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1、第 10 章正交编码与伪随机序列10.1 学习指导10.1.1 要点正交编码与伪随机序列的要点主要包括正交编码的概念、常见的正交编码和伪随机序列。1.正交编码的概念对于二进制信号，用一个数字序列表示一个码组。这里， 我们只讨论二进制且码长相同的编码。两个码组的正交性可用它们的互相关系数来表述。设码长为 n的编码中码元只取值+1 和-1。 如果 x和 y是其中的两个码组： x = (x1, x2, , xn)，y = (y1, y2, , yn)，其中， xi, yi +1, -1 ，i = 1, 2, , n，则码组x 和 y 的互相关系数被定义为2.ii11( ,) (10-1)nix yx
2、 yn如果码组 x 和 y 正交，则(x, y) = 0。两两正交的编码称为正交编码。类似地， 我们还可以定义一个码组的自相关系数。一个长为 n 的码组 x 的自相关系数被定义为xii + j11( ),0, 1,1 (10-2)nijx xjnn其中， x 的下标按模n运算，即 xnkxk。在二进制编码理论中，常采用二进制数字“0”和“1”表示码元的可能取值。若规定用二进制数字 “0”代替上述码组中的“ -1” ，用二进制数字“1”代替 “ +1” ，则码组 x 和 y 的互相关系数被定义为( ,) (10-3)abx yab其中，a 表示码组x 和 y 中对应码元相同的个数，b 表示码组x
3、 和 y 中对应码元不同的个数。例如，对于4 个码组： x1 = (1,1, 1, 1)，x2 = (1, 1, 0,0)，x3 = (1, 0, 0, 1) ，x4 = (1, 0, 1, 0)，它们任意两者之间的相关系数都为0。对于采用二进制数字“0”和“ 1”表示的码元，若用x 的 j 次循环移位代替y，就得到x 的自相关系数x(j)。 比如，如果一个长为n的码组 x = (x1, x2, , xn)，则 y = (x1 + j, x2 + j, , xn, x1, x2, , xj)。根据上式计算出码组x 和 y 的互相关系数就是码组x 的自相关系数。显然，无论是采用二进制数字“0”和
4、“ 1”表示的码元，还是采用二进制数字“+1”和“ -1”表示的码元，互相关系数和自相关系数都是在1 与-1 之间取值。若两个码组间的互相关系数 0，则称这两个码组互相超正交。如果一种编码中任意两码组之间均超正交，则称这种编码为超正交码。例如，对于 3 个码组： x1 = (+1, +1, +1) ，x2 = (+1, -1, -1) ，x3 = (-1, -1, +1)，由它们构成的编码是超正交码。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - -
5、- - - - - 由正交编码和其反码构成的编码就是双正交编码。例如，4 个码组： x1 = (+1, +1, +1, +1) ，x2 = (+1, +1, -1, -1) ，x3 = (+1, -1, -1, +1) ，x4 = (+1, -1, +1, -1) ，其反码为： y1 = (-1, -1, -1, -1) ，x2 = (-1, -1, +1, +1) ，x3 = (-1, +1, +1, -1) ，x4 = (-1, +1, -1, +1) 。这 8 个码组构成的编码就是双正交编码，任意两个码组之间的互相关系数为 0 或-1。2常见的正交编码常见的正交编码有Hadamard 码
6、矩阵、 Walsh 矩阵和伪随机序列等。Hadamard 码矩阵是法国数学家M. J. Hadamard 于 1893 年首先构造出来的一种方阵，仅由元素 +1 和-1 构成，而且其任意两行(列 )之间是互相正交的，简记为H 矩阵。 H 矩阵的最低阶数为 2，即211 (10-4)11H为了简便起见，把上式中的1 和 1 简写为和，上式就表示为2 (10-5)H阶数为 2k的高阶 H 矩阵从下列递推关系得出kk/22 (10-6)H= HH其中， k 为正整数，是直积运算。上式的直积运算是指将矩阵Hk / 2中的每一个元素用矩阵 H2代替，比如，2242222HHHHHHH4484244HHH
7、HHHHH2矩阵、 H4矩阵和 H8矩阵都是对称矩阵，而且第一行和第一列的元素全为“”，我们把这样的H 矩阵称为 Hadamard 码矩阵的正规形式，或称为正规Hadamard 码矩阵。在 H 矩阵中，交换任意两行或两列，或改变任一行或列中每个元素的符号，都不会影响矩阵的正交性质。因此，正规H 矩阵经过上述各种交换或改变后仍为H 矩阵，但不一定是正规的了。按照递推关系式可以构造出所有2k阶的 H 矩阵。可以证明，高于2 阶的 H 矩阵的阶数一定是 4 的倍数。不过，以4 的倍数作为阶数是否一定存在H 矩阵，这一问题并未解决。H 矩阵是正交方阵。如果把其中每一行看作是一个码组，则这些码组也是互相
8、正交的，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 而整个 H 矩阵就是一种码长为n 的正交编码，它包含n 个码组。因为长度为n 的编码共有2n个不同码组，如果只将这n 个码组作为许用码组，其余(2n - n)个为禁用码组，则可以将其多余度用来纠错。这种编码在纠错编码理论中称为Reed-Muller 码。Walsh 函数的定义常用三角函数法、拉德马赫函数乘积表示法、Hadamard 矩阵表示法和递推公式法等。这里介绍Wals
9、h 函数的递推公式形式，其定义为/ 2111wal(0,)220 Otherswal( ,)=wal(2, )11( 1)wal,2( 1)wal,2 (10-7)44qjjqttk tjq tjtj其中， j = 0,1,2, , q = 0 或 1，j/2 表示 j/2 的整数部分。为了便于理解，做以下几点说明：(1)当把 Wal(j, t)改成 Wal(j, 2t)时，表示保持波形相对形状不变，只是将时基从 -1/2 t 1/2 压缩到 -1/4 t 1/ 4；(2)当把 Wal(j, 2t)改成 Walj, 2(t 1/4)时，表示保持波形相对形状不变，只是将波形向左 (对应“ +”号
10、)或向右 (对应“ -”号 )平移1/4。例如， Wal(5, t)应该根据 Wal(2, t)递推出来，此时，k = 5, j = 2, q = 1, j/2 = 1。1 12 1Wal(5,)Wal(221, )11( 1)Wal 2, 2( 1)Wal 2, 24411Wal 2, 2Wal 2, 244tttttt其中，0 01 0Wal(2, )Wal 2 10,11( 1)Wal 1, 2( 1)Wal 1, 24411Wal 1, 2Wal 1, 244tttttt0 11 0Wal(1, )Wal 2 01,11( 1)Wal 0, 2( 1)Wal 0, 24411Wal 0
11、, 2Wal 0, 244tttttt前八个 Walsh 函数中的任意两个函数都是正交的。将前N 个 Walsh 函数在等距的N 个点抽样， 再将抽样值写成矩阵形式，即得 N N 矩阵。例如，N = 8 时，可以得到 8 8 矩阵：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - (10-8)W如果把 Walsh 矩阵的每一行作为一个码组，就得到Walsh 编码。3.伪随机序列一方面，由于随机噪声的存在，通信系统的性能会变坏；另一
12、方面，有时为了达到特殊的目的，通信系统中又需要噪声，比如保密通信中，让有用信号隐藏在随机噪声之中，以达到防止有用信号被截获。相同的随机噪声难以重复产生，这给通信接收方造成了困难，因为难以从隐藏在随机噪声之中提取出有用信号。后来，人们发明了伪随机序列，才使得这个难题得以解决。伪随机序列具有类似于随机噪声的某些统计特性，同时又能够重复产生。目前广泛应用的伪随机噪声都是由周期性数字序列经过滤波等处理后得出的。我们将这种周期性数字序列称为伪随机序列，它有时又被称为伪随机信号和伪随机码。常用的伪随机序列有m 序列、 M 序列、二次剩余序列和双素数序列。10.1.2 难点正交编码与伪随机序列的难点主要是m
13、 序列的产生。m 序列是最长线性反馈移位寄存器序列的简称，它是由带线性反馈移存器产生的周期最长的一种序列。一般来说， 希望用尽可能少的级数产生尽可能长的序列。一个 n 级线性反馈移存器可能产生的最长周期等于(2n - 1)。这种最长的序列称为最长线性反馈移存器序列就是m 序列。反馈电路连接方法不同，移存器产生的序列的周期长度也会不同。一般的线性反馈移存器原理方框图如图10-1 所示，其中，各级移存器的状态用ai表示，ai = 0 或 1，i 为非负整数。反馈线的连接状态用ci表示， ci1 表示此线接通，ci0 表示此线断开。反馈线的连接状态不同，输出序列的周期就可能不同。图10-1 n级线性
14、反馈移位寄存器原理框图 bnan-1an-2a1a0c1c2cn-1cn = 1根据上图，可以得到寄存器an-1的新状态为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - n1n 12n-2n 11n01n 12n2n-110in-i1= (10-9)niac ac acac ac ac acaaca事实上，上式是一个递推公式。显然，其它寄存器的新状态等于前一级寄存器的旧状态。ci的取值决定了移存器的反馈连接和序列的周期长度，故
15、ci是一个很重要的参量。现在将它们与一个n 阶方程一一对应，让它们在为n 阶方程的系数，即2n 1012n-1i0( ) (10-10)nniifxcc xc xcxxc x这个 n 阶方程被称为特征方程或特征多项式。例如，特征方程4( )1f xxx对应的连接系数取值为：c0c1c41，c2c30，按照此特征方程构成的反馈移存器就图10-3 所示。任何一个寄存器的输出都可以作为一个伪随机序列。如果我们把寄存器an-1的输出序列an, n = 0, 1, 2, 的每个元素与一个代数方程建立一一对应的关系，即2012n0( ) (10-11)nnG xaa xa xa x这个代数方程被称为母函数
16、。关于递推方程、特征方程和母函数之间的关系，由几个定理来阐述。定理 10-1 如果多项式u(x)的阶数低于特征方程f(x)的阶数， 该特征方程f(x)对应的母函数为 G(x)，则( )( )( ) (10-12)f xG xh x定理 10-2一个 n 级线性反馈移存器的状态具有周期性，且周期p 2n1。定理 10-3 如果序列 A = ak, k = 0, 1, 2, 具有最长周期p = 2n - 1， 则其特征多项式f(x)应为阶数位n 的既约多项式(所谓既约多项式是指不能分解因子的多项式)。定理 10-4 如果 n 级线性反馈移存器的特征多项式f (x)是既约的，则由其产生的序列A =
17、ak, k = 0, 1, 2, 的周期等于使 (xp + 1)被 f (x)整除的最小正整数p。10.2 习题详解10-1 已知一个 4 级线性反馈移位寄存器的特征方程为f(x) = x4 + x3 + 1，假设 4 个移位寄存器的初始状态为(a3, a2, a1, a0) = (1, 0, 1, 0)，试画出其组成方框图，并列出4 个移位寄存器状态更新表。解 组成方框图和状态更新表如图答10-1 所示。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - -
18、 - - - - - - 图答 10-3 4级寄存器产生的m序列a3a2a1a0bn, n = 0, 1, 2, (a) 组成原理方框图(b) 寄存器状态更新示意图1 0 1 0a3a2a1a01 1 0 11 1 1 01 1 1 10 1 1 10 0 1 10 0 0 11 0 0 00 1 0 00 0 1 01 0 0 111 0 0011 010110101101010-2 某 3 级线性反馈移位寄存器的特征方程为f(x) = x3 + x + 1， 试证明该特征方程是本原多项式。证明 f(x)为 3 阶多项式， 如果它能分解因子，则其因子只有x, (x + 1)，(x2 + 1)
19、，和(x2 + x+ 1)四种可能。不难验证，f(x)不能被上述四种因子整除，所以，f(x)是既约的。3 级线性反馈移位寄存器产生的序列的最长周期为p = 23 - 1 = 7。由于7423111xxxxxx即(2p+ 1)能被 f(x)整除。不难验证， (26 + 1)、(25 + 1)、(24 + 1)和(23 + 1)都不能被f(x)整除。综上所述， f(x)是本原多项式。10-3 某 4 级线性反馈移位寄存器的特征方程为f(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1，试证明该4 级线性反馈移位寄存器产生的序列不是m 序列。证明4 级线性反馈移位寄存器产生的序列的最长周期为p =
20、 24 - 1 = 15。由于55432111( )1xxxf xxxxx即(25 + 1)能被 f(x)整除，而5 p，因此， f(x)不是本原多项式，也就是说，该4 级线性反馈移位寄存器产生的序列不是m 序列。10-4 由一个 8 级线性反馈移位寄存器产生的m 序列中，在一个周期内有可能产生哪些长度的游程？每种长度游程的数目为多少？解8 级线性反馈移位寄存器产生的m 序列的周期为821255p名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - -
21、- - - - 该 m 序列的游程总数为8 12128N游程长度 k = 1 的数目为128642游程长度 k = 2 的数目为2128322游程长度 k = 3 的数目为3128162游程长度 k = 4 的数目为412882游程长度 k = 5 的数目为512842游程长度 k = 6 的数目为612822游程长度 k = 7 的数目为712812游程长度 k = 8 的数目为 1。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -