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1、第三节第三节 一阶线性微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:称为称为一阶线性齐次微分方程一阶线性齐次微分方程.称为称为一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程.例如例如线性的线性的;非线性的非线性的.关于未知函数关于未知函数 y 及及其导数其导数 y 是一次的是一次的.齐次方程的通解为齐次方程的通解为1、齐次线性微分方程、齐次线性微分方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法:(使用分离变量法使用分离变量法)对应齐次方程通解对应齐次方程通解齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程一个特解非齐次方程一个特解用用常数变易法常数变易法:则则故原方程的通解故
2、原方程的通解即即即即作变换作变换两端积分得两端积分得2、解非齐次方程解非齐次方程解解例例1 1解解例例2 2 利用公式求解一阶线性非齐次微分方程应注意利用公式求解一阶线性非齐次微分方程应注意:1.方程应化为标准型方程应化为标准型：正确选择正确选择 P(x)和和 Q(x).2.公式中的不定积分不再加公式中的不定积分不再加C.3.e lnf(x),e lnf(x)等要化简为等要化简为 f(x)或或解解例例3 3例例4 4解解解解例例5 5两边求导得两边求导得解解例例6 6 如图所示，平行于如图所示，平行于 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线求曲线 .所求曲线为所求曲线为小结小结1.齐次线性微分方程齐次线性微分方程2.非齐次线性微分方程非齐次线性微分方程(1)公式公式1 1、判别下列方程类型、判别下列方程类型:提示提示:可分离可分离 变量方程变量方程线性方程线性方程线性方程线性方程思考与练习思考与练习2、求一连续可导函数求一连续可导函数 f(x)使其满足下列方程使其满足下列方程:提示提示:令令则有则有利用公式可求出利用公式可求出3、求微分方程、求微分方程 的通解的通解.解解练练 习习 题题练习题答案练习题答案一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的初值问题初值问题:的解为的解为