微积分史之伯努利兄弟-终版.pdf

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1、微积分史 The History of Calculus 第三讲伯努利兄弟 伯努利兄弟 伯努利家族 内容提要 伯努利兄弟生平 伯努利兄弟重要贡献概览 伯努利兄弟与无穷级数 伯努利兄弟与微分方程 伯努利兄弟与变分法 雅各布与概率论 约翰的积分法 逸闻趣事 结语 家族简介 家族简介 伯努利家族 (Bernoulli family), 又译作贝努利家族, 是1718 世纪瑞士的一个出过多个数理科学家的著名家族, 原籍比利 时安特卫普. 1583年遭天主教迫害迁往德国法兰克福, 最后 定居瑞士巴塞尔. 其中以雅各布I 伯努利 (Jakob Bernoulli, 也叫詹姆斯 伯努利 (James Ber

2、noulli), 约翰I 伯努利 (Johann Bernoulli, 也叫让 伯努利 (Jean Bernoulli), 丹尼尔 I 伯努利 (Daniel Bernoulli) 这三个人的成就最大. 家族简介 伯努利家族最大的成就是推广和传播莱布尼茨 (Leibniz) 的微积 分. 其中伯努利兄弟 (雅各布I和约翰I) 都是莱布尼茨的学生, 最 早认识到微积分的巨大威力, 并成为莱布尼茨的忠实拥护者. 约 翰I堪称 “牛顿 (Newton) 和莱布尼茨关于微积分优先权之争” 的 斗牛犬, 他极力为莱布尼茨辩护, 并猛烈批评甚至嘲笑英国人. 雅各布I还在概率论研究上做出了巨大贡献, “伯努

3、利大数定律” 对现代统计学科产生深远影响. 丹尼尔I的研究领域极为广泛, 他最出色的工作是将微积分、微 分方程等数学方法应用到物理学, 研究流体问题、物体振动和 摆动问题等, 被推崇为数学物理方法的奠基人和流体力学之父. 伯努利家族还培养了一大批著名的学者, 如法国数学家洛必达 (LHospital), 瑞士数学家克莱姆 (Cramer) 以及18世纪最伟大的 瑞士数学家欧拉 (Euler) 等. 伯努利家族族谱伯努利家族族谱 尼古拉斯 I (Nicolaus, 16231708) 雅各布 I Jakob, 数学家 (16541705) 尼古拉斯 II Nicolaus (16621716)

4、约翰 I Johann, 数学家 (16671748) 丹尼尔 II Daniel (17511834) 雅各布 II Nicolaus, 数学家 (17591789) 约翰 III Johann, 数学家 (17441807) 丹尼尔 I Daniel 数学家、力学家 (17001782) 尼古拉斯 III Nicolaus 数学家 (16871759) 约翰 II Johann 数学家 (17101790) 尼古拉斯 IV Nicolaus 数学家 (16951726) 雅各布 . 伯努利 (Jakob Bernoulli) 16541705, 瑞士数学家 约翰 . 伯努利 (Johann

5、 Bernoulli) 16671748, 瑞士数学家 伯努利兄弟 伯努利兄弟生平 雅各布的成长经历 雅各布于1654年12月27日生于瑞士巴塞尔, 1705年8月16 日卒于同地. 他出身于一个商人世家, 青年时是一名牧师. 1671年, 雅各布毕业于巴塞尔大学, 获艺术硕士学位. (这里 的艺术指 “自由艺术”, 包括算术、几何学、天文学、数理 音乐和文法、修辞、雄辩术共7大门类). 后来雅各布遵照父 亲意愿, 于1676年取得神学硕士学位. 雅各布曾自学笛卡尔的几何学和沃利斯的无穷小算 术等经典著作, 之后对数学产生了浓厚的兴趣. 他对莱布 尼茨的微积分有巨大的兴趣, 就违背了父亲要他献

6、身神学的 意愿, 转而投身数学. 他对数学几乎是无师自通的. 他的座 右铭是: 我违背父亲的意愿, 但我功成名就. 雅各布的工作经历 1676年, 雅各布到日内瓦做家庭教师, 从1677年起, 他开始 在那里写内容丰富的沉思录. 雅各布于1678年和1681年两次遍游欧洲学习旅行, 结识了 莱布尼茨、惠更斯等著名科学家, 他从此与莱布尼茨一直保 持通讯联系, 互相探讨微积分的有关问题. 1682年, 雅各布回到巴塞尔, 讲授力学. 1687年, 雅各布开始担任巴塞尔大学数学教授, 讲授实验 物理和数学, 直至逝世. 1699年, 雅各布当选为巴黎科学院外籍院士; 1701年, 被 柏林科学协会

7、 (后为柏林科学院) 接纳为会员. 伯努利兄弟生平 约翰的成长经历 约翰于1667年8月6日生于瑞士巴塞尔, 1748年1月1日卒于 同地. 约翰青年时被父亲送去学经商, 后改学医学 约翰于1683年进入巴塞尔大学学习, 1685年获得艺术硕士 学位; 接着他攻1690年获医学硕士学位, 1694年获得医学博 士学位, 其博士论文是关于肌肉的收缩问题. 约翰发现他骨子里的兴趣是数学, 在其哥哥雅各布的熏陶和 指导下在数学上崭露头角. 1691年, 约翰去巴黎留学, 在巴黎 期间他会见了洛必达, 并于16911692年间为其讲授微积 分 伯努利兄弟生平 1693年, 约翰开始与莱布尼茨等通信联系

8、, 信中就一些数学 问题交换意见. 他与莱布尼茨一人就交换了275封极为有趣 的长信, 又与其他一百多位学者写了2500封书信, 这些极大 丰富了微积分学. 1695年, 28岁的约翰取得了他的第一个学术职位-荷兰格 罗宁根大学数学教授; 1699年, 当选为巴黎科学院外籍院士; 1701年, 被柏林科学协会 (后为柏林科学院) 接纳为会员; 1705年, 约翰接替雅各布接任巴塞尔大学数学教授, 讲授 实验物理和数学; 1712、1724和1725年, 约翰分别当选为 英国皇家学会、意大利波伦亚科学院和彼得堡科学院的外 籍院士. 约翰的工作经历 伯努利兄弟生平 伯努利兄弟作为伯努利家族中重要的

9、两个成员, 在数学方面 取得了许多重大成果. 伯努利兄弟重要贡献概览 雅各布不仅在微积分的发展中作出了很多贡献, 而且还 指明了应当怎样把这一技术运用到应用数学的广阔领 域中去, 他提出的伯努利大数定律也使他名垂青史. 雅各布还首先命名了积分符号(1690年) , 莱布尼茨听了他 的建议把积分微分并列, 为宣传普及微积分做出巨大贡献. 1694年, 雅各布首次给出极坐标下的曲率半径 公式, 这也是系统地使用极坐标的开始. 这一年, 雅各布还还研究了伯努利双纽线. 雅各布还对对数螺线情有独钟, 要求后人在其 墓碑上刻对数螺线. 约翰首先使用“变量”这个词, 并且使函数概念公式化. 1698年,

10、约翰从解析的角度提出了函数的概念：由变量x 和常数所构成的式子叫做 x 的函数, 记作X 或. 1718年, 他又改用 (x) 表示 x 的函数. 约翰引入了超越函数, 包括三角函数、对数函数、指数函 数、变量的无理数次幂函数及某些用积分表达的函数, 指 出对数函数是指数函数的反函数 1715年, 约翰提出了三维空间直角坐标系，并指出可以 用以三个坐标变量为元的三元方程表示空间曲面. 约翰在微积分方面取得的成果最多. 他的大量论文涉及到 曲线的求长、曲面的求积、等周问题和微分方程. 指数 运算也是他发明的. 伯努利兄弟重要贡献概览 雅各布和约翰都研究过无穷级数. 像在他们之前的牛顿 和莱布尼茨

11、以及许多后来的数学家一样, 他们也认为无 穷级数是进入分析学的必由之路. 伯努利兄弟与无穷级数 雅各布于1689年所写的专题论文论无穷级数及其有 限和是对无穷级数的最高水平的讨论, 被认为是级数 理论方面的第一部教科书. 在这篇论文中, 雅各布给出了调和级数的发散性, 他的证 明是与他的前辈们的证明迥然不同的另一种方法. 他还考 察了一类相似的级数, 例如等比级数、二项式级数、反正 切级数和对数级数, 以及某些以前从未讨论过的级数. 这篇论文也刊载了弟弟约翰对于调和级数的发散性的证 明, 这个证明比雅各布的证明更简洁一些. 雅各布证明调和级数的发散性的目标是要证明: 无穷调 和级数的和超过任意

12、给定的数. 因此, 它的和为无穷大. 定理调和级数发散: 1111 1 234n 雅各布的证明思路: 选择任意正整数N, 雅各布首先试图从调和级数中去除从第 一项开始的相继若干项, 这些项的和大于或等于1. 再从剩下的项中去除等于或大于1的相继若干项, 按这种方式进行下去, 直到N 次把这样的有限项去除, 使整 个调和级数之后减少的值至少为N, 由于N 是任意的正整数, 所以调和级数之和为无穷大. 伯努利兄弟与无穷级数 雅各布很清楚它的重要意义. 他强调：“一个通项趋近0的 无穷级数的和也许是有限的, 也许是无限的.” 约翰证明调和级数的发散性则以下面的莱布尼茨的收敛级 数为基础: 11111

13、 1 26122030 约翰去掉调和级数的第一项, 引入 1111112345 2345626122030 A 约翰设定前述的莱布尼茨收敛级数为C, 然后依次减去1/2, 1/6, 1/12, 1/20, 1/30 等, 伯努利兄弟与无穷级数 . 11111 1 26122030 C 1111111 1 6122030222 DC 1111111 1220306263 ED 111111 2030123124 FE 11111 30204205 GF 将这一方程阵列的最左边一列和最右边一列相加, 约翰发现 A = 1 + A, 即 “整体等于部分”, 伯努利兄弟与无穷级数 约翰的证明其实有不严

14、谨的地方, 就是约翰将作为 “ 整体 ” 的 无穷级数视为独立个体随意处置 (忽略了它的敛散性). 今天的数学家会采用如下更为严谨的证明方法 (比较接近雅各 布的证明思想)：首先任意选定正整数N (不论其数值多大), 并 证明该级数必定大于N. 由N的任意性, 得出这个级数一定趋向 无穷大. 但没有任何有限数会等于比自己大的数, 因此约翰认为这只能 说明1 + A 是无穷大, 而1 + A 正是调和级数的和. 必须承认, 在约翰作出这一论证之后150年, 真正严谨的级数 理论才出现. 因此, 我们或许可以不致过分批评约翰的证明. 而且约翰的证明包含了一种独特的思维. 调和级数之所以被关注, 是

15、因为它的不良特性 - 发散性. 调 和级数的讨论引起了学者们对发散级数的兴趣和对无穷级 数敛散性的关注. 受到同样关注的是具有有限和这种良好特性的无穷级数 (即现代意义下的收敛级数). 雅各布从等比数列开始并巧 妙地对其变形, 计算了一些非同一般的级数的精确值. 这 就是下一部分我们要讲述的雅各布和他的垛积级数. “垛积数”是同某些几何形体 (如三角形、棱锥体和立方体) 相关的整数家族. 伯努利兄弟与无穷级数 棱锥体数 1, 4, 10, 20, , 是以三角形为底的棱锥垛中 弹丸的数量. 第 k 个棱锥体数是 正方形数1, 4, 9, 16, 25, 例如: 三角形数 1, 3, 6, 10

16、, 15, , 第 k 个为 1(1) 12. 22 kk k k 2(1)(2) . 63 kk kk 立方体数1, 8, 27, 64, 都是垛积数. 其中a, b, c, d, 是一组垛积数, A, B, C, D, 是等比数列. 雅各布希望求出无穷级数的精确和, abcd ABCD 伯努利兄弟与无穷级数 雅各布采用由简单到复杂的解决方式, 通过证明下面的一 系列定理, 并代入特殊值求解出了很多的垛积级数的值. 定理N (分子为自然数) 如果 d 1, 那么 2 232 1234 . (1) d bbdbdbdb d 定理T (分子为三角形数) 如果 d 1, 那么 3 2343 136

17、1015 . (1) d bbdbdbdbdb d 定理P (分子为棱锥体数) 如果 d 1, 那么 4 2344 14102035 . (1) d bbdbdbdbdb d 伯努利兄弟与无穷级数 定理C (分子为立方体数) 如果 d 1, 那么 22 2344 182764125(41) . (1) ddd bbdbdbdbdb d 在定理N和定理T中分别令 b = 1, d = 7 和 b = 2, d = 4 得到 23449 1, 74934336 在定理P和定理T中分别令 b = 5, d = 5和 b = 2, d = 2 得到 136101532 , 283212851227 1

18、 2 31410125 , 5525125256 k k k 3 1 182764 26. 224816 k k k 伯努利兄弟与无穷级数 常微分方程是伴随着微积分一起发展起来的. 牛顿和莱 布尼茨的著作中都处理过与常微分有关的问题. 从17 世纪末开始, 摆的运动、弹性理论以及天体力学等实际 问题的研究引出了一系列常微分方程, 这些问题当时往 往以挑战的形式被提出而在数学家之间引起热烈讨论. 1659年, 荷兰著名数学家、物理学家克里斯蒂安 惠更斯 (Christiaan Huygens)提出等时线问题, 即沿着曲线，物 体在重力作用下, 从曲线的任一点开始下降，都会花同样 的时间到达曲线的

19、底部. 惠更斯用几何方法显示这样的 曲线是一条摆线. 伯努利兄弟与微分方程 1690年, 雅各布在微积分的基础上, 在博学学报上发表 他对等时问题的分析, 通过对下降速度不变的曲线建立微分 方程, 他解决了这个问题, 并展示这种曲线是摆线. 3 3 d . d ya x bya 雅各布在等时线论文中同时提出著名的悬链线问题 (向他 的弟弟约翰挑战): 一根柔软而不能伸长的绳子自由悬挂于 两固定点, 求这绳所形成的曲线. d , d ys xc 伯努利兄弟与微分方程 1691年, 莱布尼茨、惠更斯和雅各 布的弟弟约翰均发表了自己的解答. 其中, 约翰通过建立悬链线方程: 雅各布还证明了一个绳子若

20、两头悬挂, 他所能采取的形状中, 以悬链线的重心最低. 这对大跨度的桥梁的拱轴线采用悬链 线起了指导作用. d ( )( ). d n y P x yQ x y x 1695年, 雅各布提出著名的伯努利微分方程, 还用变量分离 法解出了这种方程: 约翰指出经代换 z = y1n后上述方程可化为线性方程. 他还 研究了齐次微分方程与常系数方程的解法. 伯努利兄弟与微分方程 解出了曲线为 y = c cosh(x/c) . 而雅各布则进一步研究了这个 问题的一些变化形式, 如绳子厚度和重量不均匀的情况. 1696年, 约翰为了向哥哥雅各布挑战, 甚至向牛顿挑战, 他 以公信的方式, 向全欧数学家提

21、出了著名的最速降线问题: 两点不在一垂直线上, 一曲线连接此两点,一物体在自身重 力作用下, 从较高的一点下降到较低的一点, 沿着某条曲线 时速最快, 求此曲线.期限是1696年最后一天. 伯努利兄弟与变分法 约翰发出挑战后的半年里, 他收到的唯一一份答案来自 教师学报的主编, 他的老师莱布尼茨 (Leibniz), 在莱 布尼茨的要求下, 他将接受答案的最后期限推迟到 1697 年的复活节, 以便有更多的数学家能参与到这场挑战中来. 莱布尼茨、牛顿、洛必达都用他们擅长的微积分来解决这个问 题. 约翰的解法应该是最漂亮的解法, 利用了费马的最短时光 原理, 将小球的运动类比成光线的运动. 雅各

22、布的解法虽然复 杂, 但更具有一般性, 体现了变分的思想. 作为还击, 雅各布在最速降线论文的最后, 列出可以用他的方 法解决三种其他问题, 第三种是等周问题: 在给定周长的所有封 闭曲线中求一条曲线, 使得它所围的面积最大. 还悬赏50杜卡特 伯努利兄弟与变分法 1697 年的复活节很快就到了, 约翰一共收到了五份正确答案. 这五份答案分别来自约翰自己, 他的老师莱布尼茨, 他的哥哥 雅各布, 他的学生洛必达, 还有一位来自英国的匿名数学家. 最 后这份答案虽然没有署名, 但显然出自赫赫有名的牛顿 (Newton) 之手. 虽然五人的解法各不相同, 但他们的答案全都 一样 - 最速降线就是摆

23、线 (等时线). 1697年, 约翰提出了一个解法, 他没有考虑到等周问题的变 更形式, 因此只提供了一个不完整的解法, 所得的微分方程 少了一阶. 该解法受到雅各布的批评. 1701年2月, 约翰给出 了该问题的更详细的分析. 1701年5月, 雅各布将其解法寄给博学学报. 后人将其 解法跟约翰的解法对比, 清楚地表明雅各布的解法更胜一筹. 1718年, 约翰继续研究等周问题, 他沿着雅各布的思路, 改进 了解法, 在科学院论文集中发表论文给出了一个精确的、 形式上漂亮的解法. 这篇论文包含了关于变分法的现代方法 的核心, 提出了变分法的一些概念, 奠定了变分法的基础 伯努利兄弟与变分法 E

24、. A. 费尔曼 (E. A. Fellman) 和 J. Q. 弗莱肯斯坦 (J. Q. Fleckenstain) 在科学传记辞典中写道: “这是两兄弟疏远 并公开不合的开始, 也是变分法的诞生之时.” 雅各布对数学最重大的贡献在概率论研究方面, 他从 1685年起发表关于赌博游戏中输赢次数问题的论文, 后 来写成巨著猜度术, 其中包括现今称为“大数定律” (即当试验次数无限增大时, 事件出现的频率稳定于其出 现的概率) 的发现和证明. 由于 “ 大数定律 ” 的极端重要性, 1913年12月彼得堡科学院 曾举行庆祝大会, 纪念 “ 大数定律 ” 诞生200周年. 1994年第22届国际数

25、学家大会在瑞 士的苏黎世召开, 瑞士邮政发行的 纪念邮票的邮票图案是雅各布 伯努 利的头像, 及大数定律的几何示意图. 雅各布与概率论 1699年, 约翰在教师学报上给出了用变量替换计算 如下积分： 2 22 a dx ax 他提出可以通过变换 22 22 , bt xa bt dt t 将上述积分转换为形式的积分. 1702年, 约翰注意到 2 22 11 , 2 aa axaxax 从而上边的积分可立即求出. 这种方法就是把一个分式分 解为部分分式的方法. 约翰的积分法 把有理函数 p(x)/q(x) (其中 p(x)和q(x)都是x的多项式) 化为部分分式的积分是约翰的重大贡献. 在约翰

26、给莱布尼茨的信中, 就曾用部分分式法来求积分 但是由于 ax2+ bx + c 的一次因子可能是复数, 这就导致了 约翰、莱布尼茨及欧拉之间关于复数的对数和负数的对数 的争论, 这种争论推动了复变函数的发展和欧拉公式的建立. 2 dx axbxc 1742年, 约翰出版了他的著作积分学教程, 在这本 书中约翰汇集了他在微积分方面的研究成果, 他不仅给 出了各种不同的积分方法的例子, 还给出了曲面的求积, 曲线的求长和不同类型的微分方程的解法, 使微积分更 加系统化 约翰的积分法 指数微积分也常常归于约翰的名下. 约翰不仅研究指数 曲线 y = ax, 他还研究像 y = xx 这样的一般指数曲

27、线. 1 1 234 0 1 111( 1) 1. 234 k x k k x dx k 对y = xx 从 x = 0 到 x = 1 那段下的面积, 即 0 1 d 的值, 约翰通过将它表示成指数形式 xx= exlnx, 并进行级数展开, 223344 lnlnln 1ln, 2!3!4! x xxxxxx xxx 使用分部积分法, 采用递归的方法得到了 (ln)d 的 一个积分表, 然后逐项求积分, 得到最终的面积结果: 约翰的积分法 逸闻趣事 雅各布的墓志铭 最为人们津津乐道的轶事之一, 是雅各布痴心于研究对数螺 线, 他发现, 对数螺线经过各种变换后仍然是对数螺线: 如它 的渐屈线

28、和渐伸线是对数螺线, 自极点至切线的垂足的轨迹, 以极点为发光点经对数螺线反射后得到的反射线, 以及与所 有这些反射线相切的曲线(回光线)都是对数螺线. 他惊叹这 种曲线的神奇, 竟在遗嘱里要求后人将对数螺线刻在自己的 墓碑上, 并附以颂词 “纵然变化，依然故我”, 用以象征死后 永生不朽. 逸闻趣事 1691年, 约翰去巴黎留学, 在巴黎期间, 约翰认识了法 国侯爵洛必达. 洛必达出生于法国贵族家庭, 家境优渥, 自幼酷爱数学, 并展现出了过人天赋. 在约翰留学巴黎期间, 洛必达花重金聘请约翰做他的私 人老师, 薪酬是约翰当时工资的两倍. 当约翰离开巴黎 回到瑞士以后, 他还继续通过通信方式

29、请约翰给他辅导. 后来, 洛必达给约翰写了一封信, 信中说： 很清楚, 我 们互相都有对方所需要的东西, 我能在财力上帮助你, 你能在的才智上帮助我. 因此我提议我们做如下交易. 约翰与洛必达法则 逸闻趣事 我今年给你三百个里弗尔 (注: 一里弗尔相当于一磅银 子) , 并且外加两百个里弗尔作为以前你给我寄的资料的 报答. 这个数量以后还会增加. 作为回报, 我要求你从现在起定期抽出时间来研究一些 固定问题, 并把一切新发现先告诉我, 我可以按照我的意 愿使用你的新发现. 而后, 洛必达细心地研究约翰的成果, 并把它们整理起来. 一年后, 洛必达出了一本书, 题目叫无穷小量分析(就 是现在的微

30、积分), 其内容大多是约翰的杰作, 包括现世知 名的洛必达法则. 他还用了一些莱布尼茨的结果. 约翰与洛必达法则 逸闻趣事 洛必达很聪明地在书的前言中写到: 我书中的许多结果 都得益于约翰 伯努利和莱布尼茨, 如果他们要来认领这 本书里的任何一个结果, 我都悉听尊便. 约翰拿了洛必达的钱当然不好意思再出来认领这些定 理, 眼睁睁看着自已的结果被别人用却因与人有约在先 而说不出来. 洛必达花钱买了个青史留名. 1704年, 洛必达英年早逝, 年仅43岁. 在他去世后, 约翰 发声: “我才是洛必达法则的真正创立者, 只是当年洛 必达给了不菲的报酬我才卖给了他, 这个法则应该更名 为 伯努利法则

31、!” 但遭到了人们的质疑, 人们也不再理 会他. 约翰与洛必达法则 雅各布和约翰兄弟都成功而忙碌, 且不间断的与莱布尼 茨及其他数学家保持着交流, 他们兄弟之间也保持沟通. 他们都是首先认识到微积分的重要性, 将其投入运用, 并 向世界宣传它的意义的数学家. 但也抓住一切机会互相 挑战、争论、诽谤. 数学史家霍夫曼(Hofmann)声称, 雅各布任性、顽固、 好斗、报复心强、自卑心重, 但对自己的能力深信不疑. 雅各布一直都不能接受这样的事实: 比他年轻得多的弟 弟跟他旗鼓相当, 在某种程度上, 甚至还超过了他. 约翰认为自己智商很高, 却不受父亲重视. 他竭尽所能去 争取名誉, 却总是发现自

32、己活在哥哥的影子中. 结 语 兄弟不合 结 语 为我们带来的启示 伯努利兄弟对学术问题的认真和考究 (互相不服) 伯努利兄弟的勇于质疑、善于思考、敢于创新的精神 启示我们在学术问题中多思考、多交流、多合作 兄弟不合的结果 于是就有了前面讲述的各种挑战, 由于伯努利兄弟在科学 问题上的过于激烈的争论, 致使双方的家庭也被卷入, 以至 于雅各布死后, 他的包含他对概率论重要贡献的猜度术 手稿被他的遗孀和儿子在外藏匿多年, 直到1713年才得以 出版, 几乎使这部经典著作的价值受到损害. 尽管伯努利兄弟的不合也有各自性格的问题, 但他们对于 学术问题的态度仍然值得我们深思和学习. 谢 谢 观 看 T

33、hanks 1.微积分的历程：从牛顿到勒贝格, William Dunham著, 李伯民, 汪军, 张怀勇译, 北 京：人民邮电出版社, 2010. 2.天才引导的历程-数学中的伟大定理, William Dunham著, 李繁荣, 李莉萍译, 北京： 机械工业出版社, 2013. 3.数学史, Carl. B. Boyer著, Uta C. Merzbach 修订, 秦传安译, 北京：中央编译出版 社, 2012. 4.古今数学思想, Morris Kline著, 邓东皋, 张恭庆等译, 上海：上海科学技术出版社, 2014. 5.数学恩仇录-数学家的十大论战, Hal Hellman著,

34、范伟译, 上海：复旦大学出版社, 2009. 6.数学星空中的璀璨群星, 易南轩, 王芝平编著, 北京：科学出版社, 2009. 7.文明之光-图说数学史 , 李文林主编, 山东教育出版社, 2005. 8.大数学家-从阿基米德到陈省身, 陈诗谷, 葛孟曾著, 北京：中国青年出版社, 2012. 9.三次数学危机与数学悖论, 韩雪涛著, 北京：人民邮电出版社, 2016. 10. 数学史概论 (第三版), 李文林, 北京：高等教育出版社, 2010. 11. 微积分的创立者及其先驱 (第3版), 李心灿编, 北京：高等教育出版社, 2007. 12. 数学精英, Bell. E. T. 著, 徐源译, 北京：商务印书馆, 1991. 13. 百度百科 (部分图片来源于百度百科). 参考文献