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1、复数的运算一、知识导学1.复数加、减法的几何意义(1)加法的几何意义:21zz是以1oz、2oz为两邻边的平行四边形对角线oz所对应的复数.(2)减法的几何意义:21zz是连接向量1OZ、2OZ的终点，并指向被减数的向量21zz所对应的复数.2.重要结论（1）对复数 z、1z、2z和自然数 m、n，有nmnmzzz，mnnmzz)(，nnnzzzz2121)(2)ii1，12i，ii3，14i；114ni，124ni，iin 34，14ni.(3)ii2)1(2，iii11，iii11.(4)设231i，2，2，012，nn33，021nnn二、疑难知识导析1.对于22zzzz，是复数运算与实
2、数运算相互转化的主要依据，也是把复数看作整体进行运算的主要依据，在解题中加以认识并逐渐体会.2.在进行复数的运算时，不能把实数的某些法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论.当Cz时，不总是成立的.(1),()(为分数时不成立nmzzmnnm；(2)1(时不成立znmzznm；(3),(0021212221是虚数时不成立zzzzzz；(4)(22为虚数时不成立zzz；(5)(为虚数时不成立zazaaz三、经典例题导讲 例 1 满足条件512ziz的点的轨迹是（）A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆正解：点（0，2）与（-1，0）间的距离为5，动点在两定点（0，-2）与（-1，0）之间，选C 例
3、 2 求值：.)1()1(6 nnii名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 5 页 -正解：原式=niii)11()1(6=138)2(nniii=).4(8,348)(),24(8),14(8kniknkknikn）（为非负整数 例 3 已知iz312，求200021zzz的值.分析：结论是等比数列的求和问题，所以应联想到求和公式qqaSnn1)1(1，若直接将条件代入求和公式，则显得较为麻烦，不妨先将条件化简.iiiz23214)31(2312原式=01111111667*32001zz评注：由于数列中的数可以是复数，所以数列的诸性质在复数集中仍成立.例 4（06
4、年上海春卷）已知复数w满足i(i)23(4ww为虚数单位），|2|5wwz，求一个以z为根的实系数一元二次方程.解法一：i2i 21i34,i34)i21(wwi3|i|i25z.若 实 系 数 一 元 二 次 方 程 有 虚 根i3z，则 必 有 共 轭 虚 根i3z.10,6zzzz，所求的一个一元二次方程可以是01062xx.解法二：设ibawR)(ba、baba2i2i 34i，得,23,24abba,1,2bai2w，以下解法同解法一.例 5.211是实数，且是虚数，设zzz.的实部的取值范围的值及求zz解析是虚数zyixyixzz1)(1可设iyxyyyxxxyxyixyix)()
5、(222222,0y是实数，且1,0112222yxyx即,1zx2此时名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 5 页 -22121x得由)1,21(,121的实部的范围是即zx四、典型习题导练2._)11(1993ii3计算4.计算5解下列方程：(1)；(2).例 1，已知复数z 满足|,zzRz422求 z.解：设 z=x+yi,x,yR，则()()zxyixyzzxyixyizxyxyxyzz22222244444zRz4，yyxy224=0，又|z 2|=2,()xy2224联立解得，当y=0 时,x=4或 x=0(舍去 x=0,因此时 z=0)，当 y0 时,x
6、y13,zi13 综上所得,zzi zi12341313例 2设 z 为虚数，求证：zz1为实数的充要条件是|z|=1.证明：设z=a+bi(a,bR，b0)，于是()()abzabiabizabiabab222211,所以 b 0,zz1Rbbab22=0ab221|z|=1.例 3复数 z 满足()()|zzz211，且zz11为纯虚数，求z.解：设 z=x+yi(x,yR)，则()()|zzzzzz22111zz10，即zzx112.()()|()()zzzzzxyxyixyizzzzz22221111111111为纯虚数，,xyyzi223131222或zi1322例 4设 z 是虚数
7、，=zz1是实数，且 10，则21,当()aa111,即 a=0 时,上式取等号,所以2的最小值为 1.例 5，若复数z 满足|zzi122,，则 z=i823 .例 6设 z C，|z|=1，则|zi3的最大值为（3）例 7，已知复数z 满足|z|13i z求()()iiz31342的值名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 5 页 -例 7已知，复数，求|例 8若 z C，满足,sincoszzii423 3。求 z 的值和|z|的取值范围例 9，设,zz1 是纯虚数，求复数z 对应的点的轨迹方程解：zz1是纯虚数，zzzz011，即,()()zzzz zzzzzz2001111,2zz+z+z=0，(z 0，z 1),设 z=xyi，(x，yR)，()xyx22220y0）()xy221124（y0）它为复数 z 对应点的轨迹方程名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 5 页 -