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1、2013 年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数 学（理科）本试卷共4页，21 小题，满分150 分考试用时120 分钟一、选择题：本大题共 8 小题，每小题5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设i为虚数单位，则复数i2i等于A12i55B12i55C12i55D12i552命题:p2,11xxR，则p是A2,11xxRB2,11xxRC2,11xxRD2,11xxR3已知(1,2)a，(0,1)b，(,2)kc，若(2)abc，则kA2B8C2D84一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A9 B10 C11 D
2、2325为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将两人最近的6 次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是x甲，x乙，则下列说法正确的是Axx甲乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛Bxx甲乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛Cxx甲乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛Dxx甲乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛6已知实数,x y满足11yxxyy，则目标函数2zxy的最大值为A3B12C5D67已知集合|4|1|5Mx xx，6Nx ax,且2,MNbI,则abA6B7C8D98对于函数()yf x，如果存在区间,m n，同时满足下列条件：()f x在
3、,m n内是单调的；当定义域是,m n时，()f x的值域也是,m n，则称,m n是该函数的“和谐区间”若函数11()(0)af xaax存在“和谐区间”，则a的取值范围是A(0,1)B(0,2)C1 5(,)2 2D(1,3)二、填空题：本大共 7 小题，考生作答6 小题，每小题5 分，满分30 分(一)必做题(9 13 题)9已知函数()yf x是奇函数，当0 x时，()f x=2log x，则1()4ff的值等于第 5 题图2 2 1 3 1 正视图侧视图俯视图第 4 题图名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 9 页 -10已知抛物线24xy上一点 P 到焦点F
4、的距离是5，则点 P 的横坐标是 _11函数sinsin3yxx的最小正周期为，最大值是12某学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中，取得A等级的概率分别为54、53、52，且三门课程的成绩是否取得A等级相互独立.记为该生取得A等级的课程数，其分布列如表所示，则数学期望E的值为 _.13观察下列不等式：112；11226；11132612；则第5个不等式为 (二)选做题(14 15 题，考生只能从中选做一题)14（坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线l过点(1,0)且与直线3（R）垂直，则直线l极坐标方程为15（几何证明选讲）如图，M是平行四边形ABCD的边AB的中点，直线l过点M分别交
5、,AD AC于点,E F若3ADAE，则:AFFC三、解答题：本大题共 6 小题，满分80 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤16（本题满分12 分）如图，在ABC中，45Co，D为BC中点，2BC.记锐角ADB且满足7cos225（1）求cos；（2）求BC边上高的值0123P6125ab24125第 15 题图F A B C D E M l 第 16 题图C B D A 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 9 页 -17（本题满分12 分）数列na的前n项和为122nnS，数列nb是首项为1a，公差为(0)d d的等差数列，且1311,b b b成等比数列
6、（1）求数列na与nb的通项公式；（2）设nnnbca，求数列nc的前n项和nT18（本题满分14 分）如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且13ADDB，点C为圆O上一点，且3BCAC点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PDDB（1）求证：PACD；（2）求二面角CPBA的余弦值19（本题满分14 分）某工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：万元）与日产量x（单位：吨）满足函数关系式3Cx，每日的销售额S（单位：万元）与日产量x的函数关系式35,(06)814,(6)kxxSxx已知每日的利润LSC，且当2x时，3L（1）求k的值；（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达
7、到最大，并求出最大值P A B D C O 第 18 题图名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 9 页 -20（本题满分14 分）设椭圆22221(0)xyabab的左右顶点分别为(2,0),(2,0)AB，离心率32e过该椭圆上任一点P作PQx轴，垂足为Q，点C在QP的延长线上，且|QPPC（1）求椭圆的方程；（2）求动点C的轨迹E的方程；（3）设直线AC（C点不同于,A B）与直线2x交于点R，D为线段RB的中点，试判断直线CD与曲线E的位置关系，并证明你的结论21（本题满分14 分）设()xg xe，()(1)()f xgxag x，其中,a是常数，且01（1）求
8、函数()f x的极值；（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式11xeax成立；（3）设12,+R，且121，证明：对任意正数21,aa都有：12121122a aaa名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 9 页 -一、选择题：本大题共 8 小题，每小题5 分，满分 40 分题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案A C B C D C B A 二、填空题：本大共 7 小题，考生作答6 小题，每小题5 分，满分30 分91104112（2 分），3（3 分）12591311111526122030142sin()16（或2cos()13、cos3sin1）151:
9、4三、解答题：本大题共 6 小题，满分80 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤16（本题满分12 分）解析：（1）27cos22cos125，29cos25，(0,)2，3cos5-5 分（2）方法一、由（1）得24sin1cos5，45CADADBCo，2sinsin()sincoscossin44410CAD，-9分在ACD中，由正弦定理得：sinsinCDADCADC，21sin25sin210CDCADCAD，-11分则高4sin545hADADB-12分方法二、如图，作BC边上的高为AH在直角ADH中，由（1）可得3cos5DBAD，则不妨设5,ADm则3,4DHm AHm-
10、8分注意到=45Co，则AHC为等腰直角三角形，所以CDDHAH，则134mm-10分所以1m，即4AH-12分17（本题满分12 分）解析：（1）当2n，时11222nnnnnnaSS，-2分又1 11112222aS，也满足上式，所以数列na的通项公式为2nna-3分112ba，设公差为d，则由1311,b b b成等比数列，得2(22)2(210)dd，-4 分解得0d（舍去）或3d，-5分所以数列nb的通项公式为31nbn-6分（2）由（1）可得312123nnnbbbbTaaaaL123258312222nnL，-7分121583122222nnnTL，-8分两式式相减得121333
11、3122222nnnnTL，-11分131(1)3135222512212nnnnnnT，-12分第 16 题图C B D A H 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 9 页 -18（本题满分14 分）解析：（）法 1：连接CO，由3ADDB知，点D为AO的中点，又AB为圆O的直径，ACCB，由3ACBC知，60CABo，ACO为等边三角形，从而CDAO-3分点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD平面ABC，又CD平面ABC，PDCD，-5分由PDAODI得，CD平面PAB，又PA平面PAB，PACD-6分（注：证明CD平面PAB时，也可以由平面PAB平面ACB得到
12、，酌情给分）法 2：AB为圆O的直径，ACCB，在Rt ABC中设1AD，由3ADDB，3ACBC得，3DB，4AB，2 3BC，32BDBCBCAB，则BDCBCA，BCABDC，即CDAO-3分点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD平面ABC，又CD平面ABC，PDCD，-5分由PDAODI得，CD平面PAB，又PA平面PAB，PACD-6分法 3：AB为圆O的直径，ACCB，在Rt ABC中由3ACBC得，30ABCo，设1AD，由3ADDB得，3DB，2 3BC，由余弦定理得，2222cos303CDDBBCDB BCo，222CDDBBC，即CDAO-3分点P在圆O所在平面上的正投
13、影为点D，PD平面ABC，又CD平面ABC，PDCD，-5分由PDAODI得，CD平面PAB，又PA平面PAB，PACD-6分（）法 1：（综合法）过点D作DEPB，垂足为E，连接CE-7分由（1）知CD平面PAB，又PB平面PAB，CDPB，又DECDDI，PB平面CDE，又CE平面CDE，CEPB，-9分DEC为二面角CPBA的平面角-10分由（）可知3CD，3PDDB，（注：在第（）问中使用方法1 时，此处需要设出线段的长度，酌情给分）3 2PB，则93 223 2PD DBDEPB，在Rt CDE中，36tan33 22CDDECDE，15cos5DEC，即二面角CPBA的余弦值为15
14、5-14分法 2：（坐标法）以D为原点，DCuu u r、DBuuu r和DPu uu r的方向分别为x轴、y轴和z轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系-8分（注：如果第（）问就使用“坐标法”时，建系之前先要证明CDAB，酌情给分）设1AD，由3ADDB，3ACBC得，3PDDB，3CD，P A B D C O P A B D C O E 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 9 页 -(0,0,0)D，(3,0,0)C，(0,3,0)B，(0,0,3)P，(3,0,3)PCuu u r，(0,3,3)PBu uu r，(3,0,0)CDuuu r，由CD平面PAB，
15、知平面PAB的一个法向量为(3,0,0)CDu uu r-10分设平面PBC的一个法向量为(,)x y zn，则00PCPBu uu ru uu rnn，即330330 xyyz，令1y，则3x，1z，(3,1,1)n，-12分设二面角CPBA的平面角的大小为，则315cos5|53CDCDuu u ruuu rn|n|，-13分二面角CPBA的余弦值为155-14分19（本题满分14 分）解析：（）由题意可得：22,06811,6kxxLxx x，-2分因为2x时，3L，所以322228k.-4分解得18k.-5分（）当06x时，18228Lxx，所以1818182818=2(8)1822
16、8186888Lxxxxxx（）（）-8分当且仅当182(8)8xx，即5x时取得等号-10分当6x时，115Lx-12分所以当5x时，L取得最大值6所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元-14分20（本题满分14 分）解析：（1）由题意可得2a，32cea，3c，-2分2221bac，所以椭圆的方程为2214xy-4分（2）设(,)C x y，00(,)P xy，由题意得002xxyy，即0012xxyx，-6分又220014xy，代入得221()142xy，即224xy即动点C的轨迹E的方程为224xy-8分（3）设(,)C m n，点R的坐标为(2,)t，,A C R三点共
17、线，/ACARu uu ru uu r，而(2,)ACmnuuu r，(4,)ARtu uu r，则4(2)nt m，42ntm，P A B D C O y z x 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 9 页 -点R的坐标为4(2,)2nm，点D的坐标为2(2,)2nm，-10分直线CD的斜率为222(2)22244nnmnnmnmkmmm，而224mn，224mn，2mnmknn，-12分直线CD的方程为()mynxmn，化简得40mxny，圆心O到直线CD的距离224424drmn，所以直线CD与圆O相切-14分21（本题满分14 分）解析：（1）()(1)()f
18、xgxag x，-1分由()0fx得，(1)()gxagx，(1)xax，即(1)()0 xa，解得xa，-3分故当xa时，()0fx；当xa时，()0fx；当xa时，()f x取极大值，但()f x没有极小值-4分（2）111xxeexxx，又当0 x时，令()1xh xex，则()10 xh xe，故()(0)0h xh，因此原不等式化为1xexax，即(1)10 xea x，-6分令()(1)1xg xea x，则()(1)xgxea，由()0gx得：1xea，解得ln(1)xa，当0ln(1)xa时，()0g x；当ln(1)xa时，()0gx故当ln(1)xa时，()g x取最小值l
19、n(1)(1)ln(1)gaaaa，-8分令()ln(1),01as aaaa，则2211()0(1)1(1)as aaaa故()(0)0s as，即ln(1)(1)ln(1)0gaaaa因此，存在正数ln(1)xa，使原不等式成立-10分（3）对任意正数12,a a，存在实数12,xx使11xae，22xae，则121 1221 12212xxxxa aeee，121 12212xxaaee，原不等式12121122a aaa1 1221212xxxxeee，1 1221122()()()gxxg xg x-14分由（1）()(1)()f xg a恒成立，故(1)()(1)()gxag xg a，取1212,1xx ax，即得11221122()()()gxxg xg x，即1 12 21212xxxxeee，故所证不等式成立-14分名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 9 页 -名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 9 页 -