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1、1,可分离变量的微分方程,小结 思考题 作业,一阶线性微分方程,利用变量代换求解方程,第二节 一阶微分方程,全微分方程,伯努利(Bernoulli)方程,第十二章 微分方程,2,如果一阶微分方程,等式的每一边仅是一个变量的函数与这个,可分离变量的方程,或,可以写成,的形式,易于化为形式,特点,变量的微分之积.,两端积分可得通解.,一、可分离变量的微分方程,3,可分离变量的方程求通解的步骤是:,分离变量,两边积分,其中C为任意常数.,就是方程的通解,分离变量法.,1.,2.,由上式确定的函数,(隐式通解).,这种解方程的方法称为,将上式,4,例 求方程 的通解.,解,分离变量,两端积分,为方程的
2、通解.,隐式通解,5,练习,解,通解为,6,应用问题建立微分方程的方法:,方法大体有两种,第一种方法,常见的物理定律有力学、热学、光学、电学,直接利用物理定律或几何条件列出方程,的定律;,第二种方法,取小元素分析,然后利用物理定律列出,方程(类似于定积分应用中的元素法).,7,解,由题设条件,通解,特解,例,衰变问题.,衰变速度与未衰变原子含量M成,正比,求衰变过程中铀含量 M (t),随时间 t 变化的规律.,衰变规律,衰变速度,8,例,求游船上的传染病人数.,一只游船上有800人,12小时后有3人发病.,故感染者不能被及时隔离.,设传染病的传播速度与受感染的人数及未受感染的人数之积成正比.
3、,一名游客患了某种传染病,由于这种传染病没有早期症状,直升机将在60至72小时,将疫苗运到,试估算疫苗运到时患此传染病的人数.,解,用 y ( t )表示发现首例病人后 t 小时时的感染人,数,表示 t 刻未受感染的人数,由题意,得,其中k 0为比例常数.,可分离变量微分方程,分离变量,初始条件:,9,即,两边积分,得,通解,初始条件,由初始条件,得,再由,便可确定出,所以,10,下面计算,小时时的感染者人数,从上面数字可看出,在72小时疫苗运到时, 感,染的人数将是60小时感染人数的2倍.,病流行时及时采取措施是至关重要的.,可见在传染,11,有高为1米的半球形容器,解,由力学知识 得,水从
4、孔口流出的流量为,流量系数,孔口截面面积,重力加速度,水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.,开始时,容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里,流出,例,小孔横截面积为1平方厘米,(如图).,水从它的底部小孔,12,所求规律为,可分离变量方程,13,练习,2001年北方交大期末考题(8分),推进器停止工作,已知船受水的阻力与船速的平方成正比,(比例系,问经过,多少时间,船的速度减为原速度的一半?,解,由题意,初始条件,即得.,解得,当轮船的前进速度为v0时,数为mk,其中k 0为常数,而m为船的质量).,14,分析,有两种方法,其一，,将所给选项代入关系式直接验算，,(B
5、)正确.,其二，,对积分关系式两边求导化为微分方程,并注,意到由所给关系式在特殊点可确定出微分方程,所应满足的初始条件.,练习,1991年考研数学一, 3分,15,一般,未知函数含于变上限的积分中时,常可,通过对关系式两边求导而化为微分方程再找出,初始条件而解之.,解,可分离变量方程,两边积分,由原关系式,得,得,分离变量,16,二、一阶线性微分方程,一阶线性微分方程的标准形式,上面方程称为,上面方程称为,如,线性的;,非线性的.,齐次的;,非齐次的.,线性,一阶,自由项,17,齐次方程的通解为,1. 线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),(C1为任意常数),18,2. 线
6、性非齐次方程,线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况.,显然线性非齐次方程的解不会是如此,之间应存在某种共性.,设想,非齐次方程,待定函数,线性齐次方程的通解是,但它们,的解是,19,从而C(x)满足方程,20,即,一阶线性非齐次微分方程的通解为,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为,待定函数的方法.,21,非齐次方程的一个特解,对应齐次方程通解,一阶线性方程解的结构,一阶线性方程解的结构及解非齐次方程,的常数变易法对高阶线性方程也适用.,22,解,例,23,解,积分方程,例,如图所示,平行于y 轴的动直线被曲线 y = f (x),阴影部分的面积,一阶非齐次线性方程,即,截下的线段PQ之
7、长数值上等于,求曲线 y = f (x).,24,所求曲线为,25,例,静脉输液问题.,静脉输入葡萄糖是一种重要的医疗技术.,研究这一过程,设G(t)为时刻 t 血液中葡萄糖含量,与此,血液中的葡萄糖还会转化为其他物质或转移,其速率与血液中的葡萄糖含量成正比.,试列出描述这一现象的微分方程,为了,到其他地方,含量.,糖以常数,同时,解,因为血液中的葡萄糖含量的变化率,加速率与减少速率之差,等于增,而增加速率为,减少,速率为,其中,为正的比例常数,所以,需要知道t 时刻中血液中的葡萄糖,且设葡萄,的固定速率输入到血液中,并解之.,常数k,26,即,关于G的一阶线性非齐次方程,由通解公式,得,设G
8、(0)表示最初血液中葡萄糖含量,于是,定出,则可确,27,练习,解初值问题:,解,将方程写为,由初始条件,特解,一阶非齐次线性方程,28,例 解方程,若将方程写成,则它既不是线性方程,又不能分离变量.,若将方程写成,以x为未知函数,即,一阶非齐次线性方程.,分析,y 为自变量的,29,此外, y = 1也是原方程的解.,解,30,参数形式的.,解方程时,通常不计较哪个是自变量哪个是,因变量,视方便而定,关系.,关键在于找到两个变量间的,解可以是显函数,也可以是隐函数,甚至是,31,解,这是典型的一阶线性方程.,分析,由通解公式有,1992年考研数学一, 3分,练习,32,2002年考研数学二,
9、 7分,求微分方程,的一个解,与直线,以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的所围,成的旋转体体积最小.,使得由曲线,解,练习,原方程可化为,则,一阶线性方程,33,形如,的方程,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,需经过变量代换化为线性微分方程.,解法,称为,伯努利(Bernoulli)方程.,事实上,用,除方程的两边,得,雅个布 伯努利 (瑞士) 1654-1705,三、伯努利(Bernoulli)方程,34,即,可见只要作变换,方程就可化为z 的一阶线性方程,令,35,解,例,伯努利方程,作变换,则方程化为,即,它的通解为,故原方程的通解为,36,熟悉求解方法后,也可以不引入新
10、变量,例,解方程,解,这不是线性方程,但若把,y视为自变量,两边除以,n=2的伯努利方程.,也不是伯努利方程.,方程写为:,而直接按上述方法求解.,即,37,即,38,分析,这不是前面的典型类型中的任何一种,可仿照伯努利方程的解法,可化为线性方程,解,则,上式成为,即,线性方程,例,两边, 得,39,从而,于是得,即,40,四、利用变量代换求解方程,下面用变量代换的方法来简化求解微分方程.,如果一阶微分方程可以写成,齐次型方程.,即,得到 u 满足的方程,即,的形式,作变量代换,代入,变量代换在数学的各个方面都是极重要的,极限运算和积分运算中已看到了变换的作用.,则称之为,1. 齐次型方程,4
11、1,可分离变量的方程,分离变量,两边积分,求出通解后,就得到原方程的通解.,42,例 解方程,解,将方程写为,齐次型方程,方程变为,即,积分得,可分离变量方程,43,例,探照灯反射镜的设计.,在xOy平面上有一曲线L,曲线L绕x轴旋转一周,形成一旋转曲面.,假设由O点发出的光线经此旋转,曲面形状的凹镜反射后都与x轴平行(探照灯内的,凹镜就是这样的),求曲线L的方程.,解,如图,设 O点发出的某条,光线经L上一点M (x, y)反射,后是一条与x轴平行的直线MS.,又设过点M的切线AT,与x轴的倾角是,由题意,44,另一方面,是入射角的余角,是反射角的余角,于是由光学中的反射定律,有,从而,但,
12、而,于是得微分方程,即,入射角 = 反射角,齐次型方程,45,为方便求解,视y为自变量,x为未知函数,则,有,代入上式得,由曲线L的对称性,不妨设y 0,上式为,化简得,分离变量,可分离变量的方程,46,两边积分,得,即,由上式可得,即,以,代入上式,得,这就是曲线L的方程,它是以x轴为对称轴,焦点在原点的抛物线.,47,分析,解,令,方程变为,齐次型方程,可分离变量方程,练习,48,两边积分,即,得通解,分离变量,49,解,令,则,代入方程,积分得,分离变量,得,因方程可变形为,得,例 求解,2. 可化为齐次型的方程,50,求解,通解,得 C = 1,故所求特解为,51,为齐次型方程.,(其
13、中h和k是待定的常数),否则为非齐次型方程.,解法,形如,的微分方程,有唯一一组解.,52,有唯一一组解.,得通解代回,未必有解, 上述方法不能用.,中必至少有一个为零.,可分离变量的微分方程.,可分离变量的微分方程.,53,可分离变量.,未必有解, 上述方法不能用.,方程可化为,54,解,代入原方程得,例,是非齐次型方程.,方程组,是齐次型方程.,分离变量法得,方程变为,55,分离变量法得,得原方程的通解,方程变为,即,或,56,求解下列微分方程,例,解题提示,方程中出现,等形式的项时,通常要做相应,的变量代换,57,解,求微分得,代入方程,可分离变量方程,58,解,分离变量法得,所求通解为
14、,可分离变量方程,59,解,代入原式,分离变量法得,所求通解为,另解,一阶线性方程.,可分离变量方程,方程变形为,60,解,原方程,再令,齐次型方程,61,解微分方程,例,解,原方程变形,一阶线性方程,原方程的解,62,例,求解,有的微分方程可以由多元函数全微分的,(是可分离、,解,将方程写成,因为左端是全微分式,所以方程变成,得通解,五、全微分方程,又是齐次方程 ),逆运算解出.,63,1.定义,则,若有全微分形式,如,全微分方程 或恰当方程,是全微分方程.,所以,64,2.解法,应用曲线积分与路径无关.,通解为,(1) 用直接凑全微分的方法.,全微分方程,65,解,是全微分方程.,原方程的
15、通解为,例,通解为,应用曲线积分与路径无关,.,.,.,66,得通解,也可用分组凑全微分的方法解出,这个方程,67,解,是全微分方程,将左端重新组合,原方程的通解为,例,68,定义,如何求方程的积分因子?,积分因子法,则称,为方程的,成为全微分方程.,问题,积分因子.,69,观察法,凭观察凑微分得到,常见的全微分表达式,70,可选用积分因子,71,例 求方程,解,不是全微分方程.,将方程两端重新组合,有,用简单的观察法看出积分因子为,于是, 原方程,72,解,将方程两端重新组合,例 求方程,不是全微分方程.,有,即为积分因子.,即,则,易知,73,原方程的通解为,74,解,整理得,例,一阶线性
16、方程,法一,法二,整理得,75,用曲线积分法,凑微分法,A.,B.,原方程的通解为,76,不定积分法,原方程的通解为,C.,77,可分离变量的微分方程,分离变量,两端积分,一阶线性微分方程,六、小结,解法:,隐式(或显式)通解,78,伯努利微分方程,全微分方程,解法:,1. 用曲线积分法,2. 凑微分法,3. 不定积分法,全微分方程,积分因子法,齐次方程,79,一阶微分方程的解题程序,(1) 审视方程, 判断方程类型;,(2) 根据不同类型, 确定解题方案;,(3) 若方程的求解最终化为分离变量型的,则作适当变换;,若最终化为全微分型的,则找出适当的积分因子;,(4) 做变量替换后得出的解, 最后一定要,还原为原变量.,80,思考题,1988年考研数学一, 3分,A. 有极大值,B. 有极小值,C. 某邻域内单调增加,D. 某邻域内单调减少,81,作业,习题12-2(269页),1.(6)(8) 2.(1)(3)(5) 6.,习题12-4(281页),1.(2)(5)(8)(10) 2.(3)(5) 3. 7. 9.,习题12-3(276页),1.(3)(6) 2.(2) 3.,习题12-5(285页),1.(4)(8) 2.(3) 3.(1) 4.,