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1、必修5 3.3.2 简单的线性规划问题（教案）（第1课时）【教学目标】1知识及技能：使学生了解线性规划的意义及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；2过程及方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；3情态及价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力【重点】用图解法解决简单的线性规划问题【难点】准确求得线性规划问题的最优解【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第87页第89页） 1在教材第87页引例中，约束条件是为什么又叫线
2、性约束条件？（约束条件都是关于的一次不等式）目标函数是，为什么又叫线性目标函数？（目标函数是关于的一次解析式）在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题称为线性规划问题；满足线性约束条件的解叫做可行解；由所有可行解组成的集合叫做可行域；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解【基础练习】1给定下列命题：在线性规划问题中，最优解指的是目标函数的最大值或最小值；最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的变量；最优解指的是目标函数取得最大值或最小值的可行域；最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解其中真命题的序号是在教材第87页引例中，当直线经过可行域时，直线越向上（上，下）越
3、大，直线越向下（上，下）越小，为什么？（由的几何意义决定的）的几何意义是是直线在轴上的截距.解下列线性规划问题：（）求的最大值，使满足约束条件（）求的最大值和最小值，使满足约束条件答案：（）（）【典型例题】例1已知满足不等式组，试求的最大值时点的坐标，及相应的的最大值【审题要津】先画出平面区域，然后在平面区域内寻找使取最大值时的点并求最大值 解：如图所示平面区域，点，点，点的坐标由方程组得（），由，得=-,欲求的最大值，即转化为求截距的最大值，从而可求的最大值，因直线=-及直线=-平行，故作及=-的平行线，当过点（0，125）时，对应直线的截距最大，所以此时整点使取最大值，=3000+9001
4、25=112500 【方法总结】.在线性约束条件下，求的最值时，作图需准确，要区别目标函数所对应直线的斜率及可行域的边界直线的斜率的大小关系，分清目标函数所对应直线在轴上的截距及的关系.用图解法求最优解的步骤可概括为“画、移、求、答”变式训练：已知满足约束条件求目标函数的最大值，并求整点最优解解：可行域如图所示：四边形易求点（0，126），（100，0）由方程组：得点的坐标为（69,91)因题设条件要求整点使取最大值，将点（69，91），（70，90）代入，可知当时，取最大值为=60070+300900=69000，最优解为例2 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供的碳水化合物，的蛋白
5、质，的脂肪，食物含有碳水化合物，蛋白质，脂肪，花费28元；而食物含有碳水化合物，蛋白质，脂肪，花费21元为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物和食物多少？【审题要津】先将已知数据列成下表，使题意直观化食物碳水化合物蛋白质脂肪.解：设每天食用千克食物，千克食物，总成本为那么目标函数为二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域考虑，将它变形为随变化的一族平行直线是直线在轴上的截距，当取最小值时，的值最小当然直线要及可行域相交，即在满足约束条件时目标函数取得最小值由图可见，当直线经过可行域上的点时，截距最小，即最小解方程组得点的坐标为所以答：每
6、天食用食物约，食物约，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为元【方法总结】线性规划解决实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解，最后，要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解变式训练：某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲产品1吨，需要煤9吨，需电4瓦，工作日3个（一个2人劳动一天等于一个工作日），生产乙种产品1吨，需要用煤4吨，需电5瓦，工作日12个，又知甲产品每吨售价7万元，乙产品每吨售价12万元，且每天供煤最多360吨，供电
7、最多200瓦，全员劳动人数最多300人，问每天安排生产两种产品各多少吨；才能使日产值最大，最大产值是多少？解：设每天生产甲种产品x吨，乙种产品y吨，日产值为万元。则约束条件为：线性目标函数为=.可行域如图所示：由图可知当过点（）时，最大.=305（万元）答：最大产值为305万元 1已知满足约束条件则的最大值为（）（）（）（）（）若则目标函数的取值范围是（）（）（）（）（）给出平面区域如图所示，若使目标函数取得最大值的最优解有无穷多个，则的值为（）（）（）（）（）满足的整点（横、纵坐标为整数）的个数是（）（）（）（）（）给出下面的线性规划问题：求的最大值和最小值，使，满足约束条件要使题目中目标函
8、数只有最小值而无最大值，请你改造约束条件中一个不等式，那么新的约束条件是中，三个顶点的坐标分别为，点在内部及边界运动，则的最大值及最小值分别是和 .已知满足不等式,求的最小值解：作出可行域如图所示：作直线:，作一组及直线平行的直线:,(R) 是上面不等式组表示的区域内的点的坐标.由图可知：当直线:通过（0，1）时，取到最小值1，即=1.某工厂家具车间造型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产型桌子各多少张，才能获得利润最大？解：设每天生产型桌子张，型桌子张，每天获得利润千元则目标函数为：作出可行域： 把直线：向右上方平移至的位置时，直线经过可行域上的点，且及原点距离最大，此时取最大值解方程得的坐标为（2，3）.答：每天应生产型桌子2张，型桌子3张才能获得最大利润.（2009宁夏海南卷理）设满足（）（A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2，无最大值（C）有最大值3，无最小值 （D）既无最小值，也无最大值（2009北京卷理）若实数满足则的最小值为第 6 页