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1、几何经典难题1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CDAB，EFAB，EGCOAFGCEBOD求证：CDGF（初三）APCDB2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，PADPDA150 求证：PBC是正三角形（初二）D2C2B2A2D1C1B1CBDAA13、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点求证：四边形A2B2C2D2是正方形（初二）ANFECDMB4、已知：如图，在四边形ABCD中，ADBC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F求证：DENF5、已知：ABC中，H为垂
2、心（各边高线的交点），O为外心，且OMBC于MADHEMCBO（1）求证：AH2OM；（2）若BAC600，求证：AHAO（初三）GAODBECQPNM6、设MN是圆O外一直线，过O作OAMN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q求证：APAQ（初三）7、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：OQPBDECNMA设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q求证：APAQ（初三 ）PCGFBQADE8、如图，分别以ABC的AC和BC为一边，在ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的
3、中点求证：点P到边AB的距离等于AB的一半（初二）9、如图，四边形ABCD为正方形，DEAC，AEAC，AE及CD相交于FAFDECB求证：CECF（初二）10、如图，四边形ABCD为正方形，DEAC，且CECA，直线EC交DA延长线于FEDACBF求证：AEAF（初二）11、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PFAP，CF平分DCEDFEPCBA求证：PAPF（初二）ODBFAECP12、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF及直线PO相交于B、D求证：ABDC，BCAD（初三）13、已知：ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA3，PB4，PC5APCB求
4、：APB的度数（初二）14、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且PBAPDAPADCB求证：PABPCB（初二）CBDA15、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：ABCDADBCACBD（初三）16、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE及CF相交于P，且FPDECBAAECF求证：DPADPC（初二）17、设P是边长为1的正ABC内任一点，LPAPBPC，求证：L2ACBPDAPCB18、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PAPBPC的最小值ACBPD19、P为正方形ABCD内的一点，并且PAa，PB2a，PC3a，求正方形的边长EDCBA20、如图，ABC
5、中，ABCACB800，D、E分别是AB、AC上的点，DCA300，EBA200，求BED的度数解答1.如下图做GHAB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以GFHOEG,即GHFOGE,可得=,又CO=EO，所以CD=GF得证。2. 如下图做DGC使及ADP全等，可得PDG为等边，从而可得DGCAPDCGP,得出PC=AD=DC,和DCG=PCG150所以DCP=300 ，从而得出PBC是正三角形3.如下图连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F及A2E并延长相交于Q点，连接EB2并延长交C2Q于H点，连接FB2并延长交A2Q于G点，由A2E=A1B1=B1C1= FB2 ，EB2=
6、AB=BC=FC1 ，又GFQ+Q=900和GEB2+Q=900,所以GEB2=GFQ又B2FC2=A2EB2 ，可得B2FC2A2EB2 ，所以A2B2=B2C2 ， 又GFQ+HB2F=900和GFQ=EB2A2 ,从而可得A2B2 C2=900 ，同理可得其他边垂直且相等，从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。4.如下图连接AC并取其中点Q，连接QN和QM，所以可得QMF=F，QNM=DEN和QMN=QNM，从而得出DENF。5.(1)延长AD到F连BF，做OGAF,又F=ACB=BHD，可得BH=BF,从而可得HD=DF，又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=
7、2OM(2)连接OB，OC,既得BOC=1200， 从而可得BOM=600, 所以可得OB=2OM=AH=AO,得证。6.证明：作E点关于GA的对称点F，连FQ、FA，FC，OAMN，EFOA，则有FAP=EAQ，EAP=FAQ，FA=EA，PAF=AFE=AEF=180-FCD，PAF=180-FAQ，FCD=FAQ，FCAQ四点共圆，AFQ=ACQ=BED，在EPA和FQA中PEA=QFAAF=AEPAE=QAF，EPAFQA，AP=AQ7.作OFCD，OGBE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。 由于， 由此可得ADFABG，从而可得AFC=AGE。 又因为PFOA及QGOA
8、四点共圆，可得AFC=AOP和AGE=AOQ， AOP=AOQ，从而可得AP=AQ。8.过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG，CI，FH。可得PQ=。 由EGAAIC，可得EG=AI，由BFHCBI，可得FH=BI。 从而可得PQ= = ，从而得证。9.顺时针旋转ADE，到ABG，连接CG. 由于ABG=ADE=900+450=1350 从而可得B，G，D在一条直线上，可得AGBCGB。 推出AE=AG=AC=GC，可得AGC为等边三角形。 AGB=300，既得EAC=300，从而可得A EC=750。 又EFC=DFA=450+300=750. 可证：CE=CF。10.连接BD作CHDE
9、，可得四边形CGDH是正方形。由AC=CE=2GC=2CH， 可得CEH=300，所以CAE=CEA=AED=150，又FAE=900+450+150=1500，从而可知道F=150，从而得出AE=AF。11.作FGCD，FEBE，可以得出GFEC为正方形。 令AB=Y ，BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X 。 tanBAP=tanEPF=，可得YZ=XY-X2+XZ， 即Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得X=Z ，得出ABPPEF ， 得到PAPF ，得证 。12.证明：作CQPD于Q，连接EO，EQ，EC，OF，QF，CF，所以PC2=PQPO（射影定理），又PC2=PEPF，所以E
10、FOQ四点共圆，EQF=EOF=2BAD，又PQE=OFE=OEF=OQF，而CQPD，所以EQC=FQC，因为AEC=PQC=90，故B、E、C、Q四点共圆，所以EBC=EQC=1/2EQF=1/2EOF=BAD，CBAD，所以BO=DO，即四边形ABCD是平行四边形，AB=DC，BC=AD13.顺时针旋转ABP 600 ，连接PQ ，则PBQ是正三角形。可得PQC是直角三角形。所以APB=1500 。14.作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使AEDC，BEPC.可以得出ABP=ADP=AEP，可得：AEBP共圆（一边所对两角相等）。可得BAP=BEP=BCP，得证。15.在BD取一点E
11、，使BCE=ACD，既得BECADC，可得： =，即ADBC=BEAC， 又ACB=DCE，可得ABCDEC，既得 =，即ABCD=DEAC， 由+可得: ABCD+ADBC=AC(BE+DE)= ACBD ，得证。16.过D作AQAE ，AGCF ，由=，可得： =，由AE=FC。 可得DQ=DG，可得DPADPC（角平分线逆定理）。17.（1）顺时针旋转BPC 600 ，可得PBE为等边三角形。既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，即如下图：可得最小L= ； （2）过P点作BC的平行线交AB,AC及点D，F。 由于APDATP=ADP，推出ADAP
12、 又BP+DPBP 和PF+FCPC 又DF=AF 由可得：最大L 2 ； 由（1）和（2）既得：L2 。18.顺时针旋转BPC 600 ，可得PBE为等边三角形。既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF。既得AF= = = 19.顺时针旋转ABP 900 ，可得如下图： 既得正方形边长L = = 。20.在AB上找一点F，使BCF=600 ， 连接EF，DG，既得BGC为等边三角形， 可得DCF=100 , FCE=200 ,推出ABEACF ， 得到BE=CF ， FG=GE 。 推出 ： FGE为等边三角形 ，可得AFE=800 ， 既得：DFG=400 又BD=BC=BG ，既得BGD=800 ，既得DGF=400 推得：DF=DG ,得到：DFEDGE ， 从而推得：FED=BED=300 。第 5 页