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1、1,全微分的定义,可微的条件,小结 思考题 作业,total differentiation,第三节 全 微 分,第八章 多元函数微分法及其应用,2,函数的变化情况.,偏导数讨论的只是某一自变量变化时,函数的变化率.,现在来讨论当各个自变量同时变化时,3,先来介绍,全增量的概念,为了引进全微分的定义,全增量.,域内有定义,函数取得的增量,全增量.,一、全微分的定义,4,全微分的定义,处的,全微分.,可表示为,可微分,在点,则称,称为函数,记作,即,函数若在某平面区域D内处处可微时,则称,可微函数.,这函数在D内的,而不依赖于,5,可微与偏导数存在有何关系呢？,?,微分系数,全微分有类似一元函数
2、微分的,A=? B=?,两个性质:,全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.,的线性函数;,高阶无穷小.,6,1. 可微分的必要条件,由下面的定理来回答：,( 可微必可导).,定理1,(可微必要条件),如果函数,可微分,且函数,的全微分为,二、可微的条件,7,证,总成立,同理可得,上式仍成立,此时,的某个邻域,如果函数,可微分,8,都不能保证函数在该点连续.,多元函数在某点可微是否保证,事实上,显然,答:,由全微分的定义有,可得,多元函数可微必连续,连续的定义,?,不连续的函数,上一节指出,多元函数在某点各个偏导数,即使都存在,函数在该点连续,如果函数,可微分,则函数在该点连续.,一定是不可微
3、的.,9,多元函数的各偏导数存在 全微分存在,如，,下面举例说明,二元函数可微一定存在两个偏导数.,一元函数在某点的导数存在 微分存在,?,但两个偏导数都存在函数也不一定可微.,(由偏导数定义可求得),由定理1知,10,则,说明它不能随着,而趋于0,因此,如果考虑点,沿直线,趋近于,11,说明,这也是一元函数推广到多元函数出现的又,函数是可微分的.,多元函数的各偏导数存在并不能保证,全微分存在.,一个原则区别.,现再假定函数的,则可证明,各个偏导数连续,12,2. 可微分的充分条件,证,在该点的某一邻域内必存在的意思.,定理2,(今后常这样理解).,用拉氏定理,(微分充分条件),假定偏导数在点
4、P(x,y)连续,就含有偏导数,偏导数,13,14,同理,15,在原点(0,0)可微.,并非必要条件.,如,事实上,注,定理2的条件,(即两个偏导数,在点,连续),可微的充分,仅是函数,在点,条件,同样,16,在原点(0,0)可微.,于是,17,即函数f(x,y)在原点(0,0)可微.,但是,事实上,偏导数在原点(0,0)不连续.,所以,特别是,不存在.,即fx(x,y)在原点(0,0)不连续.,极限,函数在一点可微,此题说明:,在这点偏导数不一定连续.,18,记全微分为,通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和,叠加原理也适用于二元以上函数的情况.,一元函数的许多微分性质,(一阶)全微分
5、形式的不变性.,同样有:,习惯上,称为二元函数的微分符合叠加原理,这里仍适用.,如三元函数,则,19,解,例,计算函数,在点,的全微分.,所以,20,解,例,21,答案,练习,22,解,例,试比较,的值.,23,解,例,计算,的近似值.,利用函数,在点,处的可微性,可得,24,2002年考研数学一, 3分,考虑二元函数 f (x, y)的下面4条性质:,选择题, f (x, y)在点(x0 , y0)处连续, f (x, y)在点(x0 , y0)处的两个偏导数连续, f (x, y)在点(x0 , y0)处可微,f (x, y)在点(x0 , y0)处的两个偏导数存在.,若用“”,表示可由性
6、质P推出性质Q,则有,25,上海交大考题(95级),连续.,D,结论不正确的是( ).,都存在,26,上海交大考题(98级),D,27,上海交大考题(93级),上海交大考题(96级),28,上海交大考题(97级),是非题,(非),事实上,29,全微分的定义,全微分的计算,多元函数极限、连续、偏导、可微的关系,(注意：与一元函数有很大的区别),三、小结,可微分的必要条件、,可微分的充分条件,30,对一元函数的极限、连续、可导、可微间的关系：,可微 可导 连续 有极限,对多元函数的极限、连续、可导、可微的关系：,偏导连续 可微 连续 有极限,有偏导,31,思考题1,问,全微分公式,恒成立吗?,答,不一定.,考虑函数,32,某城市的大气污染指数 P 取决于两个因素,即空气中固体废物的数量 x 和空气中有害气体的数量 y .它们之间的关系可表示成,(1) 计算,和,并说明它们的实际,意义.,(2),该城市空气污染的情况怎样?,(3),城市空气污染的,状况是否有所改善.,思考题2,33,作业,习题8-3,(24页),1.(3) (4) 2. 3. 5.,补充,(A) 偏导数不存在;,(B) 不可微;,(C) 偏导数存在且连续;,(D) 可微.,(选择正确答案),