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1、第一章 遇角平分线常用辅助线【添法透析】角相等时，添线段可构造线段相等、三角形全等或相似，常用有如下四大添法：点在平分线，可作垂两边.角边相等，可造全等.平分加平行，可得等腰形 四.平分加垂线，补得等腰现点在平分线，可作垂两边角平分线性质定理：角平分线上点到角两边距离相等.如图，若 OP 是/ AOB 角平分线，PEI OA 可过则可用结论有：(1) PF=PE(2)证得 OPfA OPE(3)证得 OF=OE例 1 .已知如图，在 ABC 中，/ C=90 , AD 平分/ CAB , CD=1.5 , BD=2.5 ,求 AC .邦德点拨：过点 D 作 Dd AB,贝 U DE=CD AE
2、=AC再利用方程思想、勾股定理解AC练习 1:已知如图，P为乙ABC 两外角/ DBC 和/ ECB 平分线的交点，求证:BAC .二.角边相等，可造全等在角的两边取相等线段，可得全等三角形.如图，若 OP 为/ AOB 角平分线，可在 OB 上取 OF=OEE1）证得 OPfA OPEP证得 PF=PM OF=OEOF2.已知如图，AB/CD , BE 平分/ ABC , CE 平分/ BCD，点 E 在 AD 上，求证:BC=AB+CDBC 上截取 BF=BA 问题转化为证 CF=CD邦德点拨2 .已知如图，AD 是 ABC 的内角平分线，P 是 AD 上异于点 A 白 A 任意PB-PC
3、 与 AC-AB 的大小，并说明理由ABP1.过角平分线上一点，作角的一边平行线，可构造得等腰三角形或相似BOP 是/ AOB 平分P 点作 OB 平行线交 OAT如图线BEDFCDAE.C可用结论：证得 EOP 是等腰三角形AD 是/ BAC 平分线C 点作 AB 平行线交直线 AD 于如图O可用结论有证得 CDPA ADBAB BDAC CD2.过角的一边上一点，作角平分线的平行线，可构造得等腰三角形OP 为/ AOB 平分线，过直线 OB 上一点 E,作。梏行线交 OA 于点 F如图1）证得 OEF 是等腰三角形证得 / E=1 / AOB23.已知如图，在 ABC 中（AB AC） ,
4、 D、E& BC 上交 AE 于点 F, DF=AC，求证：AE 平分/ BACC 点作 AB 平行线交 AE 延长线于点 G：邦德点拨ABBCEFPD铲CD 作 DF/BA-BAFB则/ G=/ BAE,接下只需证/ G=/ CAE练习 3.已知如图，过 ABC 的边 BC 的中点 D 作/ BAC 的平分线 AG 的平行线，交 AB、BC 及 CA 的延长线于点 E、D、F.求证：BE=CF .A四.平分加垂线补得等腰现从角的一边上一点作角平分线的垂线，与另一边相交，可得等腰三角形.如图，若 OP 是/ AOB 平分线，EPI OP,则可延长 EP 交 OB 于 FB、,D G可用结论有：
5、(1)证得 OEF 是等腰三角形;(2) P 是 EF 中点.例 4 .如图， ABC 中，过点 A 分别作/ ABC, / ACB 的外角的平分线的垂线 AD、AE , D、E 为垂足.求证：(1)ED/BC ;(2)ED=1 (AB+AC+BC ).2邦德点拨：延长 AD AE 交直线 BC 于 F、G, 可证得 BAF、 CAGZ 等腰三角形.CPF B练习 4.已知如图，等腰Rt ABC 中，/ A=90,AB=AC , BD 平分/ ABC , CE BD,垂足为点 E,求证：BD=2CE .【homework 1 .已知如图，在 ABC 中，BD、CD 分别平分/BC=6，求 DEF 周长.2 .已知如图，四边形 ABCD 中，/ B+ / D=180,BC=CD .求证：AC 平分/ BAD .EFBC3 .已知如图，/ BAD= / CAD , ABAC , CD AD 于点 D, H 是 BC 中点，求证:DH= - (AB-AC)A4 .如图， ABCABC 中，AM 平分 A ,A , BD 垂直于 AM ,交 AM 延长 线于点D , DE II CA 交 AB 于 E.求证：AE=BE .5.已知 CE、AD 是 ABC 的角平分线，/ B=60。，求证：AC=AE+ CD.BEBMC匚BD