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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 6.1 粒子运动状态的经典描述 一、 空间 1、 空间的建立 在经典力学中,我们常常利用物体的坐标和动量描述物体的力学运动状态；当然这种方法也可以用于描述遵守经典力学规律的近独立粒子；假如粒子的自由度为r,就粒子在任一时刻的力学运动状态由粒子的 r 个坐标 q ,q, , q 和相应的 r 个广义动量 P ,P , , P 在该时刻的数值确定；粒子的能量 是广义坐标和广义动量的函数,即 = q,q, ,q ; P ,P , , P 当存在外场时, 仍是描述外场参量的函数；为了形象地描述粒子的力学运动状态,我们用 q ,q,
2、, q ；P ,P , , P 共 2r 个变量为直角坐标,构成一个 2r 维空间,称为粒子的相空间或者 空间；粒子在某一时刻的力学运动状态 q,q, , q ; P,P , , P 可以用 空间中的一个点表示, 称为粒子运动状态的代表点；当粒子的运动状态随时间转变时,代表点相应地在 空间中移动, 描画出一种轨迹,称为相轨迹；由N个粒子组成的系统在某一时刻的一个特定的微观状态, 在 空间中用N个代表点表示；随着时间的变化,系统运动状态的变化由N个代表点在 空间中的N条运动轨迹,即N条线代表；2、性质i 空间是人为想象出来的超越空间,是个相空间； 引进它的目的在于使运动状态的描述几何化、形象化,
3、以便于进行统计；粒子； 空间中的一个代表点是一个粒子的微观运动状态而不是一个ii 在经典力学范畴, 在无相互作用的独立粒子系统中,任何粒子总可找到和它相应的 空间来形象地描述它的运动状态,但不是全部的粒子的运动状态可以在同一 空间中描述； 如一个自由度数为 3 的粒子,它需在一个 6 维的 空间中描述；一个自由度数为 5 的粒子,它的 空间是10 维的,即需在 10 维的 空间中描述它的运动状态；二、自由粒子所谓自由粒子,指的是不受外力作用可以自由运动的粒子；在通常情形下,我们仍常常把可以忽视外力作用的粒子看作自由粒子；例如,由电子都可以被看作自由粒子；当不存在力场时,抱负气体的分子或金属中的
4、自自 由 粒 子 有 三 个 自 由 度 , 确 定 它 的 运 动 状 态 需 要 三 个 坐 标 （ x,y,z） 和 三 个 动 量（P ,P ,P）；因此,它的运动可用六维相空间中的点来描述；经典力学告知我们,自由粒子的能量就是它的动能名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - =（学习必备欢迎下载+P+PP）最简洁的 空间运动是一维自由粒子的运动,其粒子运动状态可以在纸面上画出；我们用 x和 P 表示粒子的坐标和动量,以 x 和 P 为直角坐标, 这样构成二维的 空间； 如下列图设一维容器的长度为 L,就 x 可取
5、 0 到 L 中的任何数值；对于遵从经典力学运动规律的粒子,P 原就上可以取 -到 中的任何数值； 这样,粒子的任何一个运动状态 （x,P）可由 空间在上述范畴中的一个点代表；当粒子以肯定的动量 P 运动时,运动状态代表点的轨迹是平行于 x 轴的一条直线, 直线与 x 轴的距离等于 P ；不同的动量 P 可以描画出不同的直线；对于 3 维的自由粒子, 空间是 6 维的,不行能在纸上画出它的图形来,但可把这6 维的 空间分解为三个二维的子空间,在一个子空间中描述粒子沿一个坐标轴的运动；三、线性谐振子质量为 m的粒子在弹性力 f=-Ax 的作用下,将在原点邻近作一维简谐振动,称为线性谐振子；振动的
6、圆频率 =,A 为常数,是弹性力系数；M为粒子质量；在肯定的条件下,分子内原子的振动,晶体中原子或离子在其平稳位置邻近的振动都可以看成是线性谐振子的运动；线性谐振子的自由度为1；任一时刻粒子离开原点的位移为x,相应的动量P=m ,其能量是动能和势能之和,为=+x+=1 +mx,就式可化为：假如给定振子的能量名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 就以 x 和 P 为直角坐标构成二维的学习必备欢迎下载 空间的一个代 空间,振子在任一时刻的运动状态由表点来表示；当振子的运动 状态随时间而变化时,运动状态的代表点在空间中描画出
7、一条轨迹,每个点的坐标 x 和动量 P 在能量肯定时,满意式；我们可以在二维 空间中画出一个半轴分别为和 的一个椭圆,椭圆的面积等于；由此可见, 在 空间中由能量相等的代表点所联结成的等能面是半轴长度分别为和的椭圆；能量不同,椭圆也就不同； 4.2 粒子运动状态的量子描述一、量子描述1、 De Broglie 德布罗意 关系实践和理论都告知我们,微观粒子具有明显的波粒二象性；一方面,它们是客观存在的单个实体, 另一方面, 在适当的条件下又可以观看到微观粒子具有干涉、衍射等为波动所,特有的物理现象；依据De Broglie德布罗意 的波粒二象性理论,粒子能量与圆频率动量与波矢的关系为=上式称为
8、De Broglie关系,适用于一切微观粒子,其中名师归纳总结 =,称（或 h）为 Planck 常数第 3 页,共 23 页它是量子物理中的基本常数；量纲为 时间 能量 = 长度 动量 = 角动量 ；这类物理量常称为作用量,因此也称基本作用量子；用宏观现象的单位（KgmS）来量度,的数值很小；反之,宏观世界用作用量子为单位时,其参量将有特别大的数值,这样,Planck常数供应了一个判据：当一个物质系统的任何具有作用量纲的物理量具有与相比- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 拟的数值 时,这个物质系统是一个学习必备欢迎下载来量度, 数值特别大 时,量子系统
9、 ；反之,物理量用该系统为 经典系统 ；2、测不准关系当我们用粒子和波两种图象去描述同一个微观粒子时,我们不能把经典的宏观粒子的全部属性或经典波动的全部属性都强加给这个微观粒子；例如,当我们把经典力学中表征宏观粒子运动状态的位置（即坐标） 和动量的观念用于微观粒子时,微观粒子的波动性就会对这种观念加以某种“ 限制” ；1927 年海森堡（ W.HeiSenberg ）指出,要同时确定微观粒子的坐标和动量是不行能的,它们的精确度有一个原就上的限度,如用 x 表示微观粒子在 x坐标轴上位置的精确度或者位置的可能范畴,用 P 表示同一微观粒子同一时刻在 x 坐标方向上动量重量的精确度或者动量重量的可
10、能范畴,就k x Ph x 和 P 之间满意这就是闻名的海森堡测不准关系；上式说明：如精确地指定微观粒子的位置,即指定粒子精确位置于 x 出或者 x=0,就由测不准关系式,必定得出 P,这表示微观粒子的动量可能具有 P P + 之间的任何数值,因而粒子的动量是不确定的；反之,如精确的指定微观粒子的动量,就粒子的坐标也是不确定的；这说明微观粒子的运动没有确定的轨迹,运动不是轨道运动；在经典力学的理论中,粒子可以同时具有确定的坐标和动量；这并不是说在实际上我们可以任意的精确度做到这一点,而是说在经典力学的理论中,原就上不答应对这精确度有任何限制； 由于普朗克常数 学的体会学问发生冲突；3、量子描述
11、h 的数值很小, 所以测不准关系在任何意义上都不会跟宏观物理在量子力学中微观粒子的运动状态称为量子态；量子态由一组量子数表征；这组量子数的数目等于自由度数；以下举例说明几种粒子的量子数；（1）外磁场中的电子自旋 电子自旋 .swf电子具有自旋角动量 和自旋磁矩；两者之比=-名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 其中 e 为电子电荷的肯定值,学习必备欢迎下载假如存在 z 方向的m为电子的质量； 在原子物理课讲过,外磁场,磁感强度为,电子的自旋角动量在外磁场方向的投影有两个可能的值,即 S =；自旋磁矩在外磁场方向的投影相
12、应为 =；电子在外磁场的势能为-=B ；因此描述处在外磁场中的电子自旋只要一个量子数 S ,它只能取两个分立的数值（2）自由粒子所谓自由粒子,指的是不受外力作用可以自由运动的粒子；在通常情形下,我们仍经常把可以忽视外力作用的粒子看作自由粒子i 一维自由粒子L 的一维容器中,由为简洁起见,我们第一争论一维的自由粒子；设粒子处在长度为量子力学知,在边界满意周期条件,就有2波矢量 k=n, n=0, 1, 2其中是波矢；将上式代入=,得一维自由粒子的动量为：P=n, n=0, 1,这里, n表征一维自由粒子运动状态的量子数；就一维自由粒子的能量由经典力学可得名师归纳总结 =, n=0, 1,第 5
13、页,共 23 页2式和说明粒子的动量是分立的；这是局域在有限空间范畴的量子特点；分立的能量值称为能级,由式可求得相邻两能级的能级- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 间 距 为 E=E- E学习必备欢迎下载-=ii三维自由粒子1,设粒子处在边长为L 的立方容器中,就粒子的三个动量重量分别为P=n, n=0, 1, 2P=n, n=0, 2P =n , n=0, 1, 2式中 n, n, n是三维自由粒子运动状态的量子数；能量为=（ P+P+P）=由此可知,能级取决于（时, n, n）的数值；因此处于同一能级上的量子态不止一个；例如：当=, n可以取6 组不
14、同的值,即: n=0 n=0 n= 1 n=0 n= 1 n=0 n = 1 n=0 n=0 也就是说,能级上的量子态有6 个,我们就称能级是简并的简并度为6； 某一能级的量子状态不止一个,一个能级的 二、粒子的量子状态在 空间中的描述量子态数 称为该能级的 简并度名师归纳总结 现在我们把测不准关系的结论应用到 空间中；第 6 页,共 23 页可以证明,对于自由度为r 的粒子,每一个量子状态在 空间中占据大小为h 的一个体积元； 换句话说, 粒子每一个可能的状态的状态对应于 空间中大小为h 的一个体积元,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎
15、下载我们可以依据测不准关系来懂得；测不准关系指出,在量子力学所容许的最精确的描述中,粒子坐标的不确定值 q 和与之共扼的动量的不确定值 P 满意Pqh 因此假如用广义坐标 q 和广义动量 P 在 空间中描述粒子的运动状态时,一个运动状态必定对应于 空间中的一个体积元,我们称这个体积元为一个相格；（由于微观粒子的运动受测不准关系限制, 因而在 空间中表示同一空间运动状态的代表点将分布在一块小体积内,这块小体积称为相格；）对于自由度为 1 的粒子,这个相格（体积元）的大小为 h；如果粒子的自由度为 r ,每一个自由度的坐标和动量的不确定值 q 和 P 分别满意测不准关系 q P h,就 q q P
16、 Ph因此,对于自由度为r 的粒子,每一个可能的状态对应于h 的一个相 空间中大小为格（体积元）；的例如,三维自由粒子的一个量子态对应于 空间中体积为h 的一个相格；nsV 表示容器的体积；在体积V 内,在 P 到 P +d P ,P到 P+d P ,P 到 P +d P动量范围内,三维自由粒子可能的量子状态数就为名师归纳总结 这个结果也可以直接从P =n,P=n,P=n 得出；P 的第 7 页,共 23 页证明：设容器为边长L 的正方形 V=L ；因此在 P到 P +d P 的范畴内,可能的数目 d n由 P=n,得P , P的数目为dn=d PP 到 P+d P和 P 到 P +d P的范
17、畴内,可能的- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - dn=d P学习必备欢迎下载dn =d P,P到 P+d P,P 到 P +d P内,自由粒子的量就在体积 V=L 内, P 到 P +d P子态数为dn dn dn =（）dP dP dP = dP dP dP其中利用了 =,与测不准关系所得结果一样；在某些问题中,往往用动量空间中的球极坐标 p,来描写自由粒子的动量；就P =Psin cos,P =Psin cos,P =cos 这时动量空间体积元为 P sin dpd d；所以在体积 V 内,动量大小在 P 到 P+dP,动量方向在 +d,到 +d 的
18、范畴,自由粒子可能的状态为假如再对d和积分,d由 0 积分到,由 0 积分到 2,得sin=4便可求得在体积V 内,动量肯定值在P到 P+dP范畴内（动量方向任意）,自由粒子可能的状态数为P名师归纳总结 dP 将 =代入上式得,在体积第 8 页,共 23 页V内,在 到 +d 范畴内自由粒子的可能状态数为2m d=2md定义： D（ ）=2m表示单位能量间隔的可能量子状态数称为态密度；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载应当说明,上述粒子的状态数没有考虑；粒子的自旋；假如粒子的自旋不等于零,仍要计及自旋的奉献；例如, 假如粒子的自旋量子
19、数为2；,自旋角动量在动量方向的投影有两个可能值,上述粒子的状态数都应乘以因子 4.3 系统微观粒子运动状态的描述一、经典力学描述设有 N个粒子组成的系统,每个粒子的自由度为 r ,确定任一个例如第 i 个粒子在任一时刻的力学运动状态,需要有 r 个广义坐标,和 r 个广义动量,的数值来确定, 就整个系统在任一时刻的力学运动状态需要有 Nr 个广义坐标和 Nr 个广义动量来确定, 也就是说需要有 2Nr 个变量,；,i=1,2, N来确定整个系统的力学运动状态；（全同粒子 ：内禀属性 质量、电荷、自旋等 完全相同的粒子）在经典物理中,全同粒子是可以辨论的；主要缘由是经典粒子的运动是轨迹运动,由
20、广义坐标和广义动量就可以确定它的运动轨迹,所以只要确定每一个粒子的初始位置,就可以确定其后任一时刻的位置；所以尽管全同粒子的属性完全相同,原就上仍旧可以辨认；既然全同粒子可以辨论,假如在含有多个全同粒子的系统中,将任意两个粒子的运动状态加以交换,系统的力学运动状态在交换前后也是不同的例如第 i 个粒子和第 j 个粒子的运动状态分别是（ q ,q , q,P ,P , P）和（ q ,q , q ;P ,P , P） , 两者交换后,第 i 个粒子的运动状态为（q ,q , q ;P ,P , P）,第 j 个粒子的运动状态为（ q ,q , q,P ,P , P）；转变了它们的力学运动状态；如
21、下列图 空间中的一个点表示一个粒子在某一时刻的力学运动状态就由 N 个全同粒子组成的系统在某一时刻的力学运动状态可在 空间中用 N 个点表示；依据经典物理中全同粒子的可辨论性可知,假如交换 空间中任意两个点的位置,整个系统的微观状态将被转变；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载三、量子力学描述1、全同性原理微观粒子的全同性原理指出,在量子物理中,全同粒子是不行辨论的,在含有多个全同粒子的系统中,将任何一对全同粒子加以交换,不转变整个系统的微观运动状态；这个原理与经典物理关于全同粒子可以辨论的论断是截
22、然相反的；导致这两个完全相反的论断的依据缘由是： 经典粒子的运动是轨道运动,原就上可以跟踪经典粒子的运动而加以辨认；而量子粒子具有波粒二象性,它的运动不是轨道运动,原就上不行能跟踪量子粒子的运动而加以辨认；假设在 t=0 时已知两个粒子的位置,假如是g 经典粒子,它们将沿着自己确定的轨迹运动, 对于量子粒子来说,由于波动性而使它们的波动快速扩散而相互重叠,在 t0 时已不能辨认哪个粒子；如下列图2 系统微观运动状态的量子描述 i 定域系和非定域系 假如量子粒子是定域的,其粒子是可以辨论的；确定系统的微观状态要求确定每个粒 子的个体量子态；对于非定域系统,粒子运动是非定域的,确定非定域系统的微观
23、状态不行能要求确知 每一个粒子所处的个体量子态,而只能确定每一个个体量子态上各有多少个粒子（简并度 ）；ii 玻耳兹曼系统,费米系统,玻色系统 由费米子组成的系统称为费米系统,遵从泡利不相容原理； 泡利不相容原理：在原 子中不能容纳运动状态完全相同的电子； 由玻色子组成的系统称为玻色系统,不受泡利不相容原理的约束；在统计物理学进展的早期,玻耳兹曼建立了玻耳兹曼系统：即把可辨论是全同近独立 粒子组成,且处在一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统；举例说明三种系统的区分：设系统含有两个粒子；粒子的个体量子态有3 个；假如这两个粒子是玻耳兹曼粒子,玻色子和费米子时,分别争论系统各有哪些可能的微观状态
24、；玻耳兹曼系统：粒子可以辨论,每一个个体量子态能够容纳的粒子数不受限制；以 A、B表示可以辨论的两个粒子,它们占据3 个个体量子态,可以有以下的方式：名师归纳总结 量子态 1 量子态 2 量子态 3 第 10 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载AB AB AB A B B A A B B A A B B A 因此,对于玻耳兹曼系统,可以有 9 个不同的微观状态；玻色系统： 粒子不行辨论,每一个个体量子态所能容纳的粒子数不受限制；由于粒子不 可辨论,令 A=B；两个粒子占据三个个体量子态有以下的方式：量子态 3 量子态
25、1 量子态 2 AA AA AA A A ；两个粒子占据3 个A A A A 因此,对于玻色系统,可以有6 个不同的状态；费米系统： 粒子不行辨论,每一个个体量子态最多能容纳一个粒子个体量子态有一下的方式：名师归纳总结 量子态 1 量子态 2 量子态 3 第 11 页,共 23 页A A A A A A 因此,对于费米系统,可以有3 个不同的微观状态；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 4.4 分布和微观状态一、分布（粒子在各能级的分布）设有一近独立粒子系统,有确定的粒子数 N,能量 E 和体积 V 以 l=1,2, 表示粒子的能级,
26、 表示能级 的简并度；就 N个粒子在各个能级的分布可表示为：能级：, 简并度： , 粒子数： a,a, a 它说明：能级 上有 a 个粒子,能级 上有 a 个粒子, ,能级 上有 a 个粒子, ,等等；我们用 a 表示数列 a ,a, a 称为一个分布；对于具有确定的 N,E,V的 系 统,分 布 a 必 须 满 足 条 件 a =N ,E a=E 给定一个分布a ,就确定了处在每一个能级 上的粒子数 a ；分布和微观状态是两个不同的概念,与一个分布 a 相应的系统的微观状态往往可以有如干个； 这微观状态数对于玻耳兹曼系统,玻色系统和费米系统明显不同,下面分别加以争论；二、微观状态数1、玻耳兹
27、曼系统粒子可以辨论,即可得粒子编号；这样,当交换粒子时,将转变系统的占据方式,因此转变了系统的状态；例如有三个可区分的粒子的系统,其排列是一种全排列,交换粒子,名师归纳总结 可以得到 3.=6 种占据方式,即系统有3. 个微观状态；第 12 页,共 23 页有 N个可辨论的粒子系统,其粒子占据能级的分布为a. 第一考虑, a 个离子占据能级上的 个量子态时,第一个粒子可以占据个量子态中的任何一个态,有种可能的占据方式；由于每个量子态能够容纳的粒子数不受限制,在第一个粒子占据了某一个量子态以后,其次个粒子仍旧有种的占据方式, ,这样a 个编了号的粒子占据 个量子态共有 种可能的占据方式,因此a
28、,a, a 个编了号的粒子分别占据能级, 上的量子态共有种方式；现在考虑将N个粒子相互交换,不管是否在同一能级上,交换数是N. 在这个交换中应当除去在同一能级上a 个- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 粒子的交换a . ,因此得因子N./ 学习必备欢迎下载；这样,可区分粒子系统；玻耳兹曼系统,其分布为 a 的微观状态数为=2、玻色系统粒子不行辨论,每一个个体量子态能容纳的粒子数不受限制；为了求玻色系统的一个分布所包含的微观状态数；我们先来争论一个问题,将10 个相同的球放进6 个格子,每个格 子 可 容 纳 的 球 数 不 限 , 问 多 少 种 放 法
29、 下 面 画 出 任 意 的 两 种 放法 | | | , | | | | | ,上图启示我们,为了运算全部可能的放法,可以设想10 个球被 5 个可以移动的隔板隔成 6 部分,假如把球和隔板都当作被排列的元素,就它们的任何一种全排列都对应一种放法；已知 15 个元素是全排列数为15. ；但是假如考虑到球是全同的隔板也是全同的,两球相换或者两板相换都不对应新的放法所以仍需从 15. 中除去两球互换的方式数 10. 和两板互换的方式数 5. ；综上所述,不同的放法共有 种；同理, a 个玻色子在 个量子态中的安排情形也是一样的,我们可以把 a 个玻色子当作 a 个全同小球, 把 个量子态当作 （
30、-1 ）个全同隔板,使用类似的方法将得到 a 个玻色子在 个量子态中的安排方式数（微观状态数）为由于 每一个能级都有相同的表达式,所以一个分布包含的微观状态数为=3、费米子粒子不行辨论,每一个个体量子态最多只能容纳一个粒子；同样,我们先求 能级的a 个费米子安排到 个量子态的可能方式数；由于费米子遵从泡利不相容原理,所以必须假设 a ；假如先将粒子编号,（实际不能编号）；明显,第一个粒子有 种可能的安排方法,其次个粒子就有（-1 ）种可能的安排方法,依此类推,第 a 个就有（ -a +1）种安排方法,因此,满意泡利不相容原理的编了号的 a 个粒子按 个量子态的安排方式数为名师归纳总结 - -
31、- - - - -第 13 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - （-1 ） （ -a+1）=学习必备欢迎下载考虑到费米子的全同性,同一能级中的任何二个粒子的交换（a 个粒子有 a ！种互换方式）,并不对应新的安排方式,所以a 个费米子安排到个量子态中的可能方式为由于对于每一能级都有相同的表达方式,所以一个分布所包含的微观态数为：= 4、经典极限条件假如在 Bose和 Fermi 系统中,任一能级 上的粒子数均远小于该能级量子态数,即1 （对全部的l ）就玻色系统的微观状态数可以近似为= = 费米系统的微观状态数可以近似为= =名师归纳总结 =第 14 页,共 23
32、 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当 1 时 存在着=学习必备欢迎下载=所以称1 为经典极限条件,也称非简并性条件；表示全部能级中的粒子数远小于量子态数；这意味着,平均而言处在每一个量子态上的粒子数均远小于 1；当满意非简并条件时,不论是 Bose 仍是 Fermi 系统与分布 a 相对应的微观状态数都近似等于可区分粒子系统微观状态数除以 N.一、经典统计中的分布和微观状态数在经典力学中,粒子的坐标和动量是能够唯独确定的；对于自由度数为 r 的粒子在某一时刻的运动状态就可以由 r 个广义坐标和 r 个广义动量 （q ,q , q ,P ,P , P
33、 ）来确定, 相应于 空间中的一个代表点,随着时间的推移；将在 空间中描画一条曲线；对于由 N 个粒子组成的系统来说,在某一时刻的运动状态就由 Nr 个广义坐标和 Nr 个广义动量（q ,q , q, P ,P , P）（ i=1,2, N）共 Nr 个变量来确定,相应于 空间中的N个代表点；随着时间的推移,将在 空间中描画 N 条曲线, N条相轨迹；也就是说 q 和 p是连续变量,因此粒子和系统的微观状态也是一个连续的量,是不行数的；但是为了运算粒子的微观状态数,我们可以将 空间划分成大小相等的小体积,即相格；划分方法：将第 i 个连续变量 q 和 p 划分成大小相等的很多小间隔,满意 q
34、p =h ,其中 h 是与 i 无关的具有固定大小的任意小量,量纲为 长度 动量 ；因此就可以由粒子运动状态在 空间中的代表点, 所在的相格来确定粒子的运动状态；对于自由度为 r 的粒子可以将 空间划分成 q q p p = h大小的相格；处在同一相格中的代表点,代表相同的运动状态；相空间被分割成小相格的尺寸选的愈小,即 h 选得愈小,粒子状态的确定明显就愈精确；在经典描述中,h 可以选得任意小,但是正确的量子力学描述对于 h 施加一个限制,挑选h 的最小值为普朗克常数h 挑选 h h 会导致确定粒子的精确度超过量子理论所答应的程度；名师归纳总结 对于由N 个粒子组成的系统的经典统计描述,我们
35、可以将 空间划分为很多体积元第 15 页,共 23 页（l=1,2, ）, 以表示运动状态处在 内的粒子所具有的参量；由于一个粒子 （自由度数为r ）的微观运动状态用 空间中大小为h的相格确定,就 内粒子的运动状- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 态数为学习必备欢迎下载N个粒子处在各 的分布可以；这个量与量子统计中的简并度相当；因此,描述如下：体积元： , , , “ 简并度”, ,能量 , , 粒子数 a ,a, , a 经典粒子可以辨论,处在一个相格内的经典粒子数不受限制；因此,在经典统计中与分布 a 对应的微观状态数可以参照= 4.5 玻耳兹曼分布
36、我们在上节求出了与一个分布相应的系统的微观状态数,等概率原理 认为：对于处于平稳状态的孤立系统,每一个可能的微观状态显现的概率是相等的；然而不同的分布 a 有不同的显现概率,微观状态数最多的分布,必定显现在概率最大,称为最概然分布（最可几分布）；这种概率最大的分布对应系统的平稳态,或者说这是系统平稳态的分布；这样,求平稳态的分布,就是在各种分布中,求含有微观状态数最多的那种分布；本节推导玻耳兹曼系统粒子的最概然分布,称为玻耳兹曼分布. 在推导玻耳兹曼分布以前,先证明一个近似等式一、 Stirting 斯特令 公式lnm.=mlnm-1 其中 m是远大于 1 的整数；名师归纳总结 - - - -
37、 - - -第 16 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载证明： lnm. =ln1+ ln2+ lnm 所以上式右侧等于图中一系列矩形面积之和,图各矩形面积的宽为 1,高分别为 ln1 ,ln2 , , lnm 当 m远大于 1 时,矩形面积之和近似等于曲线 lnx 下的面积； 所以由积分定义： lnm. =xlnx-xmlnm-1 二、 Bdtzmann 分布对于玻耳兹曼系统的微观状态数我们可以简写为=求最概然分布就是求 为最小的分布；把 看作多元变数的函数,这样求最概然分布就归结为求多元变数函数的极值问题,因此最概然分布是使 为极大值的分布
38、；由于 ln随 变化是单调的,为了使运算简便,我们用求 ln 的极大值来代替求 的极大值,对式取对数有+ln= lnN.-设全部的 a 都很大,利用斯特令公式可得上式写为名师归纳总结 +ln=NlnN-1-+NlnN-第 17 页,共 23 页 =NlnN-N-+由于近独立粒子系统满意=N 所以上式可得ln= 为了求得 a 为极大的分布,必有+ ln=0=- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 =- =- =-其中利用了 N=0 另外仍需满意 E=0 我们用 Lagrange 未定乘子法求解方积；中减去,得用未定乘子 和 乘 N和 E,并从 lnln- N- E=-+ + E a =0 依据拉氏乘子法原理,每个 a 的系数都等于 0,所以得ln + + E =0 即a=e此即 Boltzmann 系统的最概然分布,拉氏乘子 和 由条件称为麦克斯韦玻耳兹曼分布或玻耳兹曼分布； N=和 E=来确定,即N=E=a =e是在最概然分布下,处在能级的粒子数；能级上有 个量子态,处在其中任何量子态的平均粒子数应当是相同的；因此,处在能量为E 上量子态S 上的平均粒子为名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 23 页精选学习资料 -