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1、初中数学十字相乘法因式分解要点：一、2()xpq xpq型的因式分解特点是：（1）二次项的系数是1（2）常数项是两个数之积（3）一次项系数是常数的两个因数之和。对这个式子先去括号，得到：pqxqpx)(2)()(22pqqxpxxpqqxpxx)()()(qxpxpxqpxx因此：)()(2qxpxpqxqpx利用此式的结果可以直接将某些二次项系数是1 的二次三项式分解因式。二、一般二次三项式2axbxc的分解因式大家知道，2112212122112()()()a xca xca a xa ca cxc c。反过来，就可得到：2121221121122()()()a a xa ca cxc c
2、a xca xc我们发现，二次项系数a分解成12a a，常数项c分解成12c c，把1212,a ac c写成1122acac，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a ca c，那么2axbxc就可以分解成1122()()a xca xc.这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法。【典型例题】例 1 把下列各式分解因式。（1）232xx（2）672xx分析：（1）232xx的二次项的系数是1，常数项212，一次项系数213，这是一个pqxqpx)(2型式子。（2）672xx的二次项系数是1，常数项)6()1(6，一次项系数7)1()6(，这也是一个pq
3、xqpx)(2型式子，因此可用公式pqxqpx)(2x()(qxp分解以上两式。解：（1）因为212，并且213，所以)2)(1(232xxxx（2）因为)6()1(6，并且)6()1(7，所以)6)(1(672xxxx 例 2 把下列各式因式分解。（1）22xx（2）1522xx分析：（1）xx22 的二次项系数是 1，常数项2)1(2，一次项系数2)1(1，这是一个pqxqpx)(2型式子。（2）1522xx的二次项系数是 1，常数项3)5(15，一次项系数)5(23，这也是一个pqxqpx)(2型式子。以上两题可用)()(2qxpxpqxqpx式子分解。解：（1）因为2)1(2，并且2)
4、1(1，所以)1)(2(22xxxx（2）因为3)5(15，并且3)5(2，所以)3)(5(1522xxxx注意：（1）当常数项是正数时，它分解成两个同号因数，它们和一次项系数的符号相同。（2）当常数项是负数时，它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数和一次项系数的符号相同。例 3 把下列各式因式分解。（1）3722xx（2）5762xx（3）22865yxyx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 4 页 -解：（1）)12)(3(3722xxxx12317)1(1)3(2（2）)53)(12(5762xxxx5312713)5(2（3）)45)(2(86522yxy
5、xyxyxyy4521yyy6)2(5)4(1 例 4 将40)(3)(2yxyx分解因式。分析：可将yx看成是一个字母，即ayx，于是上式可化为4032aa二次项系数是 1，常数5)8(40，一次项系数5)8(3，所以可用)(2qpxx)(qxpxpq式子分解。解：因为5)8(40，并且5)8(3，所以40)(3)(2yxyx)5)(8(5)(8)(yxyxyxyx 例 5 把222265xyxyx分解因式。分析：多项式各项有公因式2x，第一步先提出各项公因式2x，得到：)65(65222222yyxxyxyx，经分析652yy它符合pqyqpy)(2型式子，于是可继续分解。第二步，按pqy
6、qpy)(2型二次三项式分解，得到：)1)(6()65(222yyxyyx解：)1)(6()65(652222222yyxyyxxyxyx 例 6 将xyyx168155分解因式。解：xyyx168155)49)(49()1681(222244yxyxxyyxxy)23)(23)(49(22xyxyyxxy注意：多项式分解因式的一般步骤是：（1）如果多项式各项有公因式，那么先提出公因式。（2）在各项提出公因式后，或各项没有公因式的情况下，可考虑运用公式法，对于四项式多项式可以考虑运用分组分解法。（3）要分解到每个多项式不能再分解为止。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共
7、 4 页 -【模拟试题】一.填空题：1.2832xx（）（）2.22352yxyx)7(yx（）3.22144320yxyx)74(yx（）4.519182xx（）（12x）5.6113522mnnm（）（）6.235116aa（）（）7.652xkx（23x）（）k8.)25)(74(14432yxyxyxym，则m9.)5)(74(43202nxyxmxyx，则m，n10.分解因式16)3(8)3(2242xxxx。二.选择题：1.16102xx分解因式为（）A.)8)(2(xx B.)8)(2(xx C.)8)(2(xxD.)8)(2(xx2.223013yxyx分解为（）A.)10)(
8、3(yxyxB.)2)(15(yxyxC.)3)(10(yxyx D.)2)(15(yxyx3.把352962xx分解因式为（）A.)53)(72(xxB.)52)(73(xxC.)52)(73(xxD.)53)(72(xx4.把22244nmnmx分解因式为（）A.)2)(2(nmxnmxB.)2)(2(nmxnmxC.)2)(2(nmxnmxD.)2)(2(nmxnmx5.在下列二次三项式中，不是pqxqpx)(2型式子的是（）A.20122xxB.10092xx C.14132xxD.5292xx三.解答题：1.将下列各式因式分解。（1）652xx（2）302xx（3）144302xx1
9、）（3）21118xx（4）22526aa（5）2232xxyy2.将下列各式因式分解。（1）171824mm（2）42242073yyxx（3）23145bb（4）223xx（5）2257xx（6）2321aa3.因式分解。（1）24)7(10)7(222xxxx（2）2222224)()(2zyzyxx4.已知028471522yxyx，求yx的值。5.已知0622baba（0a，0b），求baab的值。6.已知0262922baba，求ba32的值。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 4 页 -试题答案一.1.7x；4x 2.yx5 3.yx25 4.59x5.
10、35mn；27mn 6.a72；a53 7.32x；6 8.220 x 9.214y；y2 10.2222)23()2()1(xxxx二.1.A 2.D 3.B 4.B 5.B 三.1.解：（1）)1)(6(652xxxx（2）)5)(6(302xxxx（3）)6)(24(144302xxxx2.解：（1）)1)(17()1718(1718222424mmmmmm)1)(1)(17(2mmm（2）)53)(2)(2()53)(4(20732222224224yxyxyxyxyxyyxx（3）)2)(2)(2()2)(4()82(822222435xxxxxxxxxxxxx3.解：（1）)73)
11、(52()356(356222424nnknnkkknknaaaaaaaaa（2）)54)(12(81)5148(8854722xxxxxx4.解：（1）)27)(127(24)7(10)7(22222xxxxxxxx)27)(4)(3(2xxxx（2）222222222222224)()()()(2zyxzyxzyzyxx5.解：028471522yxyx0)45)(73(yxyxyx37或yx54当yx37时，（1）3737yyyx（2）当54xy时，5454yyyx6.解：0622baba0)2)(3(bababa3ba2当ba3时，31333133bbbbbaab当ba2时，21222122bbbbbaab7.解：0262922baba0)169()12(22bbaa0)13()1(22ba1a31b312)31(31232ba名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 4 页 -