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1、专题6三角恒等变换一、单选题1将函数的图象沿轴向左平移个单位后得到函数，若为偶函数，则的最小值为（ ）ABCD【答案】A【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式为一个角的一个三角函数的形式，通过平移求出平移后的函数的解析式，利用偶函数求出的值【详解】函数，将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到函数，因为函数是偶函数，当时，故选：A【点睛】结论点睛：函数是偶函数时，当函数是奇函数时，2已知函数，则（ ）A的最大值为B在区间上只有个零点C的最小正周期为D为图象的一条对称轴【答案】D【分析】运用二倍角的正弦公式、余弦公式和辅助角公式，推得，运用正弦函数的最值和周期公式，可判断AC；由，可判断
2、B；由三角函数对称轴的性质计算可判断D.【详解】函数，可得的最大值为2，最小正周期为，故A、C错误；由可得，即，可知在区间上的零点为，故B错误；由，可知为图象的一条对称轴，故D正确.故选：D【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的恒等变换，化简函数，根据正弦型函数的图象和性质，确定函数的周期，最值，对称轴，考查转化思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题.3若，则（ ）AB0CD或0【答案】B【分析】根据题意，化简得到，所以，取得，再利用三角函数的基本关系式和两角和的正弦函数公式，即可求解.【详解】由，可得，即，因为，所以，所以，解得，所以，所以，所以，又，所以，所以.【点睛】三角函数的化简求值
3、的规律总结：1、给角求值：一般给出的角是非特殊角，要观察所给角与特殊角的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题；2、给值求值：即给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系；3、给值求角：实质上可转化为“给值求值”即通过求角的某个三角函数值来求角（注意角的范围）.4已知函数在上恰有5个不同的零点，则实数的范围是（ ）ABCD【答案】C【分析】先根据二倍角三角函数公式化简解析式，再把问题转化为在内有五个根，借助于正弦函数的性质即可求解【详解】依题意，；令，即，故，而，且，故，要使得函数在上恰有5个零点，则方程在上有5个实数根，故，解
4、得.故选：C【点睛】思路点睛：（1）先根据两角和与差的三角函数个数化简解析式，转化为有解问题；（2）根据角的范围，求出整体角的范围；（3）利用正弦函数的图象判断得出结果.5已知函数，其中，且，若对一切恒成立，则（ ）AB是奇函数CD在区间上有2个极值点【答案】D【分析】令，由已知可得进而可写出对应的三角函数式，根据其性质判断各选项的正误即可.【详解】由题意得：，对一切恒成立，即，可得，不妨设，有；，有，综上，当时，为偶函数，在区间上有2个极值点；当时，为偶函数，在区间上有2个极值点；故选：D【点睛】关键点点睛：对一切恒成立，根据三角函数的性质有，进而可得三角函数式，结合性质判断正误.6向量，则
5、的最大值为（ ）A3B4C5D6【答案】B【分析】先根据向量坐标运算得，进而得，再根据三角函数性质即可得【详解】解：由向量的坐标运算得，所以，由三角函数的性质得，当且仅当时，等号成立.所以.故选：B.【点睛】本题考查向量的坐标运算，三角恒等变换求最值，考查化归转化思想与运算求解能力，是中档题.本题解题的关键是利用向量坐标运算和三角恒等变换将问题转化为，进而根据三角函数问题即可求解.7函数的最大值为（ ）ABCD【答案】A【分析】化简可得，令，则，求出函数导数，利用导数判断函数的单调性即可求出最值.【详解】可得，令，则，则，则，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以当时，.故选：A.【点睛
6、】关键点睛：本题考查函数最值的求解，解题的关键是利用换元法将函数化为，然后利用导数讨论其单调性即可求出最值.8已知函数在处取得最小值，则函数的一个单调递减区间为（ ）ABCD【答案】D【分析】先化简并根据已知条件确定出的一个可取值，然后根据余弦函数的单调递减区间求解出的一个单调递减区间.【详解】因为，且在处有最小值，所以，所以，所以，取的一个值为，所以，令，所以，令，所以此时单调递减区间为，故选：D.【点睛】思路点睛：求解形如的函数的单调递减区间的步骤如下：（1）先令； （2）解上述不等式求解出的取值范围即为的单调递减区间.9已知，在第二象限内，那么的值等于（ ）ABCD以上都不对【答案】A【
7、分析】结合各个象限内三角函数值的符号和同角三角函数关系可求得，利用二倍角公式构造方程，结合终边位置可确定结果.【详解】在第二象限内，由得：，解得：，即，在第二象限内，为第一或第三象限角，.故选：.【点睛】易错点睛：求解三角函数值时，需注意角所处的范围，从而确定所求三角函数值的符号.10设，、，则有（ ）ABCD【答案】B【分析】由两角差的正弦公式，余弦和正正弦的二倍角公式化简，然后由正弦函数的单调性得出结论【详解】，显然，所以故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数值的比较大小，解题方法是首先化简各函数，应用三角函数恒等变换公式化简函数，注意转化为同一个三角函数，并且把角转化到三角函数的同
8、一单调区间上，然后由三角函数的单调性得大小关系11已知定义域为的函数，若对任意的、，都有，则称函数为“定义域上的函数”，给出以下五个函数：，；，；，；，；，其中是“定义域上的函数”的有（ ）A个B个C个D个【答案】C【分析】本题首先可以根据题意得出，然后对题目中给出五个函数依次进行研究，得出它们的和并进行比较，即可得出结果.【详解】，即，：因为，所以，易知恒成立，满足；：因为，所以，当时，不满足；：因为，所以，因为，所以，恒成立，满足；：因为，所以，因为，所以，故恒成立，满足；：因为，所以，因为，所以，故恒成立，满足，故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，能否根据题意明确“定义域上
9、的函数”的含义是解决本题的关键，可通过求出函数的和并进行比较来判断函数是否是“定义域上的函数”，考查计算能力，是中档题.12若，则（ ）AB或C或D【答案】B【分析】由二倍角公式得，化简得出或，再由三角恒等变换得出，再分别讨论，两种情况即可.【详解】由题可得所以，即所以或.又所以当时，.当时，.故选：B【点睛】本题化简时，需分解因式，再分类讨论，不能直接约分，导致漏解.二、填空题13函数的最小正周期为_【答案】【分析】利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式将函数化为 ，利用正弦函数的周期公式可得函数的周期【详解】函数，所以函数的最小正周期是，故答案为：【点睛】由函数可求得函
10、数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.14设，若对任意成立，则下列命题中正确的命题是_.（填序号）；不具有奇偶性；的单调增区间是；可能存在经过点的直线与函数的图象不相交.【答案】【分析】由题可知，直线与函数的图象的一条对称轴，可求得，可化简函数的解析式为.计算出的值，可判断的正误；计算、，可判断的正误；利用特殊值法可判断的正误；取，利用正弦函数的单调性可判断的正误；假设命题正确，求出直线的方程，结合函数的最值可判断的正误.【详解】由题可知，直线与函数的图象的一条对称轴，可得，整理可得，即，.对于命题，正确；对于命题，所以，不正确；对于命题，则且，所以，函数不具有奇偶性，正确；对于
11、命题，当时，则，当时，函数在区间上单调递减，错误；对于命题，假设经过点的直线与函数的图象不相交，则该直线与轴平行，此时该直线的方程为，则，由于，矛盾，错误.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查正弦型函数的单调性、奇偶性、三角函数值的计算，解题的关键就是从分析得出直线与函数的图象的一条对称轴，进而借助辅助角公式化简得出、的倍数关系.15已知，则_.【答案】【分析】本题首先可通过三角恒等变换将转化为，然后代入即可得出结果.【详解】因为，所以，故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查给值求值问题，能否合理利用同角三角函数关系、诱导公式、二倍角公式是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题.16已知
12、，则_.【答案】【分析】由，利用三角函数的基本关系式，求得，再结合正弦、余弦的倍角公式，即可求解.【详解】由，可得，即，解得，又由.故答案为：.【点睛】三角函数的化简求值的规律总结：1、给角求值：一般给出的角是非特殊角，要观察所给角与特殊角的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题；2、给值求值：即给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系；3、给值求角：实质上可转化为“给值求值”即通过求角的某个三角函数值来求角（注意角的范围）.三、解答题17已知，是函数(0)的两个相邻的零点.（1）若对任意，恒成立，求实数m的取值范围；（2）若
13、关于x的方程在上有两个不同的解，求实数n的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）首先利用降幂公式化简函数，再利用周期求，将恒成立问题转化为，转化为求函数的最大值；（2）将方程化简为，若方程有两个不同的解，转化为，与有两个交点，求的取值范围.【详解】（1）.由题意得，的最小正周期，对任意，恒成立，即实数m的取值范围为（2）原方程可化为即，.令，关于x的方程在上有两个不同的解，首先画出的图象，若与有两不同的交点，转化为，与有两个交点，解得，即n的取值范围为.【点睛】方法点睛：根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
14、（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.18已知、为锐角三角形的三个内角，若向量与向量是共线向量.（1）求角；（2）求函数的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由平面向量共线的坐标表示可求得，再结合角为锐角可求得角的值；（2）利用三角恒等变换思想以及三角形的内角和定理化简函数解析式为，求出角的取值范围，可求得的取值范围，结合正弦函数的基本性质可求得结果.【详解】（1），且，所以，即，即，即，所以，为锐角，则，；（2
15、）由三角形的内角和定理可得，所以，为锐角三角形，则，即，解得，所以，当时，函数取得最大值，即.【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略：（1）利用整下定理实现“边化角”；（2）利用余弦定理实现“角化边”.求与三角形内角相关的函数的最值是一种常见的类型，主要是要转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.19已知函数.（1）求单调递增区间；（2）若，且，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用二倍角公式和两角和的正弦公式化简，再根据正弦函数的递增区间可得结果；（2）由得到，由可得，再根据可求得结果.【详解】（1），由，得，则函数单调递增区间为.（2）由得，即，由，可得，则，所以.【点睛】关
16、键点点睛：第（2）问将拆为已知角和特殊角是本题解题关键.20已知向量，且函数（1）求函数在时的值域；（2）设是第一象限角，且，求的值【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由平面向量数量积的坐标运算及三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解；（2）转化条件为，进而可得，再由诱导公式及三角恒等变换化简即可得解.【详解】（1）由题意，由可得，所以，所以在时的值域为；（2），则即，又为第一象限的角，.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是对三角函数图象与性质的熟练掌握及三角恒等变换的灵活运用.21已知函数.（）设，且，求的值；（）将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像. 当时，求满足的
17、实数的集合.【答案】（）或；（）或.【分析】（）化简得，则可得，即可求出；（）由题可得，不等式化为，利用正弦函数的性质即可求解.【详解】解：（）由， 由，得，又， 得或； （）由题知， 由，得， ， ，或 ，或 ，即所求的集合为或.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的性质，解题的关键是根据图象变换得出，将不等式化为，即可根据正弦函数的性质求解.22向量，函数（1）求函数的最小值，并求出取最小值时x的值；（2）先将函数的图像向左平移个单位，再将横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得函数 的图像，求的单减区间【答案】（1），此时，；（2），.【分析】（1）利用向量数量积公式，再利用降幂公式和辅助角公式化简函数，再求函数的最小值及其的值；（2）利用图象变换规律，求函数的解析式，再求函数的单减区间.【详解】（1） ，函数的最小值是-2，当，解得：，；（2）函数向左平移个单位后得到，再将横坐标缩短为原来的后得到函数，令，解得：，所以函数的单调递减区间是，.【点睛】方法点睛：本题考查函数的图象变换，以及的性质，属于中档题型，的横坐标伸长（或缩短）到原来的倍，得到函数的解析式是，若向右（或左）平移（）个单位，得到函数的解析式是或.