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1、商人过河数学模型专业信息与计算科学班级 113010102 姓名罗彪学号 11301010229 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 10 页 -一、问题重述3 名商人各带一名随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中。商人们怎样才能安全过河呢？二、问题分析商随过河问题可以视为一个多步决策过程，通过多次优化，最后获取一个全局最优的决策方案。对于每一步，即船由此岸驶向彼岸或由彼岸驶向此岸，都要对船上的人员作出决策，在保证两岸的商人数不少于随从数的前提下，在有限步
2、内使全部人员过河。用状态变量表示某一岸的人员状况，决策变量表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变化的规律，问题转化为在状态的允许变化范围内(即安全渡河条件)，确定每一步的决策，达到安全渡河的目标。三、模型假设1.每个商人和随从都会划船；2.只有一条船，且每条船上最多只能乘坐两个人；3.所有商人与随从之间没有矛盾，不会出现两人不愿意坐一条船的现象；4.船在渡河的过程中不受外界环境的影响。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 10 页 -四、模型的建立与求解1.模型建立kx 第k次渡河前此岸的商人数，ky第k次渡河前此岸的随从数kx,ky=0,1,2,3;k=1,2,kS
3、=(kx,ky,ck)过程的状态，其中kx,ky,ck 分别表示对应时刻此岸的商人，仆人数以及船的行进方向，其中c取值1表示即将向彼岸运行，为 0表示即将向此岸运行S 允许状态集合，S=(x,y)|x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2ku 第k次渡船上的商人数kv 第k次渡船上的随从数kd=(ku,kv)决策，D=(u,v)|21vu,ku,kv=0,1,2 允许决策集合k=1,2,因为k为奇数时船从此岸驶向彼岸，k为偶数时船从彼岸驶向此岸，所以状态kS随决策kd的变化规律是1kS=kS+k)1(kd状态转移律求kd D(k=1,2,n),使kS S,并 按
4、转 移 律 由1S=(3,3,1)到 达 状 态1nS=(0,0,0(1)。2.模型求解本模型使用 MATLAB 软件编程求解，运行结果如下 chouxiang 输入商人数目:3 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 10 页 -输入仆人数目:3 输入船的最大容量:2 ans=0 0 1 1 0 1 0 3 0 2 2 2 1 1 3 1 3 0 3 2 3 1 3 3 Matlab 程序function foot=chouxiang%程序开始需要知道商人数，仆人数，船的最大容量sr=input(输入商人数目:);pr=input(输入仆人数目:);c=input(输入
5、船的最大容量:);名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 10 页 -if prsr sr=input(输入商人数目:);pr=input(输入仆人数目:);c=input(输入船的最大容量:);end%状态数组生成zt=1;%状态数组存放在矩阵“A”中,zt 为插入新元素的行标初始为 1 for i=sr:-1:0 for j=pr:-1:0 if(i=j)&(sr-i)=(pr-j)|(i=0)|(i=sr)%(i=j)&(sr-i)=(pr-j)|(i=0)|(i=sr)为可以存在的状态的约束条件A(zt,1:3)=i,j,1;%表示此岸安全A(zt+1,1:3)=
6、i,j,0;zt=zt+2;end j=pr;end;end;名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 10 页 -%决策生成jc=1;for i=0:c for j=0:c if(i+j0)%满足条件D=(u,v)|1=u+v(P(k)+v(k,pp)T(pp)=(P(k)+v(k,pp);lmd(pp)=k;end end end mi=min(T(a);if mi=inf break;else d=find(T=mi);d=d(1);P(d)=mi;T(d)=inf;k=d;S(d)=1;名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 10 页 -end
7、 end if lmd(y)=inf foot=can not reach;return;end foot(1)=y;g=2;h=y;while(1)if h=x break;end foot(g)=lmd(h);g=g+1;h=lmd(h);end foot=A(foot,:);foot(:,3)=;五、模型评价与推广1.模型的优点:采用了较为成熟的数学理论建立模型，可行度比较高；模型的求解运用了强大的matlab软件，结果可信度高，便于推广；2.模型的缺点:没有找到商人数随从数及船的容量之间的数量关系；没有考虑名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 10 页 -到实际生活中，在安全渡河的前提下，商人过河的优先级应高于随从。3.该商人、随从过河模型可以完美解决此类商仆过河的决策问题，并且该模型还可推广至解决m 个商人和 n 个随从过河，以及小船的最大载重人数改变时的问题，只需适当地改变相关的语句即可轻松实现模型的转换。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 10 页 -