2022年通信原理通信课后答案 .pdf

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1、通信原理习题第二章3 第二章习题习题 2.1 设随机过程 X(t)可以表示成：()2 cos(2),Xttt式中，是一个离散随机变量，它具有如下概率分布：P(=0)=0.5，P(=/2)=0.5试求 EX(t)和XR(0,1)。解：EX(t)=P(=0)2cos(2)t+P(=/2)2cos(2)=cos(2)sin 22tttcost习题 2.2 设一个随机过程X(t)可以表示成：()2 cos(2),Xttt判断它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。解：为功率信号。/2/2/2/21()lim()()1lim2 cos(2)*2 cos2()TXTTTTTRXtXtdt

2、TttdtT222 cos(2)jtjtee2222()()()(1)(1)jfjtjtjfXPfRedeeedff习题 2.3 设有一信号可表示为：4 exp(),t0()0,t0tXt试问它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。解：它是能量信号。X(t)的傅立叶变换为：(1)004()()441jttjtjtXx t edte edtedtj则能量谱密度G(f)=2()Xf=222416114jf习题 2.4 X(t)=12cos 2sin 2xtxt，它是一个随机过程，其中1x和2x是相互统计独立的高斯随机变量，数学期望均为0，方差均为2。试求：(1)EX(t)，E2(

3、)Xt；(2)X(t)的概率分布密度；(3)12(,)XRtt解：(1)02sin2cos2sin2cos2121xEtxEttxtxEtXE()XPf因为21xx 和相互独立，所以2121xExExxE。又因为021xExE，12212xExE，所以22221xExE。故222222sin2c ostttXE(2)因为21xx 和服从高斯分布，21xxtX和是的线性组合，所以tX也服从高斯分布，其概率分布函数222exp21zxp。(3)2221121121212sin2cos)2sin2cos(,txtxtxtxEtXtXEttRX212122s in2s in2co s2c o sttt

4、t1222c o stt习题 2.5 试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件：(1)ff2cos2；(2)afa；(3)2expfa解：根据功率谱密度P(f)的性质：P(f)0，非负性；P(-f)=P(f)，偶函数。可以判断(1)和(3)满足功率谱密度的条件，(2)不满足。习题 2.6 试求 X(t)=Acost的自相关函数，并根据其自相关函数求出其功率。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 9 页 -通信原理习题第二章4 解：R(t，t+)=EX(t)X(t+)=cos*cos()EAtAt221coscos(2)cos()22AAEtR功率 P=R(0)=22A习

5、 题2.7 设tX1和tX2是 两 个 统 计 独 立 的 平 稳 随 机 过 程，其 自 相 关 函 数 分 别 为21XXRR和。试求其乘积X(t)=12()()Xt Xt的自相关函数。解：(t,t+)=EX(t)X(t+)=E1212()()()()Xt Xt XtXt=1122()()()()EXt XtEXt Xt=12()()XXRR习题 2.8 设随机过程 X(t)=m(t)cost，其中 m(t)是广义平稳随机过程，且其自相关函数为4210,10 kH Z10 kH Z()0,XffPf其 它(1)试画出自相关函数()XR的曲线；(2)试求出 X(t)的功率谱密度()XPf和功

6、率 P。解：(1)1,101010,xR其 它其波形如图2-1 所示。图 2-1 信号波形图(2)因为)(tX广义平稳，所以其功率谱密度XXRP。由图 2-8 可见，XR的波形可视为一个余弦函数与一个三角波的乘积，因此2Sa2Sa4112Sa21210202200 xP210,21d21xxRSPP或习题 2.9 设信号 x(t)的傅立叶变换为X(f)=sinff。试求此信号的自相关函数。解：x(t)的能量谱密度为G(f)=2()Xf=2sinff其自相关函数21,10()1010,jfXRGf edf其 它习题 2.10已知噪声tn的自相关函数k-e2kRn，k 为常数。(1)试求其功率谱密

7、度函数fPn和功率 P；(2)画出nR和fPn的曲线。21xR1 0 1 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 9 页 -通信原理习题第二章5 解：(1)222()()2(2)kjjnnkkPfRedeedkf20kRPn(2)()nR和fPn的曲线如图 2-2 所示。图 2-2 习题 2.11 已知一平稳随机过程X(t)的自相关函数是以2 为周期的周期性函数：()1,11R试求 X(t)的功率谱密度()XPf并画出其曲线。解：详见例 2-12 习题 2.12 已知一信号x(t)的双边功率谱密度为4210,10 kHZ10 kHZ()0,XffPf其 它试求其平均功率。

8、解：34310*10424108002()2102*10*1033XfPPfdff df习题 2.13设输入信号/,0()0,0tetx tt，将它加到由电阻R 和电容 C 组成的高通滤波器（见图2-3）上，RC。试求其输出信号y(t)的能量谱密度。解：高通滤波器的系统函数为H(f)=()2 cos(2),Xttt输入信号的傅里叶变换为X(f)=11122jfjf输出信号 y(t)的能量谱密度为22()()()()11()(1)22yRGfYfXfHfRjfCjf习题 2.14设有一周期信号x(t)加于一个线性系统的输入端，得到的输出信号为y(t)=()/dx tdt式中，为常数。试求该线性系

9、统的传输函数H(f).解：输出信号的傅里叶变换为Y(f)=*2*()jfXf,所以 H(f)=Y(f)/X(f)=j2f习题 2.15设有一个 RC 低通滤波器如图2-7 所示。当输入一个均值为0、双边功率谱密度为02n的白噪声时，试求输出功率谱密度和自相关函数。解：参考例2-10 习题 2.16设有一个 LC 低通滤波器如图2-4 所示。若输入信号是一个均值为0、双边功率谱密度为02n的高斯白噪声时，试求(1)输出噪声的自相关函数。(2)输出噪声的方差。解：(1)LC 低通滤波器的系统函数为H(f)=2221221422jfCfL CjfLjfCnR2k0 fPn1 0 fC R 图 2-3

10、RC 高通滤波L C 图 2-4LC低通滤波器名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 9 页 -通信原理习题第二章6 输出过程的功率谱密度为20021()()()2 1inPPHL C对功率谱密度做傅立叶反变换，可得自相关函数为00()exp()4C nCRLL(2)输出亦是高斯过程，因此20000(0)()(0)4C nRRRL习题 2.17 若通过图2-7 中的滤波器的是高斯白噪声，当输入一个均值为0、双边功率谱密度为02n的白噪声时，试求输出噪声的概率密度。解：高 斯 白 噪 声 通 过 低 通 滤 波 器，输 出 信 号 仍 然 是 高 斯 过 程。由2.15题

11、可 知E(y(t)=0,200(0)4ynRRC所以输出噪声的概率密度函数20012()exp()2yx RCpxnnRC习题2.18设随机过程()t可表示成()2 c o s(2)tt，式中是一个离散随变量，且(0)1/2(/2)1/2pp、，试求(1)E及(0,1)R。解：(1)1/2*2 cos(20)1/2*2 cos(2/2)1;E(0,1)(0)(1)1/2*2 cos(0)2cos(20)1/2*cos(/2)2 cos(2/2)2RE习题 2.19 设1020()cossinZ tXw tXw t是一随机过程，若1X和2X是彼此独立且具有均值为 0、方差为2的正态随机变量，试求

12、：（1）()E Zt、2()E Zt；（2）()Z t的一维分布密度函数()fz；（3）12(,)B tt和12(,)R tt。解：（1）10200102()cossincossin0E ZtEXw tXw tw tEXw tEX因为1X和2X是彼此独立的正态随机变量，1X和2X是彼此互不相关，所以120EX X22222222210200102()cossincossinE ZtE Xw tXw tw tEXw tEX又10E X;222112()DXEXE X221E X同理222E X代入可得22()E Zt（2）由()E Z t=0；22()E Zt又因为()Zt是高斯分布可得2()D

13、 Z t221()ex p()22zfZ t(3)12121212(,)(,)()()(,)B ttR ttE Z tE Z tR tt101201102202(cossin)(cossin)EXw tXw tXw tXw t221010220 102220120(coscossinsin)cos()cosEXw tw tXw tw twttw名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 9 页 -通信原理习题第二章7 令12tt习题 2.20 求乘积()()()Z tXt Y t的自相关函数。已知()Xt与()Y t是统计独立的平稳随机过程，且它们的自相关函数分别为()xR、

14、()yR。解：因()Xt与()Y t是统计独立，故EXYEXE Y()()()()()()()()()()()()()ZXYRE Z t Z tE Xt Y t XtY tE Xt XtE Y t Y tRR习题 2.21 若随机过程0()()cos()Z tm tw t，其中()m t是宽平稳随机过程，且自相关函数()mR为1,10()1,010,mR其 它是服从均匀分布的随机变量，它与()m t彼此统计独立。（1）证明()Zt是宽平稳的；（2）绘出自相关函数()ZR的波形；（3）求功率谱密度()ZPw及功率 S。解：（1）()Z t是宽平稳的()E Z t为常数；00()()cos()()

15、cos()E Z tE m tw tE m tEw t2001cos()()02w tdE Z t1212101202(,)()()()cos()()cos()ZRttE ZtZ tE m tw tm tw t120102()()cos()cos()E m tm tEw tw t1221()()()mE m tm tRtt只与21tt有关：令21tt0101cos()cos()Ew twt01010010cos()cos()cossin()sinEw tw tww tw200 10010 1cos*cos()sin*cos()sin()wEw twEw tw t0011cos*1cos 2()

16、02wEw t01cos()2w所以1201(,)cos()*()2ZmRttwR只与有关，证毕。（2）波形略；0001(1)cos(),10211()cos()*()(1)cos(),01220,ZmwRwRw其 它()()ZZPwR而()ZR的波形为名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 9 页 -通信原理习题第二章8 可以对()mR求两次导数，再利用付氏变换的性质求出()mR的付氏变换。2sin(/2)()(1)2()(1)()()/22mmwwRPwSaw22001()()()422ZwwwwPwSaSa功率 S：(0)1/2ZSR习题 2.22 已知噪声()n

17、t的自相关函数()exp()2naRa，a 为常数：求()nPw和 S；解：因为222exp()aawa所以222()exp()()2nnaaRaPwwa(0)2aSR习题 2.23()t是一个平稳随机过程，它的自相关函数是周期为2 S 的周期函数。在区间（-1，1）上，该自相关函数()1R。试求()t的功率谱密度()Pw。解：见第 2.4 题2()1()2wRSa因为()(2)Tnttn所以()()*()TtRt据付氏变换的性质可得()()()RPwPw Fw而()(2)()Tnnttnwn故22()()()()*()()*()22RnnwwnPwPw FwSawnSawn习题 2.24 将

18、一个均值为0，功率谱密度为为0/2n的高斯白噪声加到一个中心角频率为cw、带宽为 B 的理想带通滤波器上，如图（1）求滤波器输出噪声的自相关函数；（2）写出输出噪声的一维概率密度函数。解：（1）20()()()()2oinPwHwPwHw因为0200()()wGwSa ww,故2()()BGwBSaB名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 9 页 -通信原理习题第二章9 又2()()*()()BccHwGwwwww1()()cos()cccwwwww由付氏变换的性质12121()()()*()2ftftFwFw可得0020()()()*()()22()()cos()oBc

19、ccnnPwHwGwwwwwRn BSa Bw（2）()0oEt；200(0)()REtBn；2()()0oREt所以20(0)()RRBn又因为输出噪声分布为高斯分布可得输出噪声分布函数为20001()exp()22tftBnBn习题 2.25 设有 RC 低通滤波器，求当输入均值为0，功率谱密度为0/2n的白噪声时，输出过程的功率谱密度和自相关函数。解：11()11jw CHwjw RCRjw C(1)2021()()()*21()OinPwPwHwwRC(2)因为222exp()aawa所以0021()*()exp()2()14oOnnpwRwRCRCRC习题 2.26 将均值为 0，功

20、率谱密度为0/2n高斯白噪声加到低通滤波器的输入端，（1）求输出噪声的自相关函数；（2）求输出噪声的方差。解：()RHwRjw L(1)220022()()()*()exp()2()4oiORnnRPwP wHwRRwLLL(2)0()0E nt；20(0)()(0)4n RRRRL习题 2.27 设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每个脉冲的持续时为bT，脉冲幅度取1的概率相等。现假设任一间隔bT内波形取值与任何别的间隔内取值统计无关，且过程具有宽平稳性，试证：（1）自相关函数0,()1/,bbbTRtTT（2）功率谱密度2()()bbPwTSafT。解：（1）()()()REtt名师资料总

21、结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 9 页 -通信原理习题第二章10 当bT时，()t与()t无关，故()R=0 当bT时，因脉冲幅度取1的概率相等，所以在2bT内，该波形取-1-1、1 1、-1 1、1-1 的概率均为14。（A）波形取-1-1、11 时，在图示的一个间隔bT内，1()()()*11/44REtt（B）波形取-1 1、1-1 时，在图示的一个间隔bT内，1()()()*()4bbbTREttTT当bT时，11()()()2*2*()144bbbbTREttTTT故0,()1/,bbbTRtTT（2）2()24AwSa,其中2A为时域波形的面积。所以2()()(

22、)2bbw TRpwT Sa。习题 2.28 有单个输入、两个输出的线形过滤器，若输入过程，()t是平稳的，求1()t与2()t的互功率谱密度的表示式。（提示：互功率谱密度与互相关函数为付利叶变换对）解：110()()()tthd220()()()tthd名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 9 页 -通信原理习题第二章11 121,11121()()()Rt tEtt1112001200()()()()()()()EthdthdhhRdd所以12()(jwPwR令*121200()()()()()()()jwjwjwPwhedhedRedHw HwPw习题 2.29

23、若()t是平稳随机过程，自相关函数为()R，试求它通过系统后的自相关函数及功率谱密度。解：()()()()1jw Th tttTHwe1/2()(22 co s)Hww T2()()()2(1cos)()OPwHwPwwTPw()2()2 cos*()2()()()jwTjwTOPwPwwTPwPweePw2()()()RRTRT习题 2.30 若通过题 2.8 的低通滤波器的随机过程是均值为 0，功率谱密度为0/2n的高斯白噪声，试求输出过程的一维概率密度函数。解：0()0E nt;20000021()*()exp()21()44nnnPwRw R CR CR CR C又因为输出过程为高斯过程，所以其一维概率密度函数为221exp()22xfx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 9 页 -