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1、学习必备欢迎下载6.1 粒子运动状态的经典描述一、 空间1、空间的建立在经典力学中，我们经常利用物体的坐标和动量描述物体的力学运动状态。当然这种方法也可以用于描述遵守经典力学规律的近独立粒子。如果粒子的自由度为r，则粒子在任一时刻的力学运动状态由粒子的r 个坐标 q ，q， q 和相应的r 个广义动量P ，P ， P 在该时刻的数值确定。粒子的能量 是广义坐标和广义动量的函数，即 =(q，q，q ; P ，P ， P ) 当存在外场时，还是描述外场参量的函数。为了形象地描述粒子的力学运动状态，我们用q ，q， q ；P ，P ， P 共 2r 个变量为直角坐标，构成一个2r 维空间，称为粒子的
2、相空间或者空间。粒子在某一时刻的力学运动状态 (q，q， q ; P，P ， P ) 可以用 空间中的一个点表示， 称为粒子运动状态的代表点。当粒子的运动状态随时间改变时，代表点相应地在空间中移动， 描绘出一种轨迹，称为相轨迹。由N个粒子组成的系统在某一时刻的一个特定的微观状态， 在空间中用N个代表点表示。随着时间的变化，系统运动状态的变化由N个代表点在空间中的N条运动轨迹，即N条线代表。2、性质i) 空间是人为想象出来的超越空间，是个相空间。 引进它的目的在于使运动状态的描述几何化、形象化，以便于进行统计。空间中的一个代表点是一个粒子的微观运动状态而不是一个粒子。ii) 在经典力学范围，在无
3、相互作用的独立粒子系统中，任何粒子总可找到和它相应的空间来形象地描述它的运动状态，但不是所有的粒子的运动状态可以在同一空间中描述。 如一个自由度数为3 的粒子，它需在一个6 维的 空间中描述；一个自由度数为5 的粒子，它的空间是10 维的，即需在10 维的 空间中描述它的运动状态。二、自由粒子所谓自由粒子，指的是不受外力作用可以自由运动的粒子。在通常情况下，我们还经常把可以忽略外力作用的粒子看作自由粒子。例如，当不存在力场时，理想气体的分子或金属中的自由电子都可以被看作自由粒子。自 由 粒 子 有 三 个 自 由 度 ， 确 定 它 的 运 动 状 态 需 要 三 个 坐 标 （ x,y,z）
4、 和 三 个 动 量（P,P,P）。因此，它的运动可用六维相空间中的点来描述。经典力学告诉我们，自由粒子的能量就是它的动能精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 23 页学习必备欢迎下载=（P+P+P）最简单的 空间运动是一维自由粒子的运动，其粒子运动状态可以在纸面上画出。我们用 x和 P 表示粒子的坐标和动量，以 x 和 P 为直角坐标， 这样构成二维的 空间。 如图所示设一维容器的长度为L，则 x 可取 0 到 L 中的任何数值。对于遵从经典力学运动规律的粒子，P 原则上可以取-到中的任何数值。这样，粒子的任何一个运动状态
5、（x,P） 可由 空间在上述范围中的一个点代表。当粒子以一定的动量P 运动时，运动状态代表点的轨迹是平行于x 轴的一条直线， 直线与 x 轴的距离等于P 。不同的动量P 可以描绘出不同的直线。对于 3 维的自由粒子，空间是6 维的，不可能在纸上画出它的图形来，但可把这6 维的空间分解为三个二维的子空间，在一个子空间中描述粒子沿一个坐标轴的运动。三、线性谐振子质量为 m的粒子在弹性力f=-Ax的作用下，将在原点附近作一维简谐振动，称为线性谐振子。振动的圆频率=，A 为常数，是弹性力系数。M为粒子质量。在一定的条件下，分子内原子的振动，晶体中原子或离子在其平衡位置附近的振动都可以看成是线性谐振子的
6、运动。线性谐振子的自由度为1。任一时刻粒子离开原点的位移为x，相应的动量P=m ，其能量是动能和势能之和，为=+x=+mx如果给定振子的能量，则式可化为：+=1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 23 页学习必备欢迎下载则以 x 和 P 为直角坐标构成二维的 空间，振子在任一时刻的运动状态由空间的一个代表点来表示。当振子的运动状态随时间而变化时，运动状态的代表点在空间中描绘出一条轨迹，每个点的坐标x 和动量P 在能量一定时，满足式。我们可以在二维 空间中画出一个半轴分别为和的一个椭圆，椭圆的面积等于。由此可见， 在空间中由
7、能量相等的代表点所联结成的等能面是半轴长度分别为和的椭圆。能量不同，椭圆也就不同。4.2 粒子运动状态的量子描述一、量子描述1、 De Broglie(德布罗意 ) 关系实践和理论都告诉我们，微观粒子具有明显的波粒二象性。一方面，它们是客观存在的单个实体， 另一方面， 在适当的条件下又可以观察到微观粒子具有干涉、衍射等为波动所特有的物理现象。根据De Broglie(德布罗意 )的波粒二象性理论，粒子能量与圆频率，动量与波矢的关系为=上式称为De Broglie关系，适用于一切微观粒子，其中=，称（或 h）为 Planck 常数它是量子物理中的基本常数。量纲为 时间 能量 = 长度 动量 =
8、角动量 。这类物理量常称为作用量，因此也称基本作用量子。用宏观现象的单位（KgmS）来量度，的数值很小；反之，宏观世界用作用量子为单位时，其参量将有非常大的数值，这样，Planck常数提供了一个判据：当一个物质系统的任何具有作用量纲的物理量具有与相比精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 23 页学习必备欢迎下载拟的数值 时，这个物质系统是一个量子系统 ；反之，物理量用来量度， 数值非常大 时，该系统为 经典系统 。2、测不准关系当我们用粒子和波两种图象去描述同一个微观粒子时，我们不能把经典的宏观粒子的全部属性或经典波动的全部属
9、性都强加给这个微观粒子。例如，当我们把经典力学中表征宏观粒子运动状态的位置（即坐标） 和动量的观念用于微观粒子时，微观粒子的波动性就会对这种观念加以某种“限制”。1927 年海森堡（ W.HeiSenberg ）指出，要同时确定微观粒子的坐标和动量是不可能的，它们的准确度有一个原则上的限度，若用x 表示微观粒子在x坐标轴上位置的准确度或者位置的可能范围，用P 表示同一微观粒子同一时刻在x 坐标方向上动量分量的准确度或者动量分量的可能范围，则x 和P 之间满足k xPh 这就是著名的海森堡测不准关系。上式说明：若准确地指定微观粒子的位置，即指定粒子准确地位于x 出或者 x=0，则由测不准关系式，
10、必然得出P，这表示微观粒子的动量可能具有P P+之间的任何数值，因而粒子的动量是不确定的。反之，若准确的指定微观粒子的动量，则粒子的坐标也是不确定的。这说明微观粒子的运动没有确定的轨迹，运动不是轨道运动。在经典力学的理论中，粒子可以同时具有确定的坐标和动量。这并不是说在实际上我们可以任意的精确度做到这一点，而是说在经典力学的理论中，原则上不允许对这精确度有任何限制。 由于普朗克常数h 的数值很小， 所以测不准关系在任何意义上都不会跟宏观物理学的经验知识发生矛盾。3、量子描述在量子力学中微观粒子的运动状态称为量子态。量子态由一组量子数表征。这组量子数的数目等于自由度数。以下举例说明几种粒子的量子
11、数。（1）外磁场中的电子自旋电子自旋 .swf电子具有自旋角动量和自旋磁矩。两者之比=-精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 23 页学习必备欢迎下载其中 e 为电子电荷的绝对值，m为电子的质量。 在原子物理课讲过，如果存在 z 方向的外磁场，磁感强度为，电子的自旋角动量在外磁场方向的投影有两个可能的值，即S =。自旋磁矩在外磁场方向的投影相应为=。电子在外磁场的势能为-=B 因此描述处在外磁场中的电子自旋只要一个量子数S ，它只能取两个分立的数值。（2）自由粒子所谓自由粒子，指的是不受外力作用可以自由运动的粒子。在通常情况下
12、，我们还经常把可以忽略外力作用的粒子看作自由粒子i) 一维自由粒子为简单起见，我们首先讨论一维的自由粒子。设粒子处在长度为L 的一维容器中，由量子力学知，在边界满足周期条件，则有波矢量 k=n, n=0, 1, 2其中是波矢。将上式代入=，得一维自由粒子的动量为：P=n, n=0, 1,2这里， n表征一维自由粒子运动状态的量子数。则一维自由粒子的能量由经典力学可得=, n=0, 1,2式和表明粒子的动量是分立的。这是局域在有限空间范围的量子特征。分立的能量值称为能级，由式可求得相邻两能级的能级精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页
13、，共 23 页学习必备欢迎下载间 距 为 E=E- E=-=ii)三维自由粒子设粒子处在边长为L 的立方容器中，则粒子的三个动量分量分别为P=n, n=0, 1, 2P=n, n=0, 1,2P =n , n=0, 1, 2式中 n, n, n是三维自由粒子运动状态的量子数。能量为=（ P+P+P）=由此可知，能级取决于（）的数值。因此处于同一能级上的量子态不止一个。例如：当=时， n, n, n可以取6 组不同的值，即: n=0 n=0 n=1 n=0 n=1 n=0 n =1 n=0 n=0 也就是说，能级上的量子态有6 个，我们就称能级是简并的简并度为6。 某一能级的量子状态不止一个，一
14、个能级的量子态数 称为该能级的 简并度二、粒子的量子状态在空间中的描述现在我们把测不准关系的结论应用到空间中。可以证明，对于自由度为r 的粒子，每一个量子状态在空间中占据大小为h 的一个体积元。 换句话说， 粒子每一个可能的状态的状态对应于空间中大小为h 的一个体积元，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 23 页学习必备欢迎下载我们可以根据测不准关系来理解。测不准关系指出，在量子力学所容许的最精确的描述中，粒子坐标的不确定值q 和与之共扼的动量的不确定值P满足qPh 因此如果用广义坐标q 和广义动量P 在空间中描述粒子的运动
15、状态时，一个运动状态必然对应于 空间中的一个体积元，我们称这个体积元为一个相格。（由于微观粒子的运动受测不准关系限制， 因而在 空间中表示同一空间运动状态的代表点将分布在一块小体积内，这块小体积称为相格。）对于自由度为1 的粒子，这个相格（体积元）的大小为h。如果粒子的自由度为r ， 每一个自由度的坐标和动量的不确定值q 和P 分别满足测不准关系q Ph，则qqPPh因此，对于自由度为r 的粒子，每一个可能的状态对应于 空间中大小为h 的一个相格（体积元）。例如，三维自由粒子的一个量子态对应于 空间中体积为h 的一个相格。nsV 表示容器的体积。在体积V内，在 P 到 P+d P,P到 P+d
16、 P，P 到 P +d P的动量范围内，三维自由粒子可能的量子状态数就为这个结果也可以直接从P=n,P=n,P=n 得出。证明：设容器为边长L 的正方形V=L 。因此在 P到 P+d P 的范围内，可能的P 的数目 d n由 P=n，得dn=d PP 到 P+d P和 P 到 P +d P的范围内，可能的P ， P的数目为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 23 页学习必备欢迎下载dn=d Pdn =d P则在体积V=L 内， P 到 P+d P,P到 P+d P，P 到 P +d P内，自由粒子的量子态数为dndndn =
17、（）dPdP dP =dPdP dP其中利用了=，与测不准关系所得结果一致。在某些问题中，往往用动量空间中的球极坐标p，来描写自由粒子的动量。则P=Psincos，P =Psincos，P =cos这时动量空间体积元为P sindpdd。所以在体积V 内，动量大小在P到 P+dP，动量方向在+d，到+d的范围，自由粒子可能的状态为如果再对和积分，由 0 积分到，由 0 积分到 2，得dsind=4便可求得在体积V内，动量绝对值在P到 P+dP范围内（动量方向任意），自由粒子可能的状态数为PdP 将=代入上式得，在体积V内，在 到+d 范围内自由粒子的可能状态数为2m d=(2m)d定义： D（
18、）=(2m)表示单位能量间隔的可能量子状态数称为态密度。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 23 页学习必备欢迎下载应当说明，上述粒子的状态数没有考虑；粒子的自旋。如果粒子的自旋不等于零，还要计及自旋的贡献。例如， 假如粒子的自旋量子数为，自旋角动量在动量方向的投影有两个可能值，上述粒子的状态数都应乘以因子2。4.3 系统微观粒子运动状态的描述一、经典力学描述设有 N个粒子组成的系统，每个粒子的自由度为r ，确定任一个例如第i 个粒子在任一时刻的力学运动状态，需要有 r 个广义坐标， 和 r 个广义动量， 的数值来确定， 则
19、整个系统在任一时刻的力学运动状态需要有Nr 个广义坐标和Nr 个广义动量来确定， 也就是说需要有2Nr 个变量， ；， (i=1,2, N)来确定整个系统的力学运动状态。（全同粒子 ：内禀属性 ( 质量、电荷、自旋等) 完全相同的粒子）在经典物理中，全同粒子是可以分辨的。主要原因是经典粒子的运动是轨迹运动，由广义坐标和广义动量就可以确定它的运动轨迹，所以只要确定每一个粒子的初始位置，就可以确定其后任一时刻的位置。所以尽管全同粒子的属性完全相同，原则上仍然可以辨认。既然全同粒子可以分辨，如果在含有多个全同粒子的系统中，将任意两个粒子的运动状态加以交换，系统的力学运动状态在交换前后也是不同的例如第
20、i 个粒子和第j 个粒子的运动状态分别是（ q,q, q，P,P, P）和（ q,q, q;P,P, P） , 两者交换后，第 i 个粒子的运动状态为（q,q, q;P,P, P），第 j 个粒子的运动状态为（ q,q, q，P,P, P）。改变了它们的力学运动状态。如图所示 空间中的一个点表示一个粒子在某一时刻的力学运动状态则由N 个全同粒子组成的系统在某一时刻的力学运动状态可在空间中用N 个点表示。根据经典物理中全同粒子的可分辨性可知，如果交换 空间中任意两个点的位置，整个系统的微观状态将被改变。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
21、9 页，共 23 页学习必备欢迎下载三、量子力学描述1、全同性原理微观粒子的全同性原理指出，在量子物理中，全同粒子是不可分辨的，在含有多个全同粒子的系统中，将任何一对全同粒子加以交换，不改变整个系统的微观运动状态。这个原理与经典物理关于全同粒子可以分辨的论断是截然相反的。导致这两个完全相反的论断的根据原因是： 经典粒子的运动是轨道运动，原则上可以跟踪经典粒子的运动而加以辨认；而量子粒子具有波粒二象性，它的运动不是轨道运动，原则上不可能跟踪量子粒子的运动而加以辨认。假设在 t=0 时已知两个粒子的位置，如果是g 经典粒子，它们将沿着自己确定的轨迹运动， 对于量子粒子来说，由于波动性而使它们的波动
22、迅速扩散而互相重叠，在 t0 时已不能辨认哪个粒子。如图所示2 系统微观运动状态的量子描述i) 定域系和非定域系如果量子粒子是定域的，其粒子是可以分辨的。确定系统的微观状态要求确定每个粒子的个体量子态。对于非定域系统，粒子运动是非定域的，确定非定域系统的微观状态不可能要求确知每一个粒子所处的个体量子态，而只能确定每一个个体量子态上各有多少个粒子（简并度 ） 。ii)玻耳兹曼系统，费米系统，玻色系统由费米子组成的系统称为费米系统，遵从泡利不相容原理。( 泡利不相容原理：在原子中不能容纳运动状态完全相同的电子。) 由玻色子组成的系统称为玻色系统，不受泡利不相容原理的约束。在统计物理学发展的早期，玻
23、耳兹曼建立了玻耳兹曼系统：即把可分辨是全同近独立粒子组成，且处在一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统。举例说明三种系统的区别：设系统含有两个粒子。粒子的个体量子态有3 个。如果这两个粒子是玻耳兹曼粒子，玻色子和费米子时，分别讨论系统各有哪些可能的微观状态。玻耳兹曼系统：粒子可以分辨，每一个个体量子态能够容纳的粒子数不受限制。以 A、B表示可以分辨的两个粒子，它们占据3 个个体量子态，可以有以下的方式：量子态 1 量子态 2 量子态 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 23 页学习必备欢迎下载AB AB AB A B
24、B A A B B A A B B A 因此，对于玻耳兹曼系统，可以有9 个不同的微观状态。玻色系统：粒子不可分辨，每一个个体量子态所能容纳的粒子数不受限制。由于粒子不可分辨，令A=B；两个粒子占据三个个体量子态有以下的方式：量子态 1 量子态 2 量子态 3 AA AA AA A A A A A A 因此，对于玻色系统，可以有6 个不同的状态。费米系统： 粒子不可分辨，每一个个体量子态最多能容纳一个粒子。两个粒子占据3 个个体量子态有一下的方式：量子态 1 量子态 2 量子态 3 A A A A A A 因此，对于费米系统，可以有3 个不同的微观状态。精选学习资料 - - - - - - -
25、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 23 页学习必备欢迎下载 4.4 分布和微观状态一、分布（粒子在各能级的分布）设有一近独立粒子系统，有确定的粒子数N，能量 E和体积 V以(l=1,2,)表示粒子的能级， 表示能级 的简并度。则 N个粒子在各个能级的分布可表示为：能级：， 简并度： ， 粒子数： a，a， a 它表明：能级 上有 a 个粒子，能级 上有 a个粒子，能级 上有 a 个粒子，等等。我们用 a 表示数列 a ，a，a 称为一个分布。对于具有确定的N,E,V的系统，分布a必须满足条件a=N ，Ea=E 给定一个分布a ，就确定了处在每一个能级上的粒子数
26、a 。分布和微观状态是两个不同的概念，与一个分布a相应的系统的微观状态往往可以有若干个。 这微观状态数对于玻耳兹曼系统，玻色系统和费米系统显然不同，下面分别加以讨论。二、微观状态数1、玻耳兹曼系统粒子可以分辨，即可得粒子编号。这样，当交换粒子时，将改变系统的占据方式，因此改变了系统的状态。例如有三个可区分的粒子的系统，其排列是一种全排列，交换粒子，可以得到3!=6 种占据方式，即系统有3! 个微观状态。有 N个可分辨的粒子系统，其粒子占据能级的分布为a. 首先考虑， a 个离子占据能级上的 个量子态时，第一个粒子可以占据个量子态中的任何一个态，有种可能的占据方式。由于每个量子态能够容纳的粒子数
27、不受限制，在第一个粒子占据了某一个量子态以后，第二个粒子仍然有种的占据方式，这样a 个编了号的粒子占据 个量子态共有种可能的占据方式，因此a ，a， a 个编了号的粒子分别占据能级， 上的量子态共有种方式。现在考虑将N个粒子互相交换，不管是否在同一能级上，交换数是N! 在这个交换中应该除去在同一能级上a 个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 23 页学习必备欢迎下载粒子的交换a ! ，因此得因子N!/ 。这样，可区分粒子系统。玻耳兹曼系统，其分布为 a 的微观状态数为=2、玻色系统粒子不可分辨，每一个个体量子态能容纳的粒子
28、数不受限制。为了求玻色系统的一个分布所包含的微观状态数。我们先来研究一个问题，将10 个相同的球放进6 个格子，每个格 子 可 容 纳 的 球 数 不 限 ， 问 多 少 种 放 法 下 面 画 出 任 意 的 两 种 放法 | | |，| | | | | ，上图启示我们，为了计算所有可能的放法，可以设想10 个球被 5 个可以移动的隔板隔成 6 部分， 如果把球和隔板都当作被排列的元素，则它们的任何一种全排列都对应一种放法。已知 15 个元素是全排列数为15! 。但是如果考虑到球是全同的隔板也是全同的，两球相换或者两板相换都不对应新的放法所以还需从15! 中除去两球互换的方式数10! 和两板
29、互换的方式数 5! 。综上所述，不同的放法共有种。同理， a 个玻色子在 个量子态中的分配情况也是一样的，我们可以把a 个玻色子当作 a 个全同小球， 把个量子态当作 （-1 ）个全同隔板，使用类似的方法将得到 a 个玻色子在 个量子态中的分配方式数（微观状态数）为由于 每一个能级都有相同的表达式，所以一个分布包含的微观状态数为=3、费米子粒子不可分辨，每一个个体量子态最多只能容纳一个粒子。同样，我们先求 能级的a 个费米子分配到个量子态的可能方式数。由于费米子遵从泡利不相容原理，所以必须假设 a 。如果先将粒子编号，（实际不能编号）。显然，第一个粒子有种可能的分配方法，第二个粒子就有（-1
30、）种可能的分配方法，依此类推，第a 个就有（ -a+1）种分配方法，因此，满足泡利不相容原理的编了号的a 个粒子按 个量子态的分配方式数为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 23 页学习必备欢迎下载（ -1 ）（ -a+1）=考虑到费米子的全同性，同一能级中的任何二个粒子的交换（a 个粒子有a ！种互换方式），并不对应新的分配方式，所以a 个费米子分配到个量子态中的可能方式为因为对于每一能级都有相同的表达方式，所以一个分布所包含的微观态数为：=4、经典极限条件如果在 Bose和 Fermi 系统中，任一能级 上的粒子数均远
31、小于该能级量子态数，即1 （对所有的l ）则玻色系统的微观状态数可以近似为=费米系统的微观状态数可以近似为=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 23 页学习必备欢迎下载当 1 时 存在着=所以称1 为经典极限条件，也称非简并性条件。表示所有能级中的粒子数远小于量子态数。这意味着，平均而言处在每一个量子态上的粒子数均远小于1。当满足非简并条件时，不论是Bose 还是 Fermi 系统与分布 a 相对应的微观状态数都近似等于可区分粒子系统微观状态数除以N!一、经典统计中的分布和微观状态数在经典力学中，粒子的坐标和动量是能够唯一
32、确定的。对于自由度数为r 的粒子在某一时刻的运动状态就可以由r 个广义坐标和r 个广义动量 （q ,q, q ，P ,P, P ）来确定， 相应于 空间中的一个代表点，随着时间的推移。将在 空间中描绘一条曲线。对于由 N 个粒子组成的系统来说，在某一时刻的运动状态就由Nr 个广义坐标和Nr 个广义动量（q,q, q， P,P, P）（ i=1,2, N）共 Nr 个变量来确定，相应于空间中的N个代表点。随着时间的推移，将在 空间中描绘N 条曲线， N条相轨迹。也就是说q 和 p是连续变量，因此粒子和系统的微观状态也是一个连续的量，是不可数的。但是为了计算粒子的微观状态数，我们可以将空间划分成大
33、小相等的小体积，即相格。 划分方法：将第 i 个连续变量q 和 p 划分成大小相等的许多小间隔，满足 q p =h ，其中 h 是与 i 无关的具有固定大小的任意小量，量纲为 长度 动量 。因此就可以由粒子运动状态在 空间中的代表点，所在的相格来确定粒子的运动状态。对于自由度为r 的粒子可以将 空间划分成 q q p p = h大小的相格。处在同一相格中的代表点，代表相同的运动状态。相空间被分割成小相格的尺寸选的愈小，即h 选得愈小，粒子状态的确定显然就愈精确。在经典描述中，h 可以选得任意小，但是正确的量子力学描述对于 h 施加一个限制，选择h 的最小值为普朗克常数h 选择 h 0，所以上式
34、总是负的，因此，Boltzmann 分布是使之为极大的分布。（2） Boltzmann 分布是出现概率最大的分布。对于宏观系统， 与最概然分布相对应的的极大值非常陡，使其它分布的微观状态数与最概然分布的微观状态数相比几乎接近于零。证明：将Boltzmann 分布的微观状态数与其分布偏离为a （l=1,2,）的一个分布的微观状态数+比较， ln(+) 展开，得ln(+)=ln+ln+ln+将ln=0和ln=-代入上式，有ln(+)=ln-如果假设偏差为a a -10N 对于 N=10的宏观系统，可得e精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1
35、9 页，共 23 页学习必备欢迎下载这说明最概然分布是仅有极小偏差的分布，它的微观状态数与最概然分布的微观数相比也是几乎接近与零的，这就是说最概然分布的微观在状态数非常接近于全部可能的微观状态数。 根据等概率原理，认为平衡态下，粒子实质上处于Boltzmann 分布， 所引起的误差可以忽略（3）推导利用了a 1 的近似（4）假设系统是单元系，仅含一种粒子，可以把理论推广到含有多个组元的情形（5）经典统计中的玻耳兹曼分布的表达式可以写为： a= e其中 、 满足 N= E=-4.6 玻色分布和费米分布考虑一个处于平衡状态的孤立系统，具有确定的粒子数N ，体积 V和能量 E。我们以 （l=1,2,
36、）表示粒子的各能级，表示能级 的简并度，以 a表示处在各能级上的粒子数。显然分布a 满足条件=N =E 首先我们推导玻色系统中粒子的最概然分布。一、玻色系统=对上式取对数，得ln=设 a 1，1，因而 +a -1 +a -1 同时由斯特式近似lnm!=m(lnm-1) 得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 23 页学习必备欢迎下载ln= = =令 a 有a 的变化，ln将因而有 ln的变化，则使为极大的分布， 必使 ln=0，有ln= =0 因得 a 必须满足：N=0 , E=0 用拉氏乘子法原理，上式中每一个a 的系数都
37、必须为零。有 ln(+a )-ln a- - E =0 即：a=此即 Bose 系统中的粒子的最概然分布，称为Bose 分布，或玻色爱因斯坦分布。拉氏乘子由 N=0和E=0，确定，即=N, =E 二、 Fermi 分布=同理，推导Fermi 系统的最概然分布，也是求ln为极大的分布。将式取对数得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 23 页学习必备欢迎下载ln=设 a 1，1 ， a - 1，上式可近似为ln=则ln=同时也满足： N=0 , E=0 用拉氏乘子 ，乘以上式并用相减得ln- N-E =a =0 即：a=此即
38、Fermi 系统中粒子的最概然分布，称为Fermi 分布或费米狄拉克分布，拉氏乘子 ，满足=N , =E 我们分别求出了Bose 和 Fermi 系统在最概然分布下处于能级 上的粒子数，a =“+”表示费米系统，“-”表示玻色系统：能级 有个量子态，处在其中任何一个量子态上的平均粒子数应该是相同的。因此处在能量为 的量子态s 上的平均粒子数为f=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 23 页学习必备欢迎下载式也可表示为N=, E=其中对粒子的所有量子态求和。由 Bose 分布和 Fermi 分布可看出，如果满足条件 e 1 , 则a =分母中 1 这一项可略去，这时Bose 分布和Fermi分布都过渡到Boltzmann 分布：a = e当 e1 时由 e得1 （对所有e）即：1 这时任一量子态上的平均粒子数都远小于1 。 e就是 经典极限 非简并性条件。当非简并性条件满足时，Bose 分布和 Fermi 分布都过度到Boltzman 分布。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 23 页