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1、高三数学百所名校好题分项解析汇编之全国通用版(2021版) 专题03导数一、选择题1.（2020赣州市赣县第三中学期中）已知函数，则其单调增区间是（ ）ABCD【答案】A【详解】由，函数定义域为，求导，令，得或（舍去）所以单调增区间是故选：A.2.（2020固原市五原中学期中）函数，若，则（ ）ABCD【答案】B【详解】因为，所以，当时，则在为减函数，因为，所以，即，故选：B3.（2020秋安徽月考）若函数f（x）x2+4x+blnx在（0，+）上是减函数，则b的取值范围是（）A（，2B（，2）C（2，+）D2，+）【答案】A【解答】解：f（x）x2+4x+blnx在（0，+）上是减函数，f（
2、x）0在（0，+）上恒成立，即，即b2x24x，2x24x2（x1）222，b2，故选：A4 2020四川成都月考）已知函数，设，则（ ）ABCD【答案】D【详解】由，则是偶函数，当时，所以在单调递增，由，则，所以又，所以故选：D5 （2020内蒙古）设函数，直线是曲线的切线，则的最大值是（ ）AB1CD【答案】C【详解】解：由题得，设切点，则，；则切线方程为：，即，又因为，所以，则，令，则，则有，；，即在上递增，在上递减，所以时，取最大值，即的最大值为.故选：C.6.（2020秋莱州市月考）若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（）ABCD【答案】D【解答】解：因为有两个不同的极值点
3、，所以0在（0，+）有2个不同的零点，所以x2x+a0在（0，+）有2个不同的零点，所以，解可得，0a故选：D7.（2020湖北随州期末）已知函数在处取得最大值，则下列判断正确的是（ ），ABCD【答案】B【详解】的定义域为，令在上单调递减，所以，所以，因为，所以，所以，即；所以正确；故选：B8.（2020秋赤峰月考）已知函数f（x）的定义域为R，f（x）为f（x）的导函数若f（x）f（x）1，且f（0）1，则不等式f（x）+12ex的解集为（）A（，0B1，+）C0，+）D（，1【答案】A【解答】解：令g（x），则g（x），因为f（x）f（x）1，所以g（x）0，即函数g（x）在定义域R上单
4、调递减，因为f（0）1，所以g（0）2，所以不等式f（x）+12ex等价于2，即g（x）g（0），解得x0故不等式的解集为（，0故选：A9.（2020合肥一六八中学月考）已知，有如下四个结论：；满足；则正确结论的序号是（ ）ABCD【答案】C【详解】由，则 ，设,则当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减, 又，当时，有，则的图象如图.由，即，且，所以，所以正确，错误；设，则 两式相减得，得两式相加得设，则所以在上单调递增，则所以在上单调递增，,即所以，即所以，故正确，错误；综上，正确的命题是，故选：C.10.（2020秋平城区校级期中）设函数f（x）在R上存在导数f（x），对于任意的实数x
5、，有f（x）+f（x）2x2，当x（，0）时，f（x）+32x，若f（m+2）+f（m）2m22m2，则实数m的取值范围是（）Am1Bm1Cm1Dm1【答案】C【解答】解：f（x）+32x，f（x）2x+30，构造函数g（x）f（x）x2+3x，g（x）+g（x）f（x）x2+3x+f（x）x23xf（x）+f（x）2x20，函数g（x）为奇函数，x（，0）时，g（x）f（x）2x+30，函数g（x）在（，0）上是减函数，从而在（0，+）上也是减函数，又f（0）0，函数g（x）在R上是减函数，对于任意的实数x，有f（x）+f（x）2x2，f（m+2）2（m+2）2f（m2），f（m+2）+f（
6、m）2m22m2等价于2（m+2）2f（m2）+f（m）2m22m2，整理得：f（m）f（m2）10m10，等价于f（m）m2+3mf（m2）（m2）2+3（m2），即g（m）g（m2），又函数g（x）在R上是减函数，mm2，解得：m1，故选：C11.（2020合肥一六八中学月考）已知函数，存在实数，使得，则的最大值为（ ）ABCD【答案】A【详解】因为，所以，令，求导可得，即时，时，则当时有最大值，即的最大值为.故选：A.12.（2020秋珠海月考）直线l：ykx+b是曲线f（x）ln（x+1）和曲线g（x）ln（e2x）的公切线，则b（）A2BClnDln（2e）【答案】C【解答】解：设直
7、线l与曲线f（x）的切点设为（m，ln（m+1），与曲线g（x）的切点为（s，2+lns），由f（x）ln（x+1）的导数f（x），可得k，即m1，又g（x）ln（e2x）的导数为g（x），可得k，即s，又ln（1+m）km+b，即lnk1k+b，2+lnsks+b，即2lnk1+b，由解得k2，b1ln2ln，故选：C13.（2020秋朝阳区期中）已知奇函数f（x）的定义域为，且f（x）是f（x）的导函数若对任意，都有f（x）cosx+f（x）sinx0，则满足的的取值范围是（）ABCD【答案】D【解答】解：令g（x），x（，），f（x）为奇函数，ycosx为偶函数，g（x）为奇函数x（，0
8、），有f（x）cosx+f（x）sinx0，g（x）0，g（x）在区间（，0）上单调递减，又g（x）为奇函数，g（x）在区间（，）上单调递减，当x（，），cosx0，g（）g（），故选：D14.（2020秋香坊区校级期中）已知关于x的不等式在（0，+）上恒成立，则实数的取值范围为（）AB（e，+）CD（0，e）【答案】A【解答】解：关于x的不等式在（0，+）上恒成立，则（ex+1）x（x+1）lnx（elnx+1）lnx，设f（x）（ex+1）x，x0，f（x）f（lnx），f（x）ex（x+1）+10，f（x）在（0，+）上单调递增，xlnx，设g（x），x0，g（x），令g（x）0，解得x
9、e，当0xe时，g（x）0，函数g（x）单调递增，当xe时，g（x）0，函数g（x）单调递减，g（x）maxg（e），故选：A二、填空题15.（2020秋安徽月考）已知函数f（x）有三个极值点，则a的取值范围是【答案】（e，+）【解答】解：函数f（x），可得f（x）ax2+axexxex，函数f（x）有三个极值点，等价为f（x）ax2+axexxex0有三个不同的实根，即ax（x+1）（1+x）ex0，（x+1）（axex）0，则x1，则axex0，有两个不等于1的根，则，设，则，则由h（x）0得x1，由h（x）0得x1且x0，当x1时，（h（x）mine，当x0时，h（x）0，作出图象，要使
10、有两个不同的根，则满足ae，a（e，+）故答案为：（e，+）16.（2020河南信阳高三月考）已知函数，给出下列命题：，都有成立；存在常数，恒有成立；的最大值为；在上是增函数.以上命题中正确的为_.【答案】【详解】，为奇函数，正确；，为周期函数，正确；，令，则，令，得，且为最大值，错误；当时，所以在上为增函数，正确.故答案为：17.（2020陕西安康月考（理）已知函数，若恒成立，则a的取值范围是_.【答案】【详解】若，则，当时，显然成立；当时，则，又因为当时，所以只需满足即可，令（），则，则时，所以在上递减，当时，则在上递增，所以，所以，令（），则，令，得（舍）或，则当时，；当时，所以函数在上
11、递增，在上递减，所以，故，综上所述：.故答案为：.18.（2020湖北随州期末）已知函数，下列结论中，函数的图象关于原点对称；当时，；若，则；若对于恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1.所有正确结论的序号为_.【答案】【详解】因为，所以，所以为奇函数，所以函数的图象关于原点对称，所以正确；因为，因为，所以，所以在上单调递减，所以，所以，所以正确；令，由可知，在上单调递减，所以，所以在上单调递减，若，所以，即，所以错误；若对于恒成立，相当于在上落在直线的上方，落在直线的下方，结合图形，可知的最大值为连接的直线的斜率，即，的最小值为曲线在处的切线的斜率，即，所以正确；故正确答案为：.19.（20
12、20陕西安康月考）已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求a，b的值；（2）证明：.【详解】（1）由已知得，.，.（2）设，则，由得；由得.在上单调递减，在上单调递增，在处取得最小值，当时，所以，要使在上成立，只需使在上成立，即在上成立，设，则，由得，由得.在上单调递减，在上单调递增，在处取得最小值，即在上成立原不等式成立.20.（2020四川成都月考（理）已知函数，其中.（1）当时，求的单调区间；（2）若方程在(为自然对数的底数)上存在唯一实数解，求实数的取值范围.【详解】（1）当时，则当时，为减函数当时，为增函数故的单调递增区间为，单调递减区间为（2），即；令，由题意得只需函数在上有唯一
13、的零点；又，其中，当时，恒成立，单调递增，又，则函数在区间上有唯一的零点；当时，恒成立，单调递减，又，则函数在区间上有唯一的零点；当时，当时，单调递减，又，则函数在区间上有唯一的零点；当时，单调递增，则当时，在上没有零点，符合题意，即，解得：，当时，在上没有零点，此时函数在区间上有唯一的零点；所以实数的取值范围是.15 21.（2020福建省福州第一中学开学考试）已知函数.（1）若，证明：当时，；（2）若是的极大值点，求正实数a的取值范围.【详解】（1）由题知，令，则，若，当时，所以在上单调递增，所以，所以在上单调递增；所以.（2）若，由（1）知：在上单调递增；因此不可能是的极大值点.若，令，
14、因为当时，所以即在上单调递增.又因为，因此存在满足：，所以当时，所以在上单调递减，所以当时，；当时，；所以在上单调递增；在上单调递减；综上，当是的极大值点时，.22. （2020江西二模（理）已知函数.（1）当时，求在处的切线方程；（2）设，若有两个零点，求的取值范围.【详解】解：（1）当时，切线方程为即；（2），.当时，在上单调递增，在上单调递减.，.在上有且只有一个零点.取，使，且，则.即有两个不同的零点.当时，此时只有一个零点.当时，令，得或.当时，恒成立，在上单调递增.当时，即.若或，则；若，则.在和上单调递增，在上单调递减.当时，即.若时，若，则.在和上单调递增，在上单调递减当时，.无零点，不合题意.综上，有两个零点的取值范围是.23.（2020湖南郴州月考）已知函数.（1）若，求的取值范围；（2）证明.【详解】（1），1当时，则在上单调递增，由于，故不成立，2当时，成立，3当时，令，则，则在单调递减，单调递增，于是，即，综上所述.（2）由（1）可知，当时，即，由于待证目标式中含有的形式，用代式的得，结合可得：，时取等号，则，于是.故得证.