由x2f(x)x20,得或即或1x或x1,原不等式的解集为x|1x1(2)若不等式(a24)x2(a2)x10的解集是空集,则实数a的取值范围是()A. B.C. D.2答案B解析当a240时,解得a2或a2,当a2时,不等式可化为4x10,解集不是空集,不符合题意;当a2时,不等式可化为10,此式不成立,解集为空集当a240时,要使不等式的解集为空集,则

4、有解得2a0),g(x)恒正或恒负的形式,然后运用基本不等式来求最值例2(1)下列不等式的证明过程正确的是()A若a,bR,则22B若a0,则a24C若a,b(0,),则lg alg b2D若aR,则2a2a22答案D解析由于,的符号不确定,故选项A错误;a0,2a0,2a2a22(当且仅当a0时,等号成立),故选项D正确(2)(2019天津)设x0,y0,x2y5,则的最小值为_答案4解析2 .由x2y5得52,即,即xy,当且仅当x2y时等号成立所以224,当且仅当2,即xy3时取等号,结合xy可知,xy可以取到3,故的最小值为4.易错提醒运用基本不等式时,一定要注意应用的前提:“一正”“

5、二定”“三相等”所谓“一正”是指“正数”;“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值;“三相等”是指满足等号成立的条件若连续两次使用基本不等式求最值,必须使两次等号成立的条件一致,否则最值取不到跟踪演练2(1)(2020北京市中国人民大学附属中学模拟)已知a0,b0,且ab1,则2a的最小值为_答案22解析a0,b0,由ab1,得a1b,2a22b2222,当且仅当b时,等号成立,2a的最小值为22.(2)(2020江苏)已知5x2y2y41(x,yR),则x2y2的最小值是_答案解析方法一由题意知y0.由5x2y2y41,可得x2,所以x2y2y22,当且仅当4y2,即y时取等号所以x

6、2y2的最小值为.方法二设x2y2t0,则x2ty2.因为5x2y2y41,所以5(ty2)y2y41,所以4y45ty210.由25t2160,解得t.故x2y2的最小值为.专题强化练一、单项选择题1不等式(x3)(x1)0的解集是()Ax|1x3 Bx|1x3Cx|x3 Dx|x3答案D解析不等式即(x3)(x1)0,由二次不等式的解法大于分两边可得不等式的解集为x|x32下列命题中正确的是()A若ab,则ac2bc2B若ab,cC若ab,cd,则acbdD若ab0,ab,则答案D解析对于A选项,当c0时,不成立,故A选项错误当a1,b0,c2,d1时,故B选项错误当a1,b0,c1,d0

7、时,acbd,故C选项错误由不等式的性质知D正确3(2020北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知一元二次不等式f(x)0的解集为x|x3,则f(10x)0的解集为()Ax|xlg 3 Bx|2xlg 3 Dx|xlg 3答案D解析一元二次不等式f(x)0的解集为x|x3,则f(x)0的解集为x|2x0可化为210x3,解得xlg 3,所以所求不等式的解集为x|xb0,且ab1,则下列不等式成立的是()Aalog2(ab)B.log2(ab)aCalog2(ab)Dlog2(ab)a1,0b1,log221, aabalog2(ab)5(2018全国)设alog0.20.3,blog20.3,则

8、()Aabab0 Babab0Cab0ab Dab0log0.210,blog20.3log210,ablog0.30.4log0.310,01,abab0,y0,x2y2xy8,则x2y的最小值是()A3 B4 C. D.答案B解析由题意得x2y8x2y82,当且仅当x2y时,等号成立,整理得(x2y)24(x2y)320,即(x2y4)(x2y8)0,又x2y0,所以x2y4,所以x2y的最小值为4.故选B.7已知a1,b2,(a1)(b2)16,则ab的最小值是()A4 B5 C6 D7答案B解析由a1,b2,得a10,b20,ab(a1)(b2)3232435,当且仅当a1b24,即a

9、3,b2时等号成立,所以ab的最小值是5.8已知正实数a,b,c满足a22ab9b2c0,则当取得最大值时,的最大值为()A3 B. C1 D0答案C解析由正实数a,b,c满足a22ab9b2c0,得1,当且仅当,即a3b时,取最大值,又因为a22ab9b2c0,所以此时c12b2,所以1,当且仅当b1时等号成立故最大值为1.二、多项选择题9设f(x)ln x,0ab,若pf(),qf,rf(a)f(b),则下列关系式中正确的是()Aqr Bpq答案BC解析r(ln aln b)pln ,pln qln .10已知aZ,关于x的一元二次不等式x26xa0的解集中有且仅有3个整数,则a的值可以是

10、()A6 B7 C8 D9答案ABC解析方法一设yx26xa,则其图象为开口向上,对称轴是x3的抛物线,如图所示若关于x的一元二次不等式x26xa0的解集中有且仅有3个整数,则解得5a8,又aZ,故a可以为6,7,8.方法二分离常数,得ax26x,函数yx26x的图象及直线ya,如图所示,由图易知5b的充要条件为()A. Bln aln bCaln abln b Dabb0,所以b0ln aln b,故B正确;对于C,设f(x)xln x,则f(x)ln x1(x0),令f(x)0,得x,当x时,f(x)0,f(x)单调递增,所以ab0不能推出aln a0),则g(x)1ex.因为x0,所以e

11、x1,所以g(x)b0时,g(a)g(b),即aeabeb,即ab0,b0,且abb,必要性成立,故D正确12(2020新高考全国)已知a0,b0,且ab1,则()Aa2b2 B2abClog2alog2b2 D.答案ABD解析因为a0,b0,ab1,所以ab2,当且仅当ab时,等号成立,即有ab.对于A,a2b2(ab)22ab12ab12,故A正确;对于B,2ab22a122a,因为a0,所以22a1,即2ab,故B正确;对于C,log2alog2blog2ablog22,故C错误;对于D,由()2ab2122,得,故D正确三、填空题13对于0a1,给出下列四个不等式:loga(1a)lo

12、ga;a1aa1.其中正确的是_(填序号)答案解析由于0a1,所以函数f(x)logax和g(x)ax在定义域上都是单调递减函数,而且1a0恒成立,则实数m的取值范围是_答案(1,)解析x(0,),mx2(m1)xm0恒成立,m(x2x1)x恒成立,又x2x120,m恒成立,当x(0,)时,1,当且仅当x,即x1时取“”m1.15已知函数f(x)x32xex,其中e是自然对数的底数,若f(a1)f(2a2)0,则实数a的取值范围是_答案解析由f(x)x32xex,得f(x)(x)32(x)exx32xexf(x),又xR,所以f(x)x32xex是奇函数因为f(x)3x22ex3x2223x20,当且仅当x0时“”成立,所以f(x)在R上单调递增,因为f(a1)f(2a2)0,所以f(2a2)f(a1),即f(2a2)f(1a)所以2a21a,即2a2a10,解得1a.16已知实数x,y满足x1,y0且x4y11,则的最大值为_答案9解析x4y11,(x1)4y10,又(x1)4y5529,当且仅当,即2yx10时等号成立,9,令t,则t(10t)9,即t210t90,1t9,的最大值为9.

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