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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 2007 年一般高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第I 卷（挑选题）和第II （非挑选题）两部分,第I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 3至 9 页,共 150 分考试时间120 分钟考试终止,将本试卷和答题卡一并交回第 I 卷（挑选题 共 40 分）留意事项：1答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上2每道题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动,用橡皮擦洁净后,再选涂其他答案不能答在试卷上一、本大题共8 小题,每道题5 分,共 40 分在每道题列出的四个选项中,选
2、出符合题目要求的一项1已知 cos tan 0 ,那么角 是（）第一或其次象限角 其次或第三象限角第三或第四象限角 第一或第四象限角x2函数 f x 3 0 x 2 的反函数的定义域为（） 0, 19 0 1 9,3平面 平面 的一个充分条件是（）存在一条直线,a,a存在一条直线 a,a,a存在两条平行直线 a, ,a,b, ,b存在两条异面直线 a, ,a,a,b4已知 O 是ABC 所在平面内一点,D 为 BC 边中点,且 2OA OB OC 0,那么（） AO OD AO 2 ODAO 3 OD 2AO OD5记者要为 5 名理想都和他们帮忙的 2 位老人拍照,要求排成一排,2 位老人相
3、邻但不排在两端,不同的排法共有（） 1440 种 960 种 720 种 480 种1 / 10 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - xy ,6如不等式组2 x y ,表示的平面区域是一个三角形,就y ,a 的取值范畴是（）xyaa4 0a 11a433f x cosx2,判定如 0a 1或a437假如正数 a, , ,d满意abcd4,那么（） abcd,且等号成立时a, , ,d的取值唯独 abcd,且等号成立时a, , ,d的取值唯独 abcd,且等号成立时a, , ,d的取值不唯独 abcd,且等号成立时a,
4、 , ,d的取值不唯独8对于函数f x lgx21,f x x2 2,下三个命题的真假：命题甲：f x 2 是偶函数；命题乙：f x 在 , 上是减函数,在 2, 上是增函数；命题丙：f x 2 f x 在 , 上是增函数能使命题甲、乙、丙均为真的全部函数的序号是（） 2007 年一般高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）第 II 卷（共 110 分）留意事项：1用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上2答卷前将密封线内的工程填写清晰二、填空题：本大题共6 小题,每道题5 分,共 30 分把答案填在题中横线上912210 n n1 2 3,就此数列的通项公式为；数列i10如数列a n的
5、前 n 项和S n2 nna n中数值最小的项是第项150,BC1,就 AB11在ABC中,如tanA1,C32 / 10 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 12已知集合Ax xa 1,Bx x25x40如 AB,就实数 a 的取值范畴是13 2002 年在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）假如小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直3 就角三角形中较小的锐角为,那么 cos2的值等于2 14已知函数f x ,
6、g x 分别由下表给出x1 2 3 x1 f x 1 3 1 g x 3 2 1 f g1的值为；满意 f g x g f x 的 x 的值是三、解答题：本大题共 6 小题,共 80 分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程15（本小题共 13 分）数列 a n 中,a 1 2,a n 1 a n cn （ c 是常数,n 12 3, ）,且 a 1,a 2,a 3 成公比不为 1的等比数列（I）求 c 的值；x3A60DB（II ）求a n的通项公式16（本小题共14 分）如图,在 RtAOB 中,OAB ,斜边 AB 4 RtAOC6AOB 以 直 线 AO 为 轴 旋 转 得 到 , 且
7、 二 面 角可 以 通 过 RtO,点BAOC 是直二面角动点D 的斜边 AB 上（I）求证：平面COD平面 AOB ；（II ）当 D 为 AB 的中点时,求异面直线AO 与 CD 所成角的大小；（III ）求 CD 与平面 AOB 所成角的最大值C17（本小题共14 分）y矩形 ABCD 的两条对角线相交于点M2 0, , AB 边所在直线的方程为T 11, 在 AD 边所在直线上（I）求 AD 边所在直线的方程；（II ）求矩形 ABCD 外接圆的方程；（III ）如动圆 P 过点N 2 0, ,且与矩形ABCD 的外接圆外切,求动圆P 的圆心的轨迹3 / 10 名师归纳总结 - - -
8、 - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 方程18（本小题共13 分）50 参与人数2 3 活动次数某中学号召同学在今年春节期间至少参与一次社会公益活动（以下简称活动）该校合唱团共有100 名同学,他们参与活动的次数统计如下列图（I）求合唱团同学参与活动的人均次数； 40 1 （II ）从合唱团中任意选两名同学,求他们参与活动次数恰 30 好相等的概率 20 （III ）从合唱团中任选两名同学,用表示这两人参与活动 10 次数之差的肯定值,求随机变量的分布列及数学期望E19（本小题共13 分）如图,有一块半椭圆形钢板,其半轴长为2r ,短半轴长为
9、r ,方案DC将此钢板切割成等腰梯形的外形,下底AB 是半椭圆的短轴,上底4rCD 的端点在椭圆上,记CD2x ,梯形面积为S （I）求面积 S 以 x 为自变量的函数式,并写出其定义域；（II ）求面积 S 的最大值A2rB20已知集合Aa 1,a 2, ,a kk2,其中iaZi1 2, ,k,由 A 中的元素构成两个相应的集合：Sa,b aA,bA,abA,Ta,b aA,bA,abA其中 a,b是有序数对,集合S 和 T 中的元素个数分别为m 和 n P 的集合,写出相如对于任意的aA ,总有aA ,就称集合A 具有性质 P （I）检验集合0 1 2 3, 与1 2 3, 是否具有性质
10、P 并对其中具有性质应的集合 S 和 T ；（II ）对任何具有性质P 的集合 A ,证明：nk k1；2（III ）判定 m 和 n 的大小关系,并证明你的结论4 / 10 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2007 年一般高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）答案一、挑选题（本大题共8 小题,每道题5 分,共 40 分）451236786 小题,每道题5 分,共 30 分）12 2 3二、填空题（本大题共9i102 n11311102137 2514 1 2三、解答题（本大题共6 小题,共 80
11、分）15（共 13 分）解：（ I）a 12,a 22c ,a 323 c ,由于1a ,a ,3a 成等比数列,所以2c 2223 c ,解得c0或c2当c0时,a 1a 2a ,不符合题意舍去,故c2（II ）当n2时,由于2 3,a 2a 1c ,a 3a 22 c ,a na n1n1 c ,所以a na 112n1cn n1c 2又a 12,c2,故a n2n n1n2n2 n当n1时,上式也成立,所以a nn2n2 n1 2,5 / 10 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 16（共 14 分）解法一：（
12、I）由题意, COAO , BOAO ,DEAO,DBBOC 是二面角 BAOC 是直二面角,又二面角 BAOC 是直二面角,COBO ,又AOBOO ,CO平面 AOB ,又 CO平面 COD 平面 COD平面 AOB （II ）作 DEOB ,垂足为 E ,连结 CE （如图）,就CDE 是异面直线AO 与 CD 所成的角A在 RtCOE中,COBO2,OE1BO1,2CECO2OE25又DE1AO32在 RtCDE中,tanCDECE515DE33COE异面直线 AO 与 CD 所成角的大小为arctan153（III ）由（ I）知, CO平面 AOB ,OC2CDO 是 CD 与平面
13、 AOB 所成的角,且tanCDOODOD当 OD 最小时,CDO 最大,2 3 3,tanCDO这时, ODAB ,垂足为 D ,ODOA OB3,ABCD 与平面 AOB 所成角的最大值为arctan2 33解法二：（I）同解法一（ II ）建立空间直角坐标系Oxyz ,如图,就O0 0 0, ,A 0 0 2 3,C2 0 0, ,D 01,3,DzAOA0 0 2 3,CD 21,3,cosOACDOA CDOA CD6 / 10 名师归纳总结 OBy第 6 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 662 3 2 24异面直线AO与C
14、D所成角的大小为arccos64（III ）同解法一17（共 14 分）解：（ I）由于 AB 边所在直线的方程为x3y60,且 AD 与 AB 垂直,所以直线AD的斜率为3 ,又由于点T 11, 在直线 AD 上,所以 AD 边所在直线的方程为y13x13xy20（II ）由x3y6 0,解得点 A 的坐标为 0,2 = 023 xy由于矩形 ABCD 两条对角线的交点为M2 0, 所以 M 为矩形 ABCD 外接圆的圆心又AM2020222 22y282从而矩形 ABCD 外接圆的方程为x（III ）由于动圆 P 过点 N ,所以 PN 是该圆的半径,又由于动圆所以PMPN2 2,即PMP
15、N2 2P 与圆 M 外切,故点 P 的轨迹是以 M,N为焦点,实轴长为2 2 的双曲线的左支由于实半轴长a2,半焦距c2所以虚半轴长bc2a221x 2从而动圆 P 的圆心的轨迹方程为x2y22218（共 13 分）解：由图可知,参与活动1 次、 2 次和 3 次的同学人数分别为10、50 和 407 / 10 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 10 2 50 3 40 230（I）该合唱团同学参与活动的人均次数为 2.3100 100（ II ） 从 合 唱 团 中 任 选 两 名 学 生 , 他 们 参
16、加 活 动 次 数 恰 好 相 等 的 概 率 为P 0 C 10 2C C100 502 2 C 40 299 41（III ）从合唱团中任选两名同学,记“ 这两人中一人参与 1 次活动,另一人参与 2 次活动” 为大事 A ,“ 这两人中一人参与 2 次活动,另一人参与 3 次活动” 为大事 B ,“ 这两人中一人参与 1 次活动,另一人参与 3 次活动” 为大事 C 易知P 1 P A P B 1 1 1 1C C 50 C C 40 50C 100 2 C 100 4 99；P 2 P C 1 1C C2 40 8；C 100 99的分布列：的数学期望：EP0411500 821 2
17、415089999992999999319（共 13 分）解：（ I）依题意,以AB 的中点 O 为原点建立直角坐标系Oxy （如图）,就点C 的横坐标为 x 点 C 的纵坐标 y 满意方程x2y21y0,DyCxr24r2解得y2r22 x0xrS1 2 2x2 2r2x2AOB2xrr2x2,其定义域为x0xr8 / 10 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - （II ）记f x 4xr2 r2x2 0xr,就f 8xr 2r2 x 0；当rxr 时,f 0,所以f1r是f x 的最令f 0,得x1r 2由于当 0
18、xr时,f 222大值因此,当x1r 时, S 也取得最大值,最大值为f1r3 3r2222即梯形面积 S 的最大值为3 3r2220（共 13 分）（I）解：集合 01 2 3, 不具有性质 P 集合 1 2 3,具有性质P,其相应的集合 S 和 T 是 S 13 3,1,T 2,1 2 3（II ）证明：第一,由 A 中元素构成的有序数对 a i,a j 共有 k 2个由于 0 A ,所以 a i,a i T i 12, ,k ；又 因 为 当 a A 时 ,a A 时 ,a A, 所 以 当 a i,a j T 时 , a j,a i T i,j, ,k从而,集合 T 中元素的个数最多为
19、 1 k 2k k k 1,2 2即 nk k 12（III ）解： m n ,证明如下：（1）对于 a,b S,依据定义,a A , b A ,且 a b A ,从而 a b,b T假如 a,b 与 c,d 是 S 的不同元素,那么 a c 与 b d 中至少有一个不成立,从而a b c d 与 b d 中也至少有一个不成立故 a b,b 与 c d,d 也是 T 的不同元素可见, S 中元素的个数不多于 T 中元素的个数,即 mn,9 / 10 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - （ 2 ） 对 于 a,bT, 根 据 定 义 , aA , bA , 且 abA, 从 而ab,bS假如 a,b与 c,d是 T 的不同元素,那么ac 与 bd 中至少有一个不成立,从而abcd 与 bd 中也不至少有一个不成立,故 ab,b 与 cd,d也是 S 的不同元素可见, T 中元素的个数不多于S 中元素的个数,即nm,由（ 1）（ 2）可知, mn 10 / 10 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页