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1、收稿日期：2007-；修改稿收到日期：2007-.本课题得到国家自然科学基金（60173041）资助.梁建武,男,1964 年生,高级工程师,研究领域为信号处理,网络安全与认证.E-mail:L.何志斌,男,1982 年生,硕士研究生,主要研究领域为信号处理,网络电话.频域数字坐标准确定位算法研究梁建武1)何志斌2)1)(中南大学信息科学与工程学院,长沙 410075)2)(中南大学信息科学与工程学院,长沙 410075)摘要文章通过快速傅立叶变换(FFT)对原始信号时域转换频域过程及其相互的特性作了深入的研究,并分析了折叠频率、最大分辨频率、采样频率特性及其关系,在此基础上提出了一种对数字坐
2、标采用比例系数来换算频率数字坐标的算法,该算法使得在频域空间能准确任意定位某一频率.方法简单、实用、直观,对滤除或提取某一频率也带来了很大方便.仿真实验表明该方法对信号处理具体的实现提供了简单实用的方案,给当前信号处理的研究提供了一个新的思路.关键词时域;FFT;频域;数字坐标;频率定位中图法分类号Study of Accurate Positioning Algorithm on Frequency Domain Digital Coordinate LIANG Jian-wu 1)HE Zhi-bin 2)1)(College of Information Science and Engi
3、neering,Central South University,Changsha 410075,China)2)(College of Information Science and Engineering,Central South University,Changsha 410075,China)AbstractThe articlestudies on original signal from Time-Domain to Frequency-Domain conversion process and their characteristics through FFT.And anal
4、yses the characteristics and relations of the folding frequency、the greatest distinguish frequency and the sampling frequency.It puts forwarda algorithm through adopting proportional coefficient based on a digital coordinates to figure coordinates frequency conversion.The algorithm makes it accurate
5、 and random to position a frequency in the frequency domain.The method is simple,practical,intuitive,and convenient to filter or extract a certain frequency.The simulation shows that the method of signal processing provides a simple and practical realization of specific programs,which provides a new
6、 way of thinking to the current signal processing.Key wordsTime-Domain;FFT;Frequency-Domain;Digital Coordinate;Frequency Orientation 1 引言人类对自然界的认识和改造过程都离不开对自然界中的信息的获取.所谓信息,是指存在于客观世界的一种事物形象,是关于事物运动规律的知识1.一般泛指消息、情报、指令、数据、信号等有关周围环境的知识.可以说,我们是生活在信息的海洋之中,因此获取信息是人类最基本的活动之一.在我们的周围存在着为数众多的 信号 .这些众多的信号中,有的是含
7、有有用信息的信号,有的只是应当除掉的噪音.所谓 信号处理 ,就是要把记录在某种媒体上的信号进行处理,以便抽取出有用信息的过程,它是对信号进行提取、变换、分析、综合等处理过程的统称2.我们可以用信号的频谱来描述信号.要说明的是,我们通常视信号频谱为信号的一种间接描述,而将其数学描述和波形描述视为是对信号的直接描述.因为频谱与信号有一一对应关系,所以从频谱就可以知道对应信号的特点,而信号特点正是我们在描述信号时所需要表现出来的.因此,说频谱是对信号的描述也是成立的3.人类对信号频谱的分析处理有着悠久的历史.傅立叶变换是信号处理中最重要、应用最广泛的变名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第
8、 1 页，共 6 页 -梁建武等:频域数字坐标准确定位算法研究3 换.傅立叶变换及其反变换建立了信号时域与频域之间变换的桥梁。国内外对傅立叶变换进行了多项研究和开发.美国 New Mexico 大学 asilios Georgitsis等人设计了2-DFFT 程序可处理512*512 个点的图象、麻省理工学院计算机科学实验室超级计算技术组开发的FFTW 可计算一维或多维、实数据和复数据以及任意规模的DFT.FFTW 具有很好的自适应性和很快的运行速度,还包含对共享和分布式存储系统的并行变换.在我国,80 年代初快速傅立叶变换的 并 行 算 法 问 世.主 要 包 括:基 于IMD-MC2、SI
9、MD-BF、SIMD-CC、MIMD-DM 四种体系结构上的 FFT 算法,它们都是基-2FFT 算法,但这些算法各有利弊,受体系结构影响较大.最近也有人提出基于共享存储的多机系统并行计算FFT 算法和基于星型互联网络的并行快速傅立叶变换4等多种并行算法.目前也出现了很多实现快速傅立叶变换的串行算法,如基 2 时间抽取算法和频率抽取算法、混合基FFT 算法、分裂基 FFT 算法(SRFFT)5，6、素因子算法（PFA）7、Winograd 傅立叶变换算法（WFTA）、实序列的FFT、多维 FT 变换8等.由于信号频率的估计定位应用范围极为广泛,故而研究也较为普遍.例如:利用有限元刚度矩阵和质量
10、矩阵的参数分解的模型来估计直升机涵道尾桨的固有频率9;通过一个改进锁相环系统实时跟踪输入信号的基波瞬时相位,输出基波瞬时角频率,进而得到输入信号的基本频率估计10;根据超声无损检测中缺陷和噪声反射回波的瞬时频率的差别,利用超声信号瞬时频率在一移动窗内熵的信息,估计缺陷的时频位置11;采用自适应信号子空间分解的参数自适应时频分布(PAD),以及基于PAD 峰值检测的瞬时频率估计方法12等等.但各种方法或者计算复杂或者以增加硬件如乘法器、积分器、相移器、减法器为代价.使用起来成本增加.本文通过比例系数获取时、频数字坐标的方法,可以大大简化复杂的计算过程,使计算机对信号频率的定位、剔除和提取极为方便
11、、直观,且无需增加计算和硬件成本开销.2 频域特性分析采样定律告诉我们,一个频带有限的信号,可以对它进行时域采样而不丢失任何信息,现在 DFT（离散傅立叶变换）变换进一步告诉我们,对于时间有限的信号（有限长序列）,也可以对其进行频域采样,而不丢失任何信息,这正反应了傅立叶变换中时域、频域的对称关系13.但是它却有十分重要的意义,我们看到,由于时域上的采样,使我们能够采用数字技术来处理这些时域上的信号（序列）,而 DFT理论使得不仅在时域,在频域也可采用数字处理技术14.快速傅立叶变换（FFT）是计算DFT 的一种快速有效方法.有限长序列在数字技术中占有很重要的地位.有限长序列的一个重要特点是其
12、频域也可以离散化,即离散傅里叶变换（DFT）.因为信号序列的 DFT 本身就是信号频谱的采样集,所以 DFT 可直接用于分析信号的频谱15.频谱分析在数字信号处理中用途广泛:如通过语言信号的频谱分析实现语音通讯的频带压缩,声纳信号的频谱分析用以区分水面与水下目标,用微波提取中药材的有效成分,在睡眠脑电波中识别出梭形波等等.在各种测量仪器中,频谱分析用得更多,这些都需要DFT 运算.虽然频谱分析和DFT 运算很重要,但在很长一段时间里,由于 DFT 运算复杂,并没有得到真正的运用,而频谱分析仍大多采用模拟信号滤波的方法解决,直到1965年首次提出DFT 运算的一种快速算法以后,情况才发生了根本变
13、化,人们开始认识到DFT 运算的一些内在规律,从而很快地发展和完善了一套高速有效的运算方法快速傅里叶变换（FFT）算法,FFT的出现,使 DFT 的运算大大简化,运算时间缩短一Fig.1 Spectrum curve图 1：频谱曲线图名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 6 页 -梁建武等:频域数字坐标准确定位算法研究3 二个数量级,使 DFT 的运算在实际中得到广泛应用16.时 域 信 号 数 字 化 后 是 一 系 列 离 散 点 数,通 过FFT 变为频域离散点数,它们之间的关系可从理论和实验得到,图 1 是计算机仿真对正弦波（频率分别为：50、600、950、1
14、000Hz）以采样频率2KHz 采样,再通过 FFT 转换后的频域曲线.从这里可以看到,一旦采样频率（FS）确定,则最大分辨频率(Fmax)确定,它 们 之 间 的 关 系 是 满 足 采 样 定 律:FS=2*Fmax17.图 中FS=2KHz,故 最 大 分辨 频 率Fmax为1KHz.不难发现离散的原始信号（实验N=1024）通过 FFT 变换后,频域是以原坐标中间点（N/2=512）作为对称轴的一个频域空间曲线.当信号频率增加,可明显看到谱线向 中间靠近,直到最大分辨频率1000Hz 重合为止.因此,称采样频率的一半为折叠频率(正好是最大分辨频率).它好像一面镜子,信号频率超过折叠频率
15、时,对应的频谱就会被折迭回来,造成频谱混淆18.奈奎斯特采样定理:要使实际信号采样后能够不失真还原,采样频率必须大于信号最高频率的两倍.如采样率过低,不满足采样定理:FS=2*Fmax,使一个周期内的谱对原信号谱产生失真,无法恢复原信号,使得进一步的数字处理失去依据19.现假设满足奈奎斯特采样定理的前提下,频谱坐标（频率的大小）是从两头（i=0和 i=N）逐渐向中间（i=N/2）增大,变化范围从0 到 最大分辨频率,一个频率坐标点对应两个点,且对称.3 频域数字坐标准确定位为了简单化,对原始信号连续采样N=1024点（大于则分段处理）,采样频率为2KHz,时域数字坐标为 X(i)i=0,1.1
16、023,i 为时间坐标（X(i)包含实部和虚部,这里虚部置0）.通过 FFT 变换后变为Y(i)i=0,1.1023,i 为频率坐标（Y(i)包含实部和虚部）.要准确定位频率坐标,要进行信号运算,一般都是在对函数的自变量进行变换,或加上一个常数偏移(时移),或乘上一个常数作比例系数(尺度),或改变变量的符号(反褶)20.它们的作用效果能够从原信号的波形变化上很直观地看出.这里采用乘上一个常数作比例系数来换算数字坐标.根据上面的特性我们知道,信号频率从 0 到最大分辨频率的频域分布一半是从Y(0)到Y(N/2),把这一半以折叠频率处折叠就得到另一半,即 Y(N/2)到 Y(N-1).那现在假设某
17、频率为F,来确定频率坐标点i 的值（i=0.1023）.根据上面的分析可知:比例系数应该为频率F/最大分辨频率Fmax,原时域坐标长度缩小一半（即N/2）.则频率F 坐标点位置(前半段）=N/2*频率F/最大分辨频率Fmax=N/2*频率 F/（采样频率FS/2）.频率 F 坐标点位置(前半段）:max2F1FFNFsNi（1）（N:坐 标 采 样 长 度,F:待 测 频 率,FS:采 样频率,Fmax:最大分辨频率）由对称性,可知频率F 坐标点位置(后半段）:max2F2FFNFsNNNi（2）（N:坐 标 采 样 长 度,F:待 测 频 率,FS:采 样 频率,Fmax:最大分辨频率）这说
18、明在频域内一个频率点坐标对应两点,且和折叠频率对称,但这和时域大不相同.为了正确定位频率,采用公式1 和公式2 变换就能计算频率位置,这是本文提出的关键算法.有了该算法,计算机对原始信号进行区域定位、滤除、提取某一频率就变得尤为方便.为了对此公式进行验证.假设有一个原始正弦波信号,其中含有四种频率（60Hz、95Hz、100Hz、105Hz）,现在通过频率定位公式来提取100Hz 的正弦波信号.见图 2 上部分曲线.我们对原始信号连续采样 N=1024 点（采样频率为2KHz）.时域数字坐标为X(i)i=0,1.1023,i 为时间坐标.通过 FFT变换后形成变为Y(i)i=0,1.1023,
19、i为频率坐标.频率为 100Hz 所对应的坐标点计算:i1=FsNF=2000100*1024=51 i2=FsFNN=2000100*10241024=973 根据频域特性,只保留100Hz 频率处（51 和973 坐标两点）的幅值,把不处于100Hz频率对应坐名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 6 页 -梁建武等:频域数字坐标准确定位算法研究3 标点的幅值置零:Y(i)=0,C 语言具体算法为:For(i=0;i51;i+)Y(i)=0;For(i=52;i973;i+)Y(i)=0;For(i=974;i1024;i+)Y(i)=0;然后再通过FFT反变换,就只
20、剩下100Hz正弦波信号了.仿真实验如图2 所示.图 2 下部分有三根曲线,其中第一根是原始信号的频谱,显然是以折叠频率（1000Hz,数字坐标为N/2=512）为对称轴的一个分布曲线;第二根为提取频率结果;第三跟为结果曲线的频谱.显然 60Hz、95Hz 和 105Hz 处频谱没有了,只剩下了100Hz 的对称频谱线.结果显示比例换算方法和仿真试验的结果完全相同,而且大大简化了复杂的计算过程.4 结论傅立叶变换是分析信号时、频域特征最广泛的方法.本文通过对时域和频域的特性及其相互之间的关系作了深入的研究,通过理论和实验分析,提出了采用比例系数来换算频率数字坐标的算法,对滤除、提取或定位某一频
21、率带来很大方便和实效.仿真实验表明该方法对信号处理具体的实现提供了简单实用的方案,该方案已应用到实际工程之中,且收到了很好的效果.References:1 Ding_yuxin,Shen_xueqin.The wavelet neural network based on energy densityJComputer Journal,1997,(09):832-838.(丁宇新,沈雪勤.基于能量密度的小波神经网络J 计算机学报,1997,(09):832-838.)2 Zen_shancui,Shen_hua,Yu_zhenli.FFT Based Spectrogram Analysis
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28、requency distribution J.Chinese Journal of Scientific Instrument.No.11 2006(马世伟等.基于参数自适应时频分布的瞬时频率估计J.仪器仪表学报,2006 年 11 期)13 DUAN Yan li;ZHENG Rong.FFT Technique on Speech Time-Varied Spectrum Analysis.JOURNAL OF AIR FORCE ENGINEERING UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE EDITION,2000,(02):26-28(段艳丽,郑荣.语音时变频谱分析的
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33、onics and Information Technology:152-161.(朱力,胡学成,林幼权.匹配傅里叶变换的SAR多普勒参数 估 计 J中 国 电 子 科 学 研 究 院 学 报,2006,(02):152-161.)Liang Jian-Wu,born in 1964,Senior Engineer.His research interests include signal processing,network security and authentication.He Zhi-Bin,born in 1982,Postgraduates.His research inter
34、ests include signal processing and VOIP.BackgroundIt s a long history for people to study the signal processing.Mainly by Fourier Transform,and the calculation of filtering、extraction and orientation of signal frequency is very complicated.In this paper,the authors study on original signal from Time
35、-Domain to Frequency-Domain conversion process and their characteristics through FFT.And analyses the characteristics and relations of the folding frequency、the greatest distinguish frequency and the sampling frequency.It puts forwarda algorithm through adopting proportional coefficient based on a d
36、igital coordinates to figure coordinates frequency conversion.It was supported by the National Natural Science Foundation of China under Grant No.60173041.The research indicates that the method is simple,practical,intuitive,and convenient to filter or extract a certain frequency.The simulation shows
37、 that the method of signal processing provides a simple and practical realization of specific programs,which provides a new way of thinking to the current 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 6 页 -梁建武等:频域数字坐标准确定位算法研究3 signal processing.The results presented in this paper let it s very convenient to extrac
38、t a specific frequency region of signal for the project.背景（中文）：人们研究信号处理已有很长的历史了。主要是通过傅里叶变换，且对信号频率的过滤、提取和定位的计算非常复杂。本文通过快速傅立叶变换(FFT)对原始信号时域转换频域过程及其相互的特性作了深入的研究，并分析了折叠频率、最大分辨频率、采样频率特性及其关系,在此基础上提出了一种对数字坐标采用比例系数来换算频率数字坐标的算法.此 项 目 受 到 国 家 自 然 科 技 基 金 资 助（No.60173041）.研究结果显示此方法简单、实用、直观,对滤除或提取某一频率也带来了很大方便.仿真实验表明该方法对信号处理具体的实现提供了简单实用的方案,给当前信号处理的研究提供了一个新的思路.通过本文的成果，项目中对某一频率的提取变得非常方便简捷。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 6 页 -