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1、.-优选几何经典难题1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C、E 是圆上的两点，CDAB，EFAB，EG CO求证：CDGF（初三）2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，PAD PDA 150求证：PBC 是正三角形（初二）3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是 AA1、BB1、CC1、DD1的中点求证：四边形A2B2C2D2是正方形（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD BC，M、N 分别是 AB、CD 的中点，AD、BC 的延长线交MN 于 E、F求证：DEN F5、已知：ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且
2、OMBC 于 M（1）求证：AH 2OM；（2）若 BAC600，求证：AH AO （初三）A P C D B A F G C E B O D D2 C2 B2 A2 D1 C1 B1 C B D A A1 A N F E C D M B A D H E M C B O.-优选P C G F B Q A D E 6、设 MN 是圆 O 外一直线，过O 作 OAMN 于 A，自 A 引圆的两条直线，交圆于B、C 及 D、E，直线 EB 及 CD 分别交 MN 于 P、Q求证：APAQ （初三）7、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设 MN 是圆 O 的弦，过MN 的中点
3、A 任作两弦BC、DE，设 CD、EB 分别交 MN 于 P、Q求证：AP AQ（初三）8、如图，分别以ABC 的 AC 和 BC 为一边，在 ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG，点 P是 EF 的中点求证：点P 到边 AB 的距离等于AB 的一半（初二）G A O D B E C Q P N M O Q P B D E C N M A.-优选9、如图，四边形ABCD 为正方形，DE AC，AEAC，AE 与 CD 相交于 F求证：CECF（初二）10、如图，四边形ABCD 为正方形，DE AC，且 CE CA，直线 EC 交 DA 延长线于F求证：AEAF（初二）11、设 P
4、是正方形ABCD 一边 BC 上的任一点，PFAP，CF 平分 DCE 求证：PAPF（初二）12、如图，PC 切圆 O 于 C，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE、AF 与直线 PO 相交于 B、D 求证：ABDC，BC AD （初三）A F D E C B E D A C B F D F E P C B A O D B F A E C P.-优选13、已知：ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA3，PB4，PC5求：APB 的度数（初二）14、设 P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且PBA PDA 求证：PAB PCB（初二）15、设 ABCD 为圆内接凸四边形，求证：A
5、BCDAD BCACBD（初三）16、平行四边形ABCD 中，设 E、F 分别是 BC、AB 上的一点，AE 与 CF 相交于 P，且AECF求证：DPA DPC（初二）A P C B P A D C B C B D A F P D E C B A.-优选17、设 P 是边长为1 的正 ABC 内任一点，LPAPBPC，求证：L218、已知：P 是边长为1 的正方形ABCD 内的一点，求PAPBPC 的最小值19、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PAa，PB2a，PC 3a，求正方形的边长20、如图，ABC 中，ABC ACB800，D、E 分别是 AB、AC 上的点，DCA 300，EB
6、A200，求 BED 的度数APCBACBPDEDAACBPD.-优选解答1.如下图做GH AB,连接 EO。由于 GOFE 四点共圆，所以GFH OEG,即 GHF OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又 CO=EO，所以 CD=GF 得证。2.如下图做 DGC 使与 ADP 全等，可得 PDG 为等边，从而可得DGC APD CGP,得出 PC=AD=DC,和 DCG=PCG150 所以 DCP=300，从而得出 PBC 是正三角形3.如下图连接 BC1和 AB1分别找其中点 F,E.连接 C2F 与 A2E 并延长相交于 Q 点，.-优选连接 EB2并延长交 C2Q 于 H 点，连
7、接 FB2并延长交 A2Q 于 G 点，由 A2E=12A1B1=12B1C1=FB2，EB2=12AB=12BC=FC1，又GFQ+Q=900和GEB2+Q=900,所以 GEB2=GFQ 又 B2FC2=A2EB2，可得 B2FC2 A2EB2，所以 A2B2=B2C2，又 GFQ+HB2F=900和 GFQ=EB2A2,从而可得 A2B2 C2=900，同理可得其他边垂直且相等，从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。4.如下图连接 AC 并取其中点 Q，连接 QN 和 QM，所以可得QMF=F，QNM=DEN 和QMN=QNM，从而得出DEN F。.-优选5.(1)延长 AD 到 F
8、连 BF，做 OGAF,又 F=ACB=BHD，可得 BH=BF,从而可得 HD=DF，又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)连接 OB，OC,既得BOC=1200，从而可得 BOM=600,所以可得OB=2OM=AH=AO,得证。6.证明：作 E 点关于 GA 的对称点 F，连 FQ、FA，FC，OAMN，EFOA，则有FAP=EAQ，EAP=FAQ，FA=EA，PAF=AFE=AEF=180-FCD，PAF=180-FAQ，FCD=FAQ，FCAQ 四点共圆，AFQ=ACQ=BED，.-优选在EPA 和FQA 中PEA=QFA AF=AE PAE=QA
9、F，EPAFQA，AP=AQ 7.作 OFCD，OGBE，连接 OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。由于22ADACCDFDFDABAEBEBGBG，由此可得 ADF ABG，从而可得 AFC=AGE。又因为 PFOA 与 QGOA 四点共圆，可得AFC=AOP 和 AGE=AOQ，AOP=AOQ，从而可得AP=AQ。8.过 E,C,F点分别作 AB 所在直线的高 EG，CI，FH。可得 PQ=2EGFH。由 EGA AIC，可得 EG=AI，由 BFH CBI，可得 FH=BI。.-优选从而可得PQ=2AIBI=2AB，从而得证。9.顺时针旋转ADE，到 ABG，连接 CG.由于 AB
10、G=ADE=900+450=1350从而可得B，G，D 在一条直线上，可得AGB CGB。推出 AE=AG=AC=GC，可得 AGC 为等边三角形。AGB=300，既得 EAC=300，从而可得A EC=750。又 EFC=DFA=450+300=750.可证：CE=CF。10.连接 BD 作 CHDE，可得四边形CGDH 是正方形。由 AC=CE=2GC=2CH，.-优选可得 CEH=300，所以 CAE=CEA=AED=150，又 FAE=900+450+150=1500，从而可知道F=150，从而得出AE=AF。11.作 FGCD，FEBE，可以得出GFEC 为正方形。令 AB=Y，BP
11、=X,CE=Z,可得 PC=Y-X。tanBAP=tan EPF=XY=ZYXZ，可得 YZ=XY-X2+XZ，即 Z(Y-X)=X(Y-X)，既得 X=Z，得出 ABP PEF，得到 PAPF，得证。12.证明：作 CQPD 于 Q，连接 EO，EQ，EC，OF，QF，CF，所以 PC2=PQ?PO（射影定理），.-优选又 PC2=PE?PF，所以 EFOQ 四点共圆，EQF=EOF=2BAD，又PQE=OFE=OEF=OQF，而 CQPD，所以 EQC=FQC，因为 AEC=PQC=90，故 B、E、C、Q 四点共圆，所以EBC=EQC=1/2EQF=1/2 EOF=BAD，CBAD，所以
12、 BO=DO，即四边形 ABCD 是平行四边形，AB=DC，BC=AD 13.顺时针旋转 ABP 600，连接 PQ，则 PBQ 是正三角形。可得PQC 是直角三角形。所以APB=1500。14.作过 P点平行于 AD 的直线，并选一点E，使 AEDC，BEPC.可以得出ABP=ADP=AEP，可得：AEBP 共圆（一边所对两角相等）。可得 BAP=BEP=BCP，得证。15.在 BD 取一点 E，使BCE=ACD，既得 BEC ADC，可得：.-优选BEBC=ADAC，即 AD?BC=BE?AC，又 ACB=DCE，可得 ABC DEC，既得ABAC=DEDC，即 AB?CD=DE?AC，由
13、+可得:AB?CD+AD?BC=AC(BE+DE)=ACBD，得证。16.过 D 作 AQAE，AG CF，由ADES=2ABCDS=DFCS，可得：2AE PQ=2AE PQ，由 AE=FC。可得 DQ=DG，可得 DPA DPC（角平分线逆定理）。17.（1）顺时针旋转BPC 600，可得 PBE 为等边三角形。既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF 在一条直线上，即如下图：可得最小L=；.-优选（2）过 P 点作 BC 的平行线交 AB,AC 与点 D，F。由于 APD ATP=ADP，推出 ADAP 又 BP+DPBP 和 PF+FCPC 又 DF=AF
14、由可得：最大L 2；由（1）和（2）既得：L2。18.顺时针旋转BPC 600，可得 PBE 为等边三角形。既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF 在一条直线上，即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF。.-优选既得 AF=213(1)42=23=42 32=2(31)2=2(31)2=622。19.顺时针旋转ABP 900，可得如下图：.-优选既得正方形边长L=2222(2)()22a=52 2 a。20.在 AB 上找一点 F，使BCF=600，连接 EF，DG，既得 BGC 为等边三角形，可 得 DCF=100,FCE=200,推 出 ABE ACF，得到 BE=CF，FG=GE。推出：FGE 为等边三角形，可得 AFE=800，既得：DFG=400又BD=BC=BG，既 得 BGD=800，既 得 DGF=400推得：DF=DG,得到：DFE DGE，从而推得：FED=BED=300。