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1、专题12排列组合二项式定理一、单选题13个男生与4个女生站在一排照相，要求站在甲乙2个男生之间的女生恰好有2个，并且甲丙两个男生不能相邻，则不同的排法数为（ ）A576B720C864D1008【答案】A【分析】分三种情况讨论，分别将女甲女女乙、甲女丙女乙、甲女女丙乙看成一个整体，分别求出不同的排法个数，再求和即可.【详解】3个男生与4个女生站在一排照相，要求站在甲乙2个男生之间的女生恰好有2个，并且甲丙两个男生不能相邻,不同的情况有：将“女甲女女乙”（甲乙可以互换）看成一个整体：有种排法；将“甲女丙女乙”（甲乙可以互换）看成一个整体：有种排法；将“甲女女丙乙”（甲乙可以互换，丙一直与乙相邻）
2、看成一个整体：有种排法，共有种排法，故选：A.【点睛】本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.2展开式中的常数项为（ ）AB15CD66【答案】C【分析】首先求展开式的通项公式，再乘以后，分析如何生成常数项，求后，代入求展开式的常数项.【详解】展开式的通项公式为，而，故要想产生常数项，则或 ，则所求常数为.故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查二项式定理求指定项，本题的关键是分析如何生成常数项，从而才能计算求解
3、.3若，则（ ）A1B0CD【答案】C【分析】由结合二项式定理可得出，利用二项式系数和公式可求得的值.【详解】，当且时，因此，.故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查二项式系数和的计算，解题的关键是熟悉二项式系数和公式，考查学生的转化能力与计算能力，属于基础题.4将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到A、B、C、D四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到A班，丁不能分配到B班，则共有分配方案的种数为（ ）A10B12C14D24【答案】C【分析】分为甲分配到班和甲不分配到班两种情况来讨论分配方案种数，利用分类加法计数原理计算可得结果.【详解】将分配方案分为甲分配到班和甲不分配到班两种情况：甲分配到
4、班：有种分配方案；甲不分配到班：有种分配方案；由分类加法计数原理可得：共有种分配方案.故选：.【点睛】方法点睛：本题主要考查排列数的应用.常见求法有：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.5将编号为、的个小球全部放入、三个盒子内，若每个盒子不空，且放在同一个盒子内的小球编号不相连，则不同的方法总数有（ ）ABCD【答案】A【分析】将编号为、的个小球，根据小球的个数可分为、或、两组，再分配到个盒子即可求出.【详解】将编号为、的个小球，根据小球的个数可分为、或、两组
5、.当三个盒子中的小球个数分别为、时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，故个小球的编号只能是、的在一个盒子里，故只有一种分组方法，再分配到三个盒子，此时共有种分配方法；当三个盒子中的小球个数分别为、时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，此时放个小球的盒子中小球的编号分别为、或、或、或、或、或、，共种，再分配到三个盒子中，此时，共有种.综上所述，不同的放法种数为种.故选：A.【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列
6、，然后除以有限制元素的全排列数.6的展开式中各项的指数之和再减去各项系数乘以各项指数之和的值为（ ）A0BCD【答案】C【分析】将展开，利用题中信息可求得结果.【详解】，所以，的展开式中各项的指数之和为，展开式中各项系数乘以各项指数之和为，因此，所求结果为.故选：C.【点睛】求解二项展开式中有关项的指数与系数的问题，一般将二项式展开，也可以利用二项式定理来求解.7从这9个数字中，选取4个数字，组成含有1对重复数字的五位数的种数有（ ）A30240B60480C15120D630【答案】A【分析】本题首先可以确定选取4个数字有多少种方式，然后确定取1个数字出现两遍有多少种方式，再然后确定取两个位
7、置放置重复数字有多少种方式，最后将剩下三个数字进行排列，并将得到的数字相乘，即可得出结果.【详解】在这9个数字中选取4个数字，共有种，在4个数字中取1个数字出现两遍，共有种，在五位数中取两个位置放置重复数字，共有种，剩下三个数字共有种排列方式，故共有，故选：A.【点睛】本题考查通过排列组合求满足题意的种数有多少，能否求出每一个条件下有多少种方式是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题.8函数的导函数为，则的展开式中含项的系数为（ ）A20BC60D【答案】D【分析】先求出函数的导函数，然后再根据二项式定理展开式求含项的系数，即可求解【详解】函数导函数为，则的展开式的通项公式为，令，则，此时含项
8、为，再令，则，此时含项为，所以含的项为，故含项的系数为，故选：【点评】本题考查了根据函数解析式求导函数以及利用通项求二项式展开式中的系数问题，注意通项中合并同类项，考查了学生的运算转化能力，属于基础题9在的展开式中，有理项共有（ ）A3项B4项C5项D6项【答案】C【分析】由题意可得二项展开式共有25项，要求展开式中的有理项，只要在通项中，让为整数，求解符合条件的r即可.【详解】由题意可得二项展开式的通项根据题意可得，为整数时，展开式的项为有理项，则r0，6，12，18，24，共有5项，故选：C.【点睛】关键点点睛：该题主要考查了二项展开式的通项，找出符合条件的项是解题的关键10某学校打算从高
9、三（1）班的5位男生中选出一部分(不可以不选)，再从高三（2）班的4位女生中选出一部分(不可以不选)组成多人合唱团，要求男生与女生数量相等，则选择方法有（ ）A30种B96种C120种D125种【答案】D【分析】依题意，分析事件对应的情况，男生女生人数相等且不能为0，分四种情况计算，之后利用分类加法计数原理求得结果.【详解】依题意可以选择1名男生，一名女生，选择方法共有种；可以选择2名男生，2名女生，选择方法共有种；可以选择3名男生，3名女生，选择方法共有种；可以选择4名男生，4名女生，选择方法共有种；由分类加法计数原理可得，选择方法共有种，故选：D.【点睛】方法点睛：解决此类问题的方法：（1
10、）先根据题意，分析事件对应的结果有哪些；（2）利用组合数计算每一类对应的选择方法；（3）利用分类计数原理求得结果.11疫情期间，上海某医院安排5名专家到3个不同的区级医院支援，每名专家只去一个区级医院，每个区级医院至少安排一名专家，则不同的安排方法共有（ ）A60种B90种C150种D240种【答案】C【分析】先分组1，2，2和1,1,3再安排得解【详解】5名专家到3个不同的区级医院，分为1，2，2和1,1,3两种情况；分为1，2，2时安排有;分为1，1，3时安排有 所以一共有故选：C【点睛】本题考查排列组合问题，先分组再安排是解题关键.12将6个数2，0，1，9，20，19将任意次序排成一行
11、，拼成一个8位数（首位不为0），则产生的不同的8位数的个数是（ ）A546B498C516D534【答案】B【分析】根据题意，由排除法分析：先求出将2，0，1，9，20，19的首位不为0的排列数，排除2的后一项是0，且1的后一项是9的排列，2的后一项是0，但1的后一项不是9的排列，1的后一项是9，但2的后一项不是0的排列，分析可得答案【详解】解：将2，0，1，9，20，19的首位不为0的排列的全体记为，记为为的元素全数，则，将中的2的后一项是0，且1的后一项是9的排列的全体记为，中2的后一项是0，但1的后一项不是9的排列的全体记为，中1的后一项是9，但2的后一项不是0的排列的全体记为，则，可得
12、，由B中排列产生的每一个8位数，恰对应B中的个排列（这样的排列中，20可与“2，0”互换，19可与“1，9”互换），类似地，由C或D中排列产生的每个8 位数，恰对应C或D中的2个排列，因此满足条件的8位数的个数为：，故选：B【点睛】方法点睛：此题考查排列组合的应用问题，解决排列组合问题应注意：（1）对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可采用间接法（2）对于相邻问题采用捆绑法，不相邻问题采用插空法二、填空题13函数的定义域和值域都是集合的非空真子集，如果对于内任意的，
13、总有的值是奇数，则满足条件的函数的个数是_；【答案】【分析】化简得因此中至少一个为奇数，再分两种情况讨论得解.【详解】因为所以中至少一个为奇数，定义域为的都可以，有种；定义域为的函数，所以有种；所以共种.故答案为：29【点睛】关键点睛：解答本题有两个关键：其一是分析出中至少一个为奇数，其二是合理分类讨论.14若的展开式中的系数为，则_.【答案】.【分析】由题意，二项式展开式的通项为，结合题意，求得，进而得到关于的方程，即可求解.【详解】求得二项式的展开式的通项为，当，解得，此时，所以，解得.故答案为：.【点睛】求二项展开式的特定项问题，实质时考查通项的特点，一般需要建立方程求得的值，再将的值代
14、入通项求解，同时注意的取值范围（）.15学校田径队有男运动员28人，女运动员21人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取7人组建集训队进行训练，一段时间后，再从集训队中抽取3人代表学校参加比赛，则这3人中男、女运动员都有的选法种数为_（用数字作答）.【答案】30；【分析】根据题意，先由分层抽样方法计算抽取的7人中男、女运动员的人数，再利用组合数公式计算从7人中抽取3人代表学校参加比赛的情况数目，从中排除只有男运动员和只有女运动员的情况数目，即可得答案【详解】根据题意，学校田径队有男运动员28人，女运动员21人，共人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取7人，则应抽取男运动员人，女运动员人，再从7人
15、中抽取3人代表学校参加比赛，有种，其中只有男运动员的有种，只有女运动员则有种，则这3人中男、女运动员都有的选法有种；故答案为：30【点睛】方法点睛：处理排列组合常用的方法有：一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.16生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻安排的概
16、率为_【答案】【分析】首先求出总数，“数”必须排在前两节，分“数”排在第一位和“数”排第二位进行讨论，求和再利用概率公式即可得解.【详解】由题意知基本事件总数，“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻可以分两类安排： “数”排在第一位，“礼”和“乐”两门课程相邻排课，则礼，乐相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况，剩下的3个全排列，安排在其他三个位置，有种情况，故有种，“数”排第二位，“礼”和“乐”两门课程相邻排课，则礼，乐相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，剩下的3个全排列，安排在其他三个位置，有种情况，则有种情况，由分类加法原理知满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”
17、必须相邻安排共有种情况，所以满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻安排的概率为.故答案为：.【点睛】本题考查了排列组合在求概率中的应用，考查了特殊位置法和分类思想的应用，有一定的计算，属于在中档题.解决排列组合的问题主要有一下几种方法：（1）相邻问题捆绑法；（2）不相邻问题插空法；（3）特殊位置法；（4）平均分组法等方法.三、解答题17已知（是正实数）的展开式的二项式系数之和为128，展开式中含项的系数为84.（1）求，的值；（2）求的展开式中有理项的系数和.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）利用二项式系数的性质求得的值，再利用二项展开式的通项公式求得的值.（2）由二项展开式的
18、通项公式，求得的展开式中有理项的系数和.【详解】解：（1）由题意可知，解得.所以的展开式的通项为，令，得含项的系数为，由题意得，又，所以.综上，.（2）由（1）得的展开式的通项为，所以的展开式中的有理项分别为，所以的展开式中有理项的系数和为.【点睛】结论点睛：在二项式定理中，常用结论有：1、展开式中二项式系数之和为；2、求系数和时，令自变量为1；3、求偶数项系数和或奇数项系数和时，分别令自变量取1和-1，即可求出.18已知在的展开式中，第6项为常数项（1）求；（2）求含的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项【答案】（1）；（2）；（3），.【分析】（1）求出的展开式的通项为，当时，指数为零，
19、可得；（2）将代入通项公式，令指数为，可得含的项的系数；（3）根据通项公式与题意得，求出的值，代入通项公式并化简，可得展开式中所有的有理项【详解】（1）的展开式的通项为，因为第6项为常数项，所以时，有，解得（2）令，得，所以含的项的系数为（3）根据通项公式与题意得，令，则，即，应为偶数又，可取2，0，-2，即可取2，5，8所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为，即，【点睛】关键点点睛：本题考查二项式展开式的应用，考查二项式展开式的通项公式以及某些特定的项，解决本题的关键点是求解展开式的有理项时，令，由以及，求出的值，进而得出的值，代入通项公式化简可得有理项，考查了学生计算能力，属于中档
20、题19（1）有2个人在一座7层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，求2个人在不同层离开的概率（2）柜子里有3双不同的鞋，随机地取出2只，求事件“取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但他们不成对”的概率【答案】（1）；（2）【分析】（1）由题意知本题是一个等可能事件，求出试验发生包含的事件有36种结果，两个人在同一层下有6种结果，利用对立事件得解.（2）先选出左脚的一只有种选法，然后从剩下的右脚中选出一只有种选法，一共有种不同的取法，利用古典概型得解.【详解】（1）试验发生包含的事件是两个人各有6种不同的方法，共有36种结果，两个人在同一层下有6种结果，两个人
21、在同一层离开电梯的概率是2个人在不同层离开的概率（2）可以先选出左脚的一只有种选法，然后从剩下的右脚中选出一只有种选法，所以一共有种不同的取法，所以事件“取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但他们不成对”的概率【点睛】古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等20（1）现有5架战机依次着辽宁舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有多少种？（列简式，算出结果）（2）若甲乙两人从门课程中各选修门，则甲乙所选的课程中恰有2门相同的选法有多少种？
22、（列简式，算出结果）【答案】（1）24；（2）180.【分析】（1）甲、乙两机必须相邻,把甲、乙看作一个整体和戊全排列，而丙、丁两机不能相邻，把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位中按分步相乘原理可得结果；（2）从门选2门，再从余下的4门课程，选2门分别给甲乙，按分步相乘原理可得答案.【详解】（1）甲、乙两机必须相邻,把甲、乙看作一个整体和戊全排列，共有种方法，而丙、丁两机不能相邻，把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位中，有种方法，再按分步相乘原理可得共有种方法；（2）甲乙所选的课程有2门相同，从门选2门，有种选法，再从余下的4门课程，选2门分别给甲乙，有种选法，按分步相
23、乘原理可得共有种选法.【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.21新冠疫情期间，某市欲派甲、乙、丙三位医生去湖北省的A、B、C、D、E五个市支援，三位医生可去相同的市，也可去不同的市.（1）求甲不去A市、乙不去B市的派遣方法数；（2）设派到各市的医生人数最多为X，求X的分布列及期望.【答案】（1）80（2）分布列见解析，期望为【分析】（1）基本事件总数其中，甲去市的方法有：，乙去市的方法有：
24、，甲去市且乙去市的方法有5种，由此能求出甲不去市、乙不去市的派遣方法数（2）设派到各市的医生人数最多为，则的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和【详解】（1）派甲、乙、丙三位医生去湖北省的、五个市支援，三位医生可去相同的市，也可去不同的市基本事件总数其中，甲去市的方法有：，乙去市的方法有：，甲去市且乙去市的方法有5种甲不去市、乙不去市的派遣方法数为：（2）设派到各市的医生人数最多为，则的可能取值为1，2，3，的分布列为：123【点睛】本题考查排列组合的应用，考查离散型随机变量的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题22由数字1，2，3，4，
25、5组成无重复数字的五位数.（1）共可以组成多少个五位数？（2）其中奇数有多少个？（3）如果将所有的五位数按从小到大的顺序排列，43125是第几个数？说明理由.【答案】(1) 120 (2) 72 (3) 85【分析】（1）利用全排列，可得结论；（2）由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位奇数，第五位是有限制条件的元素，第五个数字必须从1、3、5中选出，其余四个位置可以用四个元素在四个位置进行全排列；（3）根据题意，先有排列数公式求出用1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数的个数，再分4种情况讨论分析大于43125的数个数，由间接法分析可得答案【详解】解：（1）由数字1，2，3，
26、4，5组成无重复数字的五位数，共可以组成A55120个五位数（2）由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数的奇数，第五个数字必须从1、3、5中选出，共有C31种结果，其余四个位置可以用四个元素在四个位置进行全排列，共有A44种结果，根据分步计数原理得到共有C31A4472；（3）根据题意，用1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，有A55120种情况，即一共有120个五位数，再考虑大于43125的数，分为以下四类讨论：1、5在首位，将其他4个数字全排列即可，有A4424个，2、4在首位，5在千位，将其他3个数字全排列即可，有A336个，3、4在首位，3在千位，5在百位，将其他2个数字全排列即可，有A222个，4、43215，43251，43152，共3个故不大于43125的五位数有120（24+6+2+3）85个，即43125是第85项【点睛】本题考查排列组合，简单计数原理，解排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素属于中档题.