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1、.立体几何大题的解题技巧综合提升【命题分析】高考中立体几何命题特点：1.线面位置关系突出平行和垂直，将侧重于垂直关系2.空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现3.多面体及简单多面体的概念、性质多在选择题，填空题出现4.有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题，特别是与球有关的问题将是高考命题的热点此类题目分值一般在17-22分之间，题型一般为1 个选择题，1 个填空题，1 个解答题.【考点分析】掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距
2、离的概念.【高考考查的重难点*状元总结】空间距离和角：“六个距离”：1 两点间距离221221221)()()(dzzyyxx2 点 P到线 l 的距离uuPQ*d（Q是直线 l 上任意一点，u 为过点 P的直线 l 法向量）3 两异面直线的距离uuPQ*d（P、Q分别是两直线上任意两点u 为两直线公共法向量）4 点 P到平面的距离uuPQ*d（Q是平面上任意一点，u 为平面法向量）5 直线与平面的距离【同上】6 平行平面间的距离【同上】“三个角度”：1 异面直线角【0，2】cos=2121vvvv【辨】直线倾斜角范围【0，）2 线面角【0，2】sin=nvvnnv,cos或者解三角形3 二面
3、角【0，】cos2121nnnn或者找垂直线，解三角形名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 22 页 -.不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成，即寓证明于运算之中，正是本专题的一大特色.求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。其中，利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定，是解决立体几何问题这套强有力的工具时，使得高考题具有很强的套路性。【例题解析】考点 1 点到平面的距离求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用.典型例题例 1（福建卷
4、）如图，正三棱柱111ABCABC的所有棱长都为2，D为1CC中点（）求证：1AB 平面1A BD；（）求二面角1AA DB的大小；（）求点 C 到平面1ABD的距离考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力解：解法一：（）取BC中点O，连结AOABC为正三角形，AOBC正三棱柱111ABCABC中，平面 ABC平面11BCC B，AO 平面11BCC B连结1BO，在正方形11BBC C中，OD，分别为1BCCC，的中点，1B OBD，1ABBD在正方形11ABB A中，11ABAB，1AB 平面1A BD（）设
5、1AB与1A B交于点 G，在平面1A BD中，作1GFAD于F，连结AF，由（）得1AB 平面1A BD1AFAD，AFG为二面角1AA DB的平面角在1AA D中，由等面积法可求得4 55AF，A B C D 1A1C1BA B C D 1A1C1BO F 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 22 页 -.又1122AGAB，210sin44 55AGAFGAF所以二面角1AA DB的大小为10arcsin4（）1A BD中，1115226A BDBDADABS，1BCDS在正三棱柱中，1A到平面11BCC B的距离为3设点 C 到平面1A BD的距离为d由11A
6、BCDCA BDVV，得111333BCDA BDSSd，1322BCDA BDSdS点 C 到平面1A BD的距离为22解法二：（）取BC中点 O，连结AOABC为正三角形，AOBC在正三棱柱111ABCABC中，平面ABC平面11BCC B，AD 平面11BCC B取11B C中点1O，以 O为原点，OB，1OO，OA的方向为xyz，轴的正方向建立空间直角坐标系，则(10 0)B，(11 0)D，1(0 23)A，(0 03)A，1(12 0)B，1(123)AB，(210)BD，1(123)BA，12200AB BD，111430AB BA，1ABBD，11ABBA1AB 平面1A BD
7、（）设平面1A AD的法向量为()xyz，n(113)AD，1(0 20)AA，ADn，1AAn，100ADAA，nn3020 xyzy，03yxz，令1z得(3 01)，n为平面1A AD的一个法向量x z A B C D 1A1C1BO F y 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 22 页 -.由（）知1AB 平面1ABD，1AB为平面1A BD的法向量cosn，11133642 22ABABABnn二面角1AA DB的大小为6arccos4（）由（），1AB为平面1A BD法向量，1(2 00)(123)BCAB，点 C 到平面1A BD的距离1122222BC
8、 ABdAB小结：本例中（）采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法，把不易直接求的B点到平面1AMB的距离转化为容易求的点K到平面1AMB的距离的计算方法，这是数学解题中常用的方法；解法一采用了等体积法，这种方法可以避免复杂的几何作图，显得更简单些，因此可优先考虑使用这一种方法.考点 2 异面直线的距离考查异目主面直线的距离的概念及其求法考纲只要求掌握已给出公垂线段的异面直线的距离.例 2 已知三棱锥ABCS，底面是边长为24的正三角形，棱SC的长为 2，且垂直于底面.DE、分别为ABBC、的中点，求CD与SE间的距离.思路启迪：由于异面直线CD与SE的公垂线不易寻找，
9、所以设法将所求异面直线的距离，转化成求直线与平面的距离，再进一步转化成求点到平面的距离.解：如图所示，取BD的中点F，连结EF，SF，CF，EF为BCD的中位线，EFCDCD,面SEF,CD到平面SEF的距离即为两异面直线间的距离.又线面之间的距离可转化为线CD上一点C到平面SEF的距离，设其为h，由题意知，24BC,D、E、F分别是AB、BC、BD的中点，2,2,621,62SCDFCDEFCD33222621312131SCDFEFVCEFS名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 22 页 -.在 RtSCE中，3222CESCSE在 RtSCF中，30224422C
10、FSCSF又3,6SEFSEF由于hSVVSEFCEFSSEFC31，即332331h，解得332h故CD与SE间的距离为332.小结：通过本例我们可以看到求空间距离的过程，就是一个不断转化的过程.考点 3 直线到平面的距离偶尔会再加上平行平面间的距离，主要考查点面、线面、面面距离间的转化.例 3 如图，在棱长为2 的正方体1AC中，G是1AA的中点，求BD到平面11DGB的距离.思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解.解：解法一BD平面11DGB，BD上任意一点到平面11DGB的距离皆为所求，以下求点O平面11DGB的距离,1111CADB，AADB111，11DB平
11、面11ACCA,又11DB平面11DGB平面1111DGBACCA，两个平面的交线是GO1,作GOOH1于 H，则有OH平面11DGB，即OH是O点到平面11DGB的距离.在OGO1中，222212111AOOOSOGO.又362,23212111OHOHGOOHSOGO.即BD到平面11DGB的距离等于362.解法二BD平面11DGB，B A C D O G H 1A1C1D1B1O名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 22 页 -.BD上任意一点到平面11DGB的距离皆为所求，以下求点B平面11DGB的距离.设点B到平面11DGB的距离为h，将它视为三棱锥11DGB
12、B的高，则，由于632221,111111DGBGBBDDGBBSVV34222213111GBBDV,36264h即BD到平面11DGB的距离等于362.小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离.考点 4 异面直线所成的角【重难点】此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角，然后通过解三角形来求角.典型例题例 4如图，在 RtAOB中，6OAB，斜边4ABRtAOC可以通过RtAOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角BAOC的直二面角D是AB的中点
13、（I）求证：平面COD平面AOB；（II）求异面直线AO与CD所成角的大小思路启迪：（II）的关键是通过平移把异面直线转化到一个三角形内.解：解法 1：（I）由题意，COAO，BOAO，BOC是二面角BAOC是直二面角，COBO，又AOBOO，CO平面AOB，又CO平面COD平面COD平面AOB（II）作DEOB，垂足为E，连结CE（如图），则DEAO，CDE 是异面直线AO与CD所成的角在 RtCOE中，2COBO，112OEBO，225CECOOE又132DEAO在 RtCDE中，515tan33CECDEDE异面直线AO与CD所成角的大小为15arctan3OCADBEOCADBxyz名
14、师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 22 页 -.解法 2：（I）同解法1（II）建立空间直角坐标系Oxyz，如图，则(0 0 0)O，(0 0 2 3)A，(2 0 0)C，(013)D，(0 0 2 3)OA，(213)CD，cosOA CDOACDOA CD，6642 3 2 2异面直线AO与CD所成角的大小为6arccos4小结：求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系，如
15、解析三.一般来说，平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围：2,0.考点 5 直线和平面所成的角此类题主要考查直线与平面所成的角的作法、证明以及计算.线面角在空间角中占有重要地位，是高考的常考内容.典型例题例 5（全国卷理）四棱锥SABCD中，底面 ABCD为平行四边形，侧面SBC底面 ABCD已知45ABC，2AB，22BC，3SASB（）证明SABC；（）求直线SD与平面SAB所成角的大小考查目的：本小题主要考查直线与直线,直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力解：解法一：（）作S
16、OBC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC底面ABCD，得SO底面ABCD因为SASB，所以AOBO，又45ABC，故AOB为等腰直角三角形，AOBO，由三垂线定理，得SABC（）由（）知SABC，依题设ADBC，故SAAD，由2 2ADBC，3SA，2AO，得1SO，11SDSAB的面积22111222SABSAAB连结DB，得DAB的面积21sin13522SAB ADDBCASODBCAS名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 22 页 -.设D到平面SAB的距离为h，由于DSABS ABDVV，得121133h SSO S，解得2h设SD与平面SAB所成角为，则22
17、2sin1111hSD所以，直线SD与平面SBC所成的我为22arcsin11解法二：（）作SOBC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC底面ABCD，得SO平面ABCD因为SASB，所以AOBO又45ABC，AOB为等腰直角三角形，AOOB如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系Oxyz，(2 0 0)A，(020)B，(02 0)C，(0 01)S，(2 01)SA，(0 2 2 0)CB，0SACB，所以SABC（）取AB中点E，22022E，连结SE，取SE中点G，连结OG，22 1442G，22 1442OG，22122SE，(22 0)AB，0SEOG，0AB OG，OG与
18、平面SAB内两条相交直线SE，AB垂直所以 OG平面SAB，OG与DS的夹角记为，SD与平面SAB所成的角记为，则与互余(22 2 0)D，(2 221)DS，22cos11OG DSOGDS，22sin11，所以，直线SD与平面SAB所成的角为22arcsin11小结：求直线与平面所成的角时，应注意的问题是（1）先判断直线和平面的位置关系；（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：构造作出斜线与射影所成的角，证明论DBCASOEGyxz名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 22 页 -.证作出的角为所求的角，计算常用解三角形的方法求角，结论点明直线和平面所成的角的值.考
19、点 6 二面角【重点】此类题主要是如何确定二面角的平面角，并将二面角的平面角转化为线线角放到一个合适的三角形中进行求解.二面角是高考的热点典型例题例 6（湖南卷）如图，已知直角，APQ，B，C，CACB，45BAP，直线CA和平面所成二面的角为30（I）证明BCPQ；（II）求二面角BACP的大小命题目的：本题主要考查直线与平面垂直、二面角等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.过程指引：（I）在平面内过点C作COPQ于点O，连结OB因为，PQ，所以CO，又因为CACB，所以OAOB而45BAO，所以45ABO，90AOB，从而BOPQ，又COPQ，所以PQ 平面OBC因为BC平
20、面OBC，故PQBC（II）解法一：由（I）知，BOPQ，又，PQ，BO，所以BO过点O作OHAC于点H，连结BH，由三垂线定理知，BHAC故BHO是二面角BACP的平面角由（I）知，CO，所以CAO是CA和平面所成的角，则30CAO，不妨设2AC，则3AO，3sin302OHAOA B C Q P A B C Q P O H 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 22 页 -.在RtOAB中，45ABOBAO，所以3BOAO，于是在RtBOH中，3tan232BOBHOOH故二面角BACP的大小为arctan2解法二：由（I）知，OCOA，OCOB，OAOB，故可以O
21、为原点，分别以直线OBOAOC，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图）因为COa，所以CAO是CA和平面所成的角，则30CAO不妨设2AC，则3AO，1CO在RtOAB中，45ABOBAO，所以3BOAO则相关各点的坐标分别是(0 0 0)O，(3 0 0)B，(03 0)A，(0 0 1)C，所以(33 0)AB，(031)AC，设1nxyz，是平面ABC的一个法向量，由1100n ABn AC，得33030 xyyz，取1x，得1(113)n，易知2(10 0)n，是平面的一个法向量设二面角BACP的平面角为，由图可知，12n n，所以121215cos5|5 1n nnn故二面角B
22、ACP的大小为5arccos5小结：本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱，进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径：由二面角两个面内的两条相交直线确定棱，由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱，补形构造几何体发现棱；解法二则是利用平面向量计算的方法，这也是解决无棱二面角的一种常用方法，即当二面角的平面角不易作出时，可由平面向量计算的方法求出二面角的大小.【课后练习】如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD,DAB为直角，AB CD，AD=CD=2AB,A B C Q P O x y z 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 22
23、页 -.E、F分别为PC、CD的中点.（）试证：CD平面 BEF；（）设PAkAB,且二面角E-BD-C的平面角大于30,求k的取值范围.过程指引：方法一关键是用恰当的方法找到所求的空间距离和角；方法二关键是掌握利用空间向量求空间距离和角的一般方法.【高考热点】空间几何体的表面积与体积（一）空间几何体的表面积1 棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和2 圆柱的表面积3 圆锥的表面积：2Srlr4 圆台的表面积22SrlrRlR 5 球的表面积24SR6 扇形的面积213602n RSlr扇形（其中l表示弧长，r表示半径）注：圆锥的侧面展开图的弧长等于地面圆的周长（二）空间几何体的体积1 柱体的体积
24、VSh底 2锥体的体积13VSh底3 台体的体积1)3VSS SSh下下上上（4球体的体积343VR【例题解析】考点 8 简单多面体的有关概念及应用，主要考查多面体的概念、性质，主要以填空、选择题为主，通常结合多面体的定义、性质进行判断.典型例题例 12.如图（1），将边长为1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，当这个正六棱柱容器的底面边长为时容积最大.思路启迪 设四边形一边AD，然后写出六棱柱体积，利用均值不等式，求出体积取最值时AD长度即可.解答过程：如图（2）设ADa，易知ABC60，且ABD30AB3a.BD 2a正六棱柱体积为V.
25、Vaa360sin212162）（aa22129）（222rrlS名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 22 页 -.aaa4)21)(21(8933289）（.当且仅当 1 2a 4aa61时，体积最大，此时底面边长为12a 126132.答案为61.考点 9.简单多面体的侧面积及体积和球的计算棱柱侧面积转化成求矩形或平行四边形面积，棱柱侧面积转化成求三角形的面积.直棱柱体积V等于底面积与高的乘积.棱锥体积V等于31Sh其中S是底面积，h是棱锥的高.例 15.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB2a，BCCAAA1a，A1在底面ABC上的射影O在AC上求AB与侧
26、面AC1所成角；若O恰好是AC的中点，求此三棱柱的侧面积.思路启迪 找出AB与侧面AC1所成角即是CAB；三棱锥侧面积转化成三个侧面面积之和，侧面BCC1B1是正方形，侧面ACC1A1和侧面ABB1A1是平行四边形，分别求其面积即可.解答过程：点A1在底面ABC的射影在AC上，平面ACC1A1平面ABC.在ABC中，由BCACa，AB2a.ACB90，BCAC.BC平面ACC1A1.即 CAB为AB与侧面AC1所成的角在RtABC中，CAB45.AB与侧面AC1所成角是45.O是AC中点，在RtAA1O中，AA1a，AO21a.AO123a.侧面ACC1A1面积S12123aAOAC.A1 B
27、1 C1 A B C D O 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 22 页 -.又BC平面ACC1A1，BCCC1.又BB1BCa，侧面BCC1B1是正方形，面积S2a2.过O作ODAB于D，A1O平面ABC，A1DAB.在RtAOD中，AO21a，CAD45OD42a在RtA1OD中，A1D222122342）（）（aaOAODa87.侧面ABB1A1面积S3aaDAAB8721227a.三 棱 柱 侧 面 积SS1S2S3273221a）（.例 16.等边三角形ABC的边长为4，M、N分别为AB、AC的中点，沿MN将AMN折起，使得面AMN与面MNCB所成的二面
28、角为30，则四棱锥AMNCB的体积为（）A、23B、23C、3D、3 思路启迪 先找出二面角平面角，即AKL,再在AKL中求出棱锥的高h，再利用V31Sh即可.解答过程：在平面图中，过A作ALBC，交MN于K，交BC于L.则AKMN，KLMN.AKL30.则四棱锥AMNCB的高h30sinAK23.KL242SMNCB33.A B C M N K L A B C M N K L 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 22 页 -.233331VMNCBA23.答案A【专题综合训练】一、选择题1如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在BB1上，且BD=
29、1，若AD与侧面AA1CC1所成的角为，则的值为（）A.3 B.4C.410arctan D.46arcsin2直线a与平面成角，a是平面的斜线，b是平面内与a异面的任意直线，则a与b所成的角（）A.最小值，最大值 B.最小值，最大值2C.最小值，无最大值 D.无最小值，最大值43在一个45的二面角的一平面内有一条直线与二面角的棱成45角，则此直线与二面角的另一平面所成的角为（）A.30 B.45 C.60 D.904如图，直平行六面体ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，60BAD，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成的角的正弦值为（）B A C D D1 C1 B1 A1 C B A 1
30、A1B1CD 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 22 页 -.A.21 B.23C.22 D.435已知在ABC中，AB=9，AC=15，120BAC，它所在平面外一点P到ABC三顶点的距离都是14，那么点P到平面ABC的距离为（）A.13 B.11 C.9 D.7 6如图，在棱长为3 的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1、A1D1的中点，则点B到平面AMN的距离是（）A.29 B.3C.556 D.2 7将60QMN，边长MN=a的菱形MNPQ沿对角线NQ折成60的二面角，则MP与NQ间的距离等于()A.a23 B.a43 C.a46 D
31、.a438二面角l的平面角为120，在内，lAB于B，AB=2,在内，lCD于D，CD=3,BD=1,M是棱l上的一个动点，则AM+CM的最小值为()A.52 B.22 C.26 D.629空间四点A、B、C、D中,每两点所连线段的长都等于a,动点P在线段AB上,动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为()A.a21 B.a22 C.a23 D.a10在一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为a，现有一张正方形包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小边长应为（）A.a)62(B.a262 C.a)31(D.a23111已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A=AB=2
32、，若棱AB上存在点P，使PCPD1，则棱AD的长的取值范围是()A.1,0 B.2,0 C.2,0 D.2,112将正方形ABCD沿对角线AC折起，使点D在平面ABC外，则DB与平面ABC所成的角一定不等于（）A D B A D1 C1 B1 A1 M N 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 22 页 -.A.30B.45C.60 D.90二、填空题1如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1，E是A1B1的中点，则下列四个命题：E到平面ABC1D1的距离是21；直线BC与平面ABC1D1所成角等于45；空间四边形ABCD1在正方体六个面内的射影围成面积最小
33、值为21；BE与CD1所成的角为1010arcsin2如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，P是A1C1 上的动点，E为CD上的动点，四边形ABCD满足_时，体积AEBPV恒为定值（写上你认为正确的一个答案即可）3边长为1 的等边三角形ABC中,沿BC边高线AD 折起,使得折后二面角B-AD-C为 60,则点A到BC的距离为 _,点D到平面ABC的距离为_.4在水平横梁上A、B两点处各挂长为50cm的细绳，AM、BN、AB的长度为60cm，在MN处挂长为60cm 的木条，MN平行于横梁，木条的中点为O，若木条绕过O的铅垂线旋转60，则木条比原来升高了_.5多面体上，位于同一条棱两端的顶点
34、称为相邻的.如图正方体的一个顶点A在平面内.其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到的距离分别是1、2 和 4.P 是正方体其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：3；4；5；6；7.以上结论正确的为 .（写出所有正确结论的编号）6.如图，棱长为 1m的正方体密封容器的三个面上有三个锈蚀的小孔（不计小孔直径）O1、O2、O3它们分别是所在面的中心.如果恰当放置容器，容器存水的最大容积是_m3.三、解答题1 在正三棱柱ABC A1B1C1中，底面边长为a,D 为 BC为中点，M在 BB1上，且 BM=13B1M，又 CM AC1;（1）求证：CM C1D;D C B A E D
35、1 A1 C1 B1 O1 O2 O3 A B D C P E A1 D1 C1 B1 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 22 页 -.（2）求 AA1的长.2 如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面是矩形且AD=2，AB=PA=2，PA 底面 ABCD，E是 AD的中点，F 在 PC上.(1)求 F 在何处时，EF平面 PBC；(2)在(1)的条件下，EF是不是 PC与 AD的公垂线段.若是，求出公垂线段的长度；若不是，说明理由；(3)在(1)的条件下，求直线BD与平面 BEF所成的角.3如图，四棱锥SABCD的底面是边长为1 的正方形，SD垂直于底面ABCD，S
36、B=3（1）求证 BCSC；（2）求面 ASD与面 BSC所成二面角的大小；（3）设棱 SA的中点为M，求异面直线DM与 SB所成角的大小4在直角梯形ABCD中，D=BAD=90,AD=DC=21AB=a,(如图一)将 ADC 沿 AC折起，使D到D记面 ACD为,面 ABC为面 BCD为（1）若二面角AC为直二面角（如图二），求二面角BC的大小;（2）若二面角AC为 60（如图三），求三棱锥DABC的体积名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 17 页，共 22 页 -.5如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点（1）求证AM
37、/平面BDE；（2）求二面角A DF B的大小；（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60【参考答案】一选择题1.D 提示：AD在面ACC1A1上的射影应在AC与A1C1中点的连线上，令射影为E，则EAD为所求的角.在 RtEAD中，.46223sin.2,23ADDEEADADDE.46arcsinEAD2.B 提示：由最小角定理知，最小角为，又异面直线所成角的范围为2,0，最大角为2.3.A 提示：由最小角定理知，此直线与另一面所成的角应小于等于它与交线所成的角，故排除 C、D，又此二面角为45，则此直线与另一平面所成的角只能小于它与交线所成的角，故选 A.4.D 提示：
38、由题意，A1在面DCC1D1上的射影应在C1D1延长线E上，且D1E=1，则A1CE为所求角，在RtAA1C中，.43sin,3,411112211CAEACEAEAACAACA5.D 提示：由P到ABC三个顶点的距离都是14，知P在底面ABC的射影是ABC的外心，所以PO为所求.由余弦定理得：BC=21.由3142321120sin2BCR得外接圆半径为37，即37OB，在 RtPOB中，.722BOPBPO名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 18 页，共 22 页 -.6.D 提示：由题图得AMBAMNAMBNAMNBSShVV233131.2123332.22AMBAMNA
39、MNShSS7.B 提示：连结MP、NQ交于O，由四边形MNPQ是菱形得MPNQ于O，将MNQ折起后易得MOQN，OPQN，所以MOP=60，且 QN 面MOP，过O作OHMP，所以OHQN，从而OH为异面直线MP、QN的公垂线，经计算得.43aOH8.C 提示：把半平面展到半平面内,此时,连结AC与棱的交点为M,这时AM+CM取最小值等于AC.(AM+CM)min=.26)32(129.B 提示：P、Q的最短距离即为异面直线AB与CD间的距离，当P为AB的中点，Q为CD的中点时符合题意.10.B 提示：将正棱锥展开，设正方形边长为m，则262,32maam11.A 提示：,1PCDPPCPD
40、在长方形ABCD中AB边存在P，作PCDP，又因为AB=2，由对称性可知，P为AB的中点时，AD最大为 1，1,0AD故选 A.12.D 提示：若BD与平面ABC所成的角为90，则ABCABD平面平面，取AC的中点O，则ACDOACBD，且BO=DO，BOBD与不垂直，故BD与平面ABC所成的角一定不等于90.二填空题1 提 示：对 于 ，由ABECABCEVV11得ABEABCSSh131311，221ABCABESSh，错.对于连CB1交BC1于O，则O为C在面ABC1D1上的射影，45CBO为所成的线面角，正确.作图易知正确，对于连A1B，则BEA1为所成的角，解BEA1得1010sin
41、1BEA，正确.2ABCD 提示：ABEPAEBPShV31，要使体积为定值，则ABES为定值，与E点位置无关，则ABCD31015,415提示：作BCDE与E，易知BCDAD平面，从而BCAE，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 19 页，共 22 页 -.60BDC又由21DCBD，得，又2343ADDE41522ADDEAE，由可解的点到平面的距离为1015.4.10cm 提示：MO=NO=30cm，过O作M N与旋转前的MN平行且相等，所以旋转后AB与平面NOM的距离为40305022，故升高了50-40=10cm.5.6.65.三、解答题1（1）证明：在正三棱柱ABC
42、A1B1C1中，D为 BC中点，则AD 面 BCC1B1，从而 AD MC 又 CM AC1，则 MC和平面 ADC1内两相交直线AD，AC1均垂直MC 面 ADC1，于是 MC DC1.(2)解：在矩形BB1C1C中，由 CM DC1 知 DCC1 BMC，设 BB1=h,则 BM=14h 14h:a=,22ahha：求得从而所求 AA1=2a2.解：()以A为坐标原点，以射线AD、AB、AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则p(0，0，2)，A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(2，2，0)，D(2，0，0)，E(1，0，0)F在PC上，可令,PCPF设F(x，y，z)z,y,
43、xEF,PC,BC1222002EF平面PBC，0PCEF且0BCEF，又PCPF，可得22121zy,x,故F为PC的中点.()由()可知：EFPC，且EFBC即EFADEF是PC与AD的公垂线段，其长为|EF|=1()由()可知222,PC即为平面BEF的一个法向量而022,BD设BD与平面BEF所成角，则：sin=cos63PCBDPCBDPCBD=arcsin63.故 BD与平面 BEF所成角为arcsin63名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 20 页，共 22 页 -.3（1）证法一：如图，底面ABCD是正方形，BC DC SD底面 ABCD，DC是 SC在平面 AB
44、CD 上的射影，由三垂线定理得BC SC 证法二：如图1，底面ABCD 是正方形，BC DC SD 底面 ABCD，SDBC，又 DC SD=D，BC 平面 SDC，BC SC（2）解：如图2，过点 S作直线,/ADll在面 ASD上，底面 ABCD 为正方形，lBCADl,/在面 BSC上，l为面 ASD与面 BSC的交线l,SClSDlSCBCADSD CSD为面 ASD与面 BSC所成二面角的平面角BD=2，SB=3，SAD=1 045.CSD（3）解 1：如图 2，SD=AD=1，SDA=90，SDA是等腰直角三角形又M是斜边 SA的中点，DM SA BA AD，BA SD，ADSD=
45、D，BA 面 ASD，SA是 SB在面 ASD上的射影由三垂线定理得DM SB 异面直线DM与 SB所成的角为90解 2：如图 3，取 AB中点 P，连结 MP，DP 在 ABS中，由中位线定理得 MP/SB，DMP是异面直线DM与 SB所成的角2321SBMP，又,25)21(1,222DPDM在 DMP 中，有 DP2=MP2+DM2，90DMP异面直线DM与 SB所成的角为904 解：（1）在直角梯形ABCD 中，由已知DAC为等腰直角三角形，45,2CABaAC,过 C作 CH AB，由 AB=2a，可推得 AC=BC=.2a AC BC 取 AC 的中点 E，连结ED，则ED AC
46、又 二面角ACa为直二面角，ED又BC平面 BCED BCa，而aCD，BCCDCAD为二面角BC的平面角由于45CAD，二面角BC为45（2）取 AC的中点 E，连结ED，再过D作OD，垂足为O，连结 OE ACED，ACOEEOD为二面角ACa的平面角，EOD60在OEDRt中，aACED2221，ODSVABCABCD31ODBCAC2131aaa462261.1263a5解法一:(1)记 AC与 BD的交点为O,连接 OE,O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，四边形AOEM 是平行四边形，AM OE OE平面BDE，AM平面BDE，AM 平面BDE(2)在平面AFD中过 A
47、作 AS DF 于 S，连结 BS，AB AF，ABAD，,AAFAD AB 平面 ADF，AS是 BS在平面 ADF上的射影，由三垂线定理得BS DF BSA是二面角 ADFB的平面角图 1图 2图 3名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 21 页，共 22 页 -.在 RtASB中，,2,36ABAS,60,3tanASBASB二面角A DFB的大小为60o（3）设 CP=t（0t2）,作 PQ AB于 Q，则 PQ AD，PQ AB，PQ AF，AAFAB，PQ 平面 ABF，QF平面 ABF，PQ QF 在 RtPQF中，FPQ=60 o，PF=2PQ PAQ 为等腰直角三
48、角形，).2(22tPQ又 PAF为直角三角形，1)2(2tPF，).2(2221)2(2tt所以 t=1 或 t=3(舍去),即点 P是 AC的中点解法二：（1）建立如图所示的空间直角坐标系设NBDAC，连接 NE，则点 N、E的坐标分别是（)0,22,22、（0,0,1）,)1,22,22(NE,又点 A、M的坐标分别是)0,2,2(,（)1,22,22AM=（)1,22,22AMNE且 NE与 AM不共线，NE AM 又NE平面 BDE，AM平面 BDE，AM 平面 BDF（2）AFAB，AB AD，AF,AADAB 平面ADF AB)0,0,2(为平面 DAF的法向量DBNE=（)1,22,22)0,2,2(=0，NFNE=（)1,22,22)0,2,2(=0 得DBNE，NFNE，NE为平面 BDF的法向量cosNEAB=21AB与 NE的夹角是60o即所求二面角 ADFB的大小是60o（3）设 P(t,t,0)(0t 2)得 PF),1,2,2(ttBC=（2，0，0）又 PF和 BC所成的角是60o21)2()2(2)2(60cos22ttt解得22t或223t（舍去），即点 P是 AC的中点名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 22 页，共 22 页 -