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1、2020年高考理数真题试卷（新课标I ）题号四五总分评分姓名：班级：考号：阅卷人一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共 得分12题；共60分）1. （5 分）若 z=l+i,则忆2-2z|二（）A. 0B. 1C. V2D. 2（5 分）设集合 A=x|x2-4W0, B=x|2x+a0, H AAB=x|-2x0）上一点，点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=（）A. 2B. 3C. 6D. 95.（5分）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x （单位：）的 关系，在20个不同的温度条件下进行种
2、子发芽实验，由实验数据（孙%）（i = l,2,20） 得到下面的散点图：矍和E郑,Q期出服K-*. MP: y 1 = 1)即 y = 3% + ,由 ，2+2 解得，,2222x + y + 2 = 0 (y-U所以以MP为直径的圆的方程为(x 1)(% + 1) + y(y 1) = 0 ,即x2 +y2 - y - 1 = 0,两圆的方程相减可得：2x + y+ 1 = 0 ,即为直线AB的方程.故答案为：D.【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点A,P,B,M共圆，且 AB IMP ,根据 PM AB = 2smam = 2PA 可知，当直线 MP 1 l 时，PM
3、 AB最小，求出以MP为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB的方 程.12 .【答案】B【考点】函数单调性的性质【解析】【解答】设/(%) = 2X + log2x，则/(%)为增函数，因为2a + log2a = 4b + 21og4h = 22b + log2b所以 f(a) 一 /(2b) = 2a + log2a 一 (22Z? + log22/7)= 22b + log2b - (22Z? + log22/)= 1log2 2 = T V ，所以/(a)/(2b),所以a 0 ,此时 /(a) /(b2),有 a公当 b = 2 时，/(a)-/(b2) = -l0 ,此时
4、 /(a)/(b2)，有 a v 广，所以 C、 D不符合题意.故答案为：B.【分析】设/(%) = 2X + log2x ,利用作差法结合/(%)的单调性即可得到答案.13 .【答案】1【考点】简单线性规划的应用【解析】【解答】绘制不等式组表示的平面区域如图所示， O 郑 O K O 期 O 氐 O . O 郑 O K O 期 O 氐 O .10/22目标函数z = % + 7y即：y = _聂+鼻， y 77其中Z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大, 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值， 联立直线方程： 产+厂,可得点A的坐标为：1(1,0), (%
5、 y1 = 0、)据此可知目标函数的最大值为：Zmax = 1 + 7XO = 1.故答案为：1.【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.14 .【答案】V3【考点】向量的模；向量数乘的运算及其几何意义【解析】【解答】因为a,b为单位向量，所以 =|加=1所以 a + b = J (a + b)2 = J|a|2 + 2a -b + b2 = 52 + 23 B = 1解得：2d 3=i所以 |五一瓦=J(a b)2 = J|a|2 2d-b + |b|2 =V3故答案为：V3【分析】整理已知可得：a + b=0 + 1)2，再利用a,b为单位向量即可求得2d .b
6、 = -1，对 a-b 变形可得：a-b= J|a|2 -2a-b + b2，问题得解.15 .【答案】2【考点】双曲线的简单性质；圆锥曲线的几何性质【解析】【解答】依题可得，愕!=3,而|bf|=K， |四| =c-牛，即/_11ac-a 3 ,变形得c2 a2 = 3ac 3a2 ,化简可得，/ 3e + 2 = 0 ,解得e = 2或e1 (舍去).故答案为：2 .7 2【分析】根据双曲线的几何性质可知，BF = -， AF =c-a ,即可根据斜率列 出等式求解即可.16.【答案】一J【考点】余弦定理【解析】【解答】-ABLAC , AB = W , AC = 1 ,由勾股定理得BC
7、= y/AB2 +AC2 = 2 ，同理得BD =遍，:.BF = BD =限，在 ACE 中，AC = 1 , AE = AD =43 , CAE = 30 ,由余弦定理得 CE2 = AC2 + AE2 - 24C AEcos30。= l + 3 2xlx 遮x字=1 ，.CF = CE = 1 ,在 BCF 中，BC = 2 ， BF = V6 ， CF = 1 9由余弦定理得cos 乙FC B =CF2+BC2-BF2 1+4-62CF-BC2x1x2故答案为：J .4【分析】在&ACE中，利用余弦定理可求得CE ，可得出CF ,利用勾股定理计算出BC、BD ,可得出BF ,然后在8C
8、F中利用余弦定理可求得cos乙FCB的值.17.【答案】(1)解：设an)的公比为q, %为。2，劭 的等差中项，,*, 2 al + 3,H0j，q2 + q 2 0 , ； q 手 1)q = 2 ,(2)解：设nan的前n项和为S % = 1,即=(一2)，Sn = 1 x 1 + 2 x (-2) + 3 x (2)2 + + ti(2)n， (1) 2szi = 1 x (-2) + 2x (2/ + 3x (-2)3 + (八 一 1)(一2)九一】+ n(-2)n ,一得，3szi = 1 + (2) + (-2尸 + . + (-2)九t 一 n(-2)n_ 1-(-2)几 _
9、 心八几 _ l-(l+3n)(-2)n_ 1一(-2) 一九(-2) -3.o . 1(1+3九)(一2) n 9【考点】数列的求和；等差数列的性质【解析】【分析】(1)由已知结合等差中项关系，建立公比q的方程，求解即可得出结12/22矍和E郑,Q期出服K- O O .AN论；（2）由（1）结合条件得出的通项，根据九%J的通项公式特征，用错位相 减法，即可求出结论.18.【答案】（1）解：由题设，知ADAE为等边三角形，设AE = 1 ,则。=g，CO = B0=另E = i，所以 PO = d0 =*，22264i 76/ 76PC = JPO2 + oc2 = e，PB = yjpo2
10、+ OB2 =不又A ABC为等边三角形，则一 = 2。4，所以 堂， sin602PA2 + PB2 =1 = AB2 ，则 乙APB = 90。，所以 PA 1 PB ，同理PA 1 PC ,又PC CPB = P ,所以PA 1平面PBC ；（2）解：过O作ON BC交AB于点N,因为PO 1平面ABC ,以。为坐标原点，OA为x轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 e（T，o,o）,p（o,o，）,bT，*,o）,cT，T，o）, 丽=（/，一季），丽=（4字,一），屈=（t，o,一%， 设平面PCB的一个法向量为元=（%1，丫1/1）,伊氏=0zH 1一1 - 8丫1 -缶
11、 1 = 0= 0寸-X1 + V3y1 V2z1 = 0所以 n= （V2,0,-1），设平面PCE的一个法向量为m = （x2fy2,z2）（m-PC = 0 zS （一2 - V3y2 - V2z2 = 0Un 庄=0 付（-2%2 - V2z2 = 0，令i =迎，得 zi = -i,y1 = 0 ,令12 = 1，得 Z2 = V2, y2 = -g-一 1 n-m 272275故cos=两荷=瓦画=飞-, a/3设二面角B - PC-E的大小为6 ,则cosO=等【考点】直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】（1）要证明PA 1平面PBC ，只需证明PA 1
12、 PB ， PAL PC即可；（2）以0为坐标原点，0A为x轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别算出平面PCB的法向量为n ，平面PCE的法向量为m ,利用公式cos二看高 计算即可得到答案19.【答案】解：记事件M:甲连胜四场，则p（M） = （/4=存；（2）解：记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输,则四局内结束比赛的概率为P = PQ4B/B) + P(ACAC) + P(BCBC) + P(BABA) = 4 x 1所以，需要进行第五场比赛的概率为P = l-P，=提； q（3）解：记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输,记事件M:甲赢，记事件N:丙赢,则甲赢的基
13、本事件包括：BCBC、ABCBC 、 ACBCB 、BABCC 、 BACBC 、 BCACB 、 BCABC 、 BCBAC ,所以，甲赢的概率为P（M） = （1）4 + 7x （畀=备.由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，所以闪赢的概率为P（N） = 1 2x善=4 .dZ Io【考点】相互独立事件的概率乘法公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率；（2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的 概率；（3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率
14、， 由对称性可知乙赢的概率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率.20.【答案】（1）解：依据题意作出如下图象：14/22矍和E郑,Q期出服K- O O .ANB(af 0) ， G(0,l) AG (a, 1) ， GB = (a, 1)AG e GB a? 1 = 8， a? = 92.椭圆方程为：$ + y2 = i（2）证明：设 P（6,y。），则直线AP的方程为：y = 6辑_：）（% + 3），即：丫 =等（ + 3）联立直线AP的方程与椭圆方程可得:可:y=1 ,整理得: y =等( + 3)仇 2 + 9)/ + 6yo-3y0 2+27 人 2+9所以点C的坐
15、标为2x + 9yo 2 - 81 = 0 ，解得： = -3 或_ _3为 2+27 人一y0 2+9代入直线丫 =等（ + 3）可得：丫 = 丁笺3 7o 十？-3y0 2+27 6yo（v 2 I q 4 2ig y。十v %）十v同理可得：点D的坐标为(，。2件7)y0 +1 y0 2+i2/ 2y。、 yn 2+9 yn 2+1, 3yn 3、,直线 cd 的方程为： y -(屋?)= 三2,77 ?0(HT)y0 +1-3yo 乙+27_3丫0 -3 y0 Z + 1为 2+9 y0 2 + 1整理可得：y +等 = 8y(y。2；3) 也勺70 2 + 16(9-y0 4) y0
16、整理得：y = -4yoX + 2,0 = _4yo(x -1)3(3-y0 2) y0 一3 3(3-y0 2)12)故直线CD过定点(|,0)【考点】向量在几何中的应用；直线与圆锥曲线的综合问题8yo6(3y。2)【解析】【分析】（D由已知可得：A-at 0） ， BQ0） ， （7（0,1），即可求得AG -GB = a2-l ,结合已知即可求得：*=9 ,问题得解.(2)设P(6,y0)，可得直线AP的方程为：y = (% + 3),联立直线AP的方程与椭圆方程即可求得点C的坐标为 (3yo 2-6金 ),同理可得点 D 的坐标为 (3丫0 2T )， 即可表y0 +9 y0 +9y。
17、+1 % +1示出直线cd的方程，整理直线CD的方程可得：力丁/为2、(%一|),命题得3(3-y0 ) 乙证.21 .【答案】(1)解：当 q = 1 时，/(%) = ex + x2 x ， f(x) = ex + 2x 1 ，由于 /(%) = ex + 2 0 ，故 /(%)单调递增，注意到(0) = 0 ,故:当 E (-00, 0)时，/(%) 0/(%)单调递增.(2)解：由 /(%) %3 + 1 得, 乙.当x=0时，不等式为：12 11ex + ax2 %3 + 1 ，其中 % 0 ,显然成立，符合题意;.当%0时，分离参数a得,exx3xlexx3xl乙%2/i(x) =
18、 exX2i-%2 %乙_(x-2)(ex-x2-x-l)，g (x) =3-1(% 0)，(%) = ex - x 1 , h(x) = ex - 1 0 ,(%)单调递增，/(%) (0) = 0 ，故函数九(%)单调递增，八(%) 九(0) = 0 ，由/i(x) 0可得:ex ix2 % 1 0 恒成立, 乙故当x G (0,2)时,，9(%)单调递增;矍和E郑,Q期出服K-当 6 (2,+8)时,g(%) 0 ， g(x)单调递减;因此，9(%)max =。(2)=与，综上可得，实数a的取值范围是牛,+8).【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析
19、】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.(2)首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围.22.【答案】(1)解：当k = l时，曲线Ci的参数方程为工案(t为参数),16/22 O 郑 O K O 期 O 氐 O .两式平方相加得x2+y2 = l ,所以曲线Ci表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）解：当k = 4时、曲线 右的参数方程为X = C0S?（t为参数）, （y = sin t所以X N0,y20 ,曲线Ci的参数方程化为噌=cos： 为参数）, U = sin -
20、两式相加得曲线C1方程为 +后=1 ,得 7? = 1 - ，平方得 y = % - 2y + 1,0 % 1,0 y 0,y0 ,曲线Ci的参数方程化为噌=csf（t为参数），两式相加消去参数t，得Ci普通方程，由pcosB =（Jy = sin tlx,psme=y ,将曲线C2化为直角坐标方程，联立的,。2方程，即可求解. x + 3, x 123.【答案】（1）解：因为/（%） =，5% 1,一9%1 ,作出图象，如图所示：o , 1-x - 3, x 2b阅卷人得分三、解答题（共5题；共60分）（1） （6分）求an）的公比;（5 分）已知。M： %2 + y2 - 2% 2y 2
21、= 0 ,直线 I ： 2x + y + 2 = 0,P为 1 上的动点，过点P作。M的切线PAfPB ,切点为AfB ,当|PM|4B|最小时，直线 AB的方程为（）A. 2% y 1 = 0 B. 2% + y 1 = 0 C.2x y +1 = 0D.2x + y + 1 = 0（5 分）若 2 + log2。= 4” + 21oga，则（）B. a b2D.a b2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。（共4题；共20分）（2x + y 2 0,（5分）设为单位向量，且a + b = 1 ,贝U a b =.12. （5分）已知F为双曲线C:-= l（a 0,b 0）的右焦点
22、，A为C的右顶点,B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为.13. （5分）如图，在三棱锥P-ABC的平面展开图中，AC=1, AB = AD =V3 ,ABAC, ABAD, ZCAE=30,则 cosNFCB=.的的等差中项.14. （12分）设an是公比不为1的等比数列，的为他（2） （6分）若 = 1 ,求数列九即的前n项和.15. （12分）如图，D为圆锥的顶点，0是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE =AD.A ABC是底面的内接正三角形，P为。上一点，po=g0O .（1） （6分）证明：P/1平面PBC ；（2） （6分）求二面角B - PC -E的余
23、弦值.16. （12分）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘 汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一 场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比 赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮 空.设每场比赛双方获胜的概率都为2 ,（1） （4分）求甲连胜四场的概率；（2） （4分）求需要进行第五场比赛的概率；（3） （4分）求丙最终获胜的概率.17. （12分）已知A、B分别为椭圆E：4 + y2 = i （al）的左、右顶点，G为E的 上顶点，AG-GB = 8
24、 ，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C, PB与E的 另一交点为D.（1） （6分）求E的方程；（2） （6分）证明：直线CD过定点.18. （12 分）已知函数 /（%） = ex + ax2 x .（1） （6分）当a=l时，讨论f （x）的单调性；（2） （6分）当xK）时，f （x） 1 x3+l,求a的取值范围.矍和E郑,Q期出服K- 媒 O4/22阅卷人得分阅卷人得分Ui、选修4-4：坐标系与参数方程（共1题；共10分）19. （10分）在直角坐标系xOy中，曲线Ci的参数方程为” =3? (t为参数 y = sin t” =3? (t为参数 y = sin t）.以坐
25、标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c2的极坐标方程为4pcos0 - 16psin0 + 3 = 0.（1） （5分）当k = l时，Ci是什么曲线?（2） （5分）当k = 4时，求Ci与C2的公共点的直角坐标.阅卷人得分五、选修4-5：不等式选讲（共1题；共10分）n|pn|p20. (10 分)已知函数 /(%) =+./(% +1)的解集.（1） （5分）画出y = /（%）的图像;cm矍和E郑,a期出服K- 媒 o答案解析部分1 .【答案】D【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模【解析】【解答】由题意可得：z2 = (1 + 02 = 2i ，则z2 2z = 2i
26、2(1 + i) = 2 .故 z2 - 2z| = | - 2| = 2 .故答案为：D.【分析】由题意首先求得z2-2z的值，然后计算其模即可.2 .【答案】B【考点】交集及其运算；一元二次不等式的解法【解析】【解答】求解二次不等式%2 - 4 0可得：74 = %| - 2 % 2,求解一次不等式2x + a 0可得：B = xx -.由于 A B = (x - 2 x 1,故：一羡=1，解得：a = -2 .故答案为：B.【分析】由题意首先求得集合A,B,然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程 即可确定实数a的值.3 .【答案】C【考点】棱锥的结构特征；直角三角形的射影定理【解析
27、】【解答】如图,设 CD = afPE = b ,则 po = y/PE2 - OE2 = b2，由题意 PO2 = ab，即必4 =,化简得 4(-)2-2-l = 0 ，Z4/CLCL6/22解得2 =小咨(负值舍去). a 4故答案为：C.【分析】设CD = afPE = b ,利用PO2=CD-PE得到关于atb的方程，解方程即 乙可得到答案.4 .【答案】C【考点】抛物线的定义【解析】【解答】设抛物线的焦点为F,由抛物线的定义知|4F|=4+=12 ,即12 = 9+乌,解得p = 6.故答案为：C.【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.5 .【答案】D【考点】散点图；线性回
28、归方程【解析】【解答】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近， 因此，最适合作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是y = a + bnx . 故答案为：D.【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.6 .【答案】B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】：/(%)= 2/，./(%) = 4/ 6/ ,二 /(I) = 1 ,/(I) = -2，因此，所求切线的方程为y + l = -2(% -1),即y = 2% + 1 .故答案为：B.【分析】求得函数y = /(%)的导数/(%)，计算出/(I)和/(I)的值，可得出所求 切线的点斜式方程，化简即可.7 .
29、【答案】C【考点】三角函数的周期性及其求法；由丫=人5访(3X+。)的部分图象确定其解析式【解析】【解答】由图可得：函数图象过点(萼,0),将它代入函数/(%)可得：COS(粤3+看)=0又（-等,0）是函数f（x）图象与X轴负半轴的第一个交点,所以一萼3+=_苧，解得： CO = 5 96 zz727r27r47所以函数/（%）的最小正周期为T = = = 2故答案为：C【分析】由图可得：函数图象过点（萼,0），即可得到cos（粤3 +看）=0 ,结合47r（-拳。）是函数/（%）图象与X轴负半轴的第一个交点即可得到等.“+看=* ,即可求得，再利用三角函数周期公式即可得解.8.【答案】C【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】（ + y）5展开式的通项公式为Tr+1 = Cxs-ryr （ r N且r q5 ）所以（+9）与（% + y）5展开式的乘积可表示为:xTr+i = xCxs-ryr = Cx6ryr 或/7用=包星炉-必=原/-y+2XX在xTr+1 = Cx6ryr中，令丁 = 3 ，可得：xT4 = Cx3y3 ，该项中x3y3的系数