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1、第二节离散性随机变量及其分布第1页，此课件共32页哦 这样，我们就掌握了X这个随机变量取值的概率规律。从中任取3个球取到的白球数X是一个随机变量X可能取的值是0,1,2取每个值的概率为33351010CP XC2132356110C CP XC1232353210C CP XC例2.1且311iP Xi第2页，此课件共32页哦 1、定义 设离散型随机变量X的所有可能取值为xk（k=1,2,），称X取各个可能值的概率，即事件X=xk的概率，PX=xk=pk,（k=1,2,）为X的分布律或概率分布（Probability distribution）。也可以表示为Xx1 x2xkpkp1p2pk一、
2、离散型随机变量概率分布的定义第3页，此课件共32页哦用这两条性质判断一个函数是否是概率分布（1）pk 0,k1,2,;（2）2.分布律的性质11.kkp 例2.2 设随机变量X的概率分布为：,!kP Xkak k=0,1,2,试确定常数a。0第4页，此课件共32页哦解:依据概率分布的性质:01kP Xk PX=k0,01!kkaaek a0从中解得 。欲使上述函数为概率分布ae 0!kkek 这里用到了幂级数展开式,!kP Xkak k=0,1,2,0第5页，此课件共32页哦3.利用分布律求事件概率离散型随机变量的分布律不仅给出了X=xk 的概率，而且通过它可以求事件发生的概率。kkkkaxb
3、axbP aXbP Xxp ,aXbab 由概率的有限可加性有第6页，此课件共32页哦例2.3 设袋中有5只球，其中有2只白3只红。现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概率。32335,0,1,2.kkC CP XkkC 解：k可取值0，1，2，求抽得白球数至少为的概率。?第7页，此课件共32页哦例2.4 某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的分布律。解：X可取0、1、2为值 PX=0=(0.1)(0.1)=0.01 PX=1=2(0.9)(0.1)=0.18 PX=2=(0.9)(0.9)=0.81 且 PX=0+PX=1+PX=2=1第8页，此课件共3
4、2页哦1.（0-1）分布若随机变量X只取0和1，其分布律为 PXkpk(1p)1k,k0,1 (0p1)则称X服从参数为p的（0-1）分布(贝努利分布或两点分布)（Two-point distribution）。Xkp10p1p 二、常见的离散型随机变量的概率分布其分布律也可以写成第9页，此课件共32页哦 凡是随机试验只有两个可能的结果，常用0-1分布描述，如产品是否格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等。应用场合 200件产品中，有196件是正品，4件是次品，今从中随机地抽取一件，若规定例2.5X=1,取到合格品0,取到不合格品则 PX=1=196/200=0.98，PX=0
5、=4/200=0.02，故X服从参数为0.98的两点分布。第10页，此课件共32页哦若以X表示n重伯努利试验事件A发生的次数，则称X服从参数为n,p的二项分布（binomial distribution）。记作Xb（n,p),其分布律为：(1),(0,1,.,)kkn knP XkppknC 2.伯努利试验、二项分布设将试验独立重复进行n次，每次试验都只有两种可能的结果A和 ，设事件A发生的概率为p，则称这n次试验为n重伯努利试验。A第11页，此课件共32页哦 例2.6 从某大学到火车站途中有6个交通岗，假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立，并且遇到红灯的概率都是1/3。（1）设X为汽车行驶途
6、中遇到的红灯数，求X的分布律。（2）求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率。解:（1）由题意，X b(6,1/3),于是X的分布律为:66120,1,.,633kkkP XkCk (2)556P XP XP X 565612113333729C 第12页，此课件共32页哦例2.7 某人射击的命中率为0.02，他独立射击400次，试求其命中次数不少于2的概率。解：设X表示400次独立射击中命中的次数，则Xb(400,0.02)，故,PX2=1-PX=0-PX=1 =1-0.98400-(400)(0.02)(0.98399)=0.9972。例2.8，见P35例2。第13页，此课件共32页哦注:伯努
7、利概型对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求：（1）每次试验条件相同；二项分布描述的是n重伯努利试验中出现“成功”次数X的概率分布。（3）各次试验相互独立。（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或 A，且P(A)=p，P(A)=1-p；第14页，此课件共32页哦二项分布 b(n,p)和0-1分布之间的关系1.若X服从0-1分布，则X b(1,p)；2.把试验E在相同条件下，相互独立地进行n次，记X为n次独立试验中结果A出现的次数，Xi为第i次试验中结果A出现的次数，则Xi b(1,p)，且X=X1+X2+Xn b(n,p)。设试验E只有两个结果：A和 A。记p=P(A),0p1第15页，此课件共
8、32页哦3.泊松(Poisson)分布定义 若离散型随机变量X的分布律为PXk ,k0,1,2,(0),!kek 则称X服从参数为的泊松分布，记为X()。易见000,1,2,1!kkP Xkkek 第16页，此课件共32页哦例2.9 某一无线寻呼台，每分钟收到寻呼的次数X服从参数=3 的泊松分布。求：（1）一分钟内恰好收到3次寻呼的概率。（2）一分钟内收到2至5次寻呼的概率。解：因为 X(3)，所以X的分布律为 PX=k=(3k/k!)e-3,k0,1,2,.则，（1）PX=3=(33/3!)e-30.2240 （2）P2X5 =PX=2+PX=3+PX=4+PX=5 =(32/2!)+(33
9、/3!)+(34/4!)+(35/5!)e-3 0.7169第17页，此课件共32页哦解:例2.10 某一城市每天发生火灾的次数X服从参数为0.8的泊松分布。求该城市一天内发生3次以上火灾的概率。PX3=1-PX3 =1-PX=0+PX=1+PX=2 =1-(0.8 0/0!)+(0.81/1!)+(0.82/2!)e-0.8 0.0474 第18页，此课件共32页哦泊松分布的图形特点：Xp()第19页，此课件共32页哦历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的。泊松定理：对于二项分布b(n,p)，当n充分大，p又很小时，则对任意固定的非负整数k，有近似公式 PX
10、=k=pk(1-p)n-k 其中 。knCenk!np第20页，此课件共32页哦对例2.用泊松定理，取=np(400)(0.02)8，故近似地有 PX21 PX0P X11(18)e80.996981。(1)!kkkn knP XkC ppek 第21页，此课件共32页哦由泊松定理，n重伯努利试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布。我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件，如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等。第22页，此课件共32页哦对于离散型随机变量，如果知道了它的概率分布,也就知道了该随机变量取值的概率规律。在这个意义上，我们说离散型随机变量由它的概率分布唯一确定。两点分
11、布、二项分布、泊松分布第23页，此课件共32页哦对非离散型随机变量，其取值不是离散的，有时可以充满整个区间，对于这种更一般的随机变量，我们感兴趣的就不是它取到某个具体的数的概率，而是它的取值落在某一个区间上的概率，比如：Px1a。Px1a=1-PX a。为此我们引入随机变量分布函数的概念。三 随机变量的分布函数第24页，此课件共32页哦设X是随机变量，对任意实数x，事件Xx的概率PXx称为随机变量X的分布函数（Distribution function），记为F(x)，即 F(x)PXx。xX易知，对任意实数a,b(ab)，PaXbPXbPXa F(b)F(a)。一、分布函数的概念第25页，此
12、课件共32页哦1.这里分布函数的定义对任何随机变量都适用。2.分布函数F(x)P Xx 是一个普通的函数，它的自变量是全体实数。掌握了X的分布函数就掌握了X在(,+)上的概率分布情况。注:第26页，此课件共32页哦1、单调不减性：若x1x2，则F(x1)F(x2);()lim()0,()lim()1;xxFF xFF x 000(0)lim()().xxF xF xF x 3、右连续性：对任意实数x，二、分布函数的性质2、归一 性：对任意实数x，0F(x)1，且这三个性质是分布函数的充分必要性质第27页，此课件共32页哦例2.11 设随机变量X具分布律如右表，试求出X的分布函数及PX1,P0.
13、5X1.5,P1X2。解：()F xx0112()F xP Xx X012Pk0.10.60.30,00.1,010.7,121,2xxxx 。第28页，此课件共32页哦PX1=F(1)=0.7,P0.5X 1.5=F(1.5)-F(0.5)=0.7-0.1=0.6,P1 X 2000 101()0 71212,x.,xFx.,x,x =F(2)-F(1)+PX=1=1-0.7+0.6=0.9 第29页，此课件共32页哦一般地，对离散型随机变量 XPX=xkpk,k1,2,其分布函数为 ()kkxxF xP Xxp 第30页，此课件共32页哦例2.12 向0,1区间随机抛一质点，以X表示质点坐标。假定质点落在0,1区间内任一子区间内的概率与区间长成正比，求X的分布函数。00()0111,xF xP Xxx,x,x 当x1时，Xx=S,故F(x)=1。第31页，此课件共32页哦用分布函数描述随机变量不如分布律直观，对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？?abP aXb?第32页，此课件共32页哦