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1、第二节 离散型随机变量及其概率分布第1页，共57页，编辑于2022年，星期二一、离散型随机变量的概率分布一、离散型随机变量的概率分布 从中任取从中任取3 3 个球，个球，取到的白球数取到的白球数X X是一个随机变量是一个随机变量 .(1)(1)X X 可能取的值是可能取的值是0,1,2;0,1,2;(2)(2)取每个值的概率为取每个值的概率为引例引例这样，我们就掌握了这样，我们就掌握了X X这个随机变量取值的这个随机变量取值的概率规律概率规律.且且第2页，共57页，编辑于2022年，星期二一、离散型随机变量的概率分布一、离散型随机变量的概率分布 研究离散型随机变量概率分布，即寻找随机变量研究离
2、散型随机变量概率分布，即寻找随机变量所有可能的取值以及取每个值所对应的概率。所有可能的取值以及取每个值所对应的概率。1 1、离散型随机变量的定义、离散型随机变量的定义 分布函数可以研究离散型随机变量的概率分布，分布函数可以研究离散型随机变量的概率分布，除此之外，针对离散型特点，我们引入研究离散型随除此之外，针对离散型特点，我们引入研究离散型随机变量的重要工具机变量的重要工具概率分布律（列）概率分布律（列）第3页，共57页，编辑于2022年，星期二一、离散型随机变量的概率分布一、离散型随机变量的概率分布2 2、离散型随机变量的概率分布、离散型随机变量的概率分布 定定义义：设设 x xk k(k
3、k=1,2,=1,2,)是是离离散散型型随随机机变变量量 X X 所所取取的的一切可能值，称一切可能值，称为为离散型随机变量离散型随机变量 X X 的分布律的分布律.概率分布列概率分布列概率分布阵概率分布阵第4页，共57页，编辑于2022年，星期二一、离散型随机变量的概率分布一、离散型随机变量的概率分布3 3、性质、性质用这两条性质用这两条性质判断一个函数判断一个函数是否是分布律是否是分布律注意：注意：只有离散型才有概率分布列。只有离散型才有概率分布列。思考：思考：下列两个等式一样么？下列两个等式一样么？第5页，共57页，编辑于2022年，星期二解解:依据分布律的性质依据分布律的性质P P(X
4、 X=k k)0,)0,a a0,0,从中解得从中解得即即例例1 1设随机变量设随机变量X X的分布律为的分布律为k k=0,1,2,=0,1,2,试确定常数试确定常数a a.一、离散型随机变量的概率分布一、离散型随机变量的概率分布第6页，共57页，编辑于2022年，星期二例例2 2 某篮球运动员投中篮圈概率是某篮球运动员投中篮圈概率是0.90.9，求他两次独立投，求他两次独立投篮投中次数篮投中次数X X 的概率分布的概率分布.解：解：X X可取值为可取值为0,1,2 0,1,2 P P X X=0=(0.1)(0.1)=0.01=0=(0.1)(0.1)=0.01 P P X X=1=2(0
5、.9)(0.1)=0.18=1=2(0.9)(0.1)=0.18 P P X X=2=(0.9)(0.9)=0.81=2=(0.9)(0.9)=0.81一、离散型随机变量的概率分布一、离散型随机变量的概率分布即即第7页，共57页，编辑于2022年，星期二一、离散型随机变量的概率分布一、离散型随机变量的概率分布例例3 3 设随机变量设随机变量X X的分布列为的分布列为求：常数求：常数a a，P P(X X1)1)，P P(-2(-2X X 0)0)，P P(X X 2).2).解：解：由归一性由归一性得得P P(X X1)1)P P(-2(-2X X0)0)=P=P(X X=-2)+=-2)+P
6、 P(X X=-1)+=-1)+P P(X X=0)=5/8=0)=5/8=P P(X X=-1)+=-1)+P P(X X=0)=1/2=0)=1/2P P(X X 2)2)=P P(X X=2)=1/4=2)=1/4第8页，共57页，编辑于2022年，星期二一、离散型随机变量的概率分布一、离散型随机变量的概率分布小结：小结：即：离散型随机变量落入任何区间内的概率，等于该区即：离散型随机变量落入任何区间内的概率，等于该区间内所有正概率点对应概率之和。间内所有正概率点对应概率之和。第9页，共57页，编辑于2022年，星期二练练习习1 1 某某射射手手连连续续向向一一目目标标射射击击，直直到到命
7、命中中为为止止，已已知知他每发命中的概率是他每发命中的概率是p p，求射击发数，求射击发数X X的分布律的分布律.解解:X X 可能取的值是可能取的值是1,2,1,2,，P P X X=1=1=P P(A A1 1)=)=p p,为计算为计算 P P X X=k k ，k k=1,2,=1,2,，A Ak k =第第k k发命中发命中，k k=1,2,=1,2,，设设于是于是一、离散型随机变量的概率分布一、离散型随机变量的概率分布分布律为分布律为第10页，共57页，编辑于2022年，星期二二、离散型随机变量的分布函数二、离散型随机变量的分布函数 随机变量的分布函数同样可以描述随机变量落入任意区
8、随机变量的分布函数同样可以描述随机变量落入任意区间的概率，那么分布函数与离散型分布列有什么关系呢？间的概率，那么分布函数与离散型分布列有什么关系呢？第11页，共57页，编辑于2022年，星期二二、离散型随机变量的分布函数二、离散型随机变量的分布函数当当 x x0 0 时时，X X x x =，故故 F F(x)x)=0=0例例4 4设随机变量设随机变量 X X 的分布律为的分布律为当当 0 0 x x 1 1 时时，F F(x x)=)=P P X X x x=P P(X X=0)=0)=F F(x x)=P=P(X X x x)解解X X求求 X X 的分布函数的分布函数 F F(x x).
9、第12页，共57页，编辑于2022年，星期二当当 1 1 x x 2 2 时时，F F(x x)=)=P P X X=0+=0+P P X X=1=+=1=+=当当 x x 2 2 时时，F F(x x)=)=P P X X=0+=0+P P X X=1+=1+P P X X=2=1=2=1二、离散型随机变量的分布函数二、离散型随机变量的分布函数第13页，共57页，编辑于2022年，星期二故故特点：特点：下面我们从图形上来看一下下面我们从图形上来看一下.1.1.分段函数分段函数2.2.右连续右连续3.3.X X取值点为分界点取值点为分界点4.4.分段区间左闭右开分段区间左闭右开二、离散型随机变
10、量的分布函数二、离散型随机变量的分布函数第14页，共57页，编辑于2022年，星期二的分布函数图的分布函数图二、离散型随机变量的分布函数二、离散型随机变量的分布函数特点：特点：阶梯曲线阶梯曲线在在x xk k 处有跳跃处有跳跃跳跃值为跳跃值为P P X=xX=xk k =p pk kX X第15页，共57页，编辑于2022年，星期二二、离散型随机变量的分布函数二、离散型随机变量的分布函数总结：总结：设离散型随机变量设离散型随机变量 X X 的分布律为的分布律为P P X=xX=xk k =p pk k ,k=k=1,2,3,1,2,3,F F(x x)=)=P P(X X x x)=)=即即F
11、 F(x x)是是 X X 取取 的诸值的诸值 x xk k 的概率之和的概率之和.则其分布函数为则其分布函数为第16页，共57页，编辑于2022年，星期二例例5 5 一个靶子是半径为一个靶子是半径为2m2m的圆盘的圆盘,设击中靶上任设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶并设射击都能中靶,以以X X表示弹着点与圆心的距离表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量试求随机变量 X X 的分布函数的分布函数.解解二、离散型随机变量的分布函数二、离散型随机变量的分布函数第17页，共57页，编辑于2022年，星期二于是于是故故 X
12、X 的分布函数为的分布函数为其图形为一连续曲线其图形为一连续曲线二、离散型随机变量的分布函数二、离散型随机变量的分布函数第18页，共57页，编辑于2022年，星期二二、离散型随机变量的分布函数二、离散型随机变量的分布函数练习练习2 2 设随机变量设随机变量X X的分布列为的分布列为求：求：F F(x x).).第19页，共57页，编辑于2022年，星期二三、几种常见离散型随机变量的概率分布三、几种常见离散型随机变量的概率分布1 1、单点分布（或退化分布）、单点分布（或退化分布）若随机变量若随机变量X X的全部可能取值为常数的全部可能取值为常数c c，即，即“X=cX=c”是必是必然事件，其概率
13、分布为然事件，其概率分布为P P(X=cX=c)=1)=1则称则称X X服从服从单点分布单点分布(或退化分布或退化分布).).例如，从一批全是合格品的产品中，任取例如，从一批全是合格品的产品中，任取c c件进行合格件进行合格性检查，若以性检查，若以X X表示所取到的合格品数，则表示所取到的合格品数，则“X=cX=c”是必是必然事件，其概率分布为然事件，其概率分布为P P(X=cX=c)=1.)=1.第20页，共57页，编辑于2022年，星期二三、几种常见离散型随机变量的概率分布三、几种常见离散型随机变量的概率分布2 2、两点分布（或、两点分布（或0-10-1分布、伯努利分布）分布、伯努利分布）
14、设随机变量设随机变量 X X 只可能取只可能取0 0与与1 1两个值两个值 ,它的分布它的分布律为律为则称则称 X X 服从服从 (0-1)(0-1)分布或两点分布分布或两点分布.第21页，共57页，编辑于2022年，星期二三、几种常见离散型随机变量的概率分布三、几种常见离散型随机变量的概率分布例如例如 200200件产品中，有件产品中，有190190件合格品件合格品,10,10件不合格品，件不合格品，现从中随机抽取一件，若规定现从中随机抽取一件，若规定取得不合格品取得不合格品,取得合格品取得合格品.则随机变量则随机变量 X X 服服从从两点两点分布分布.两点分布是最简单的一种分布两点分布是最
15、简单的一种分布,任何一个任何一个只有两只有两种可能结果种可能结果的随机现象的随机现象,比如新生婴儿是男还是女、明比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点分布都属于两点分布.第22页，共57页，编辑于2022年，星期二三、几种常见离散型随机变量的概率分布三、几种常见离散型随机变量的概率分布3 3、独立重复试验与二项分布、独立重复试验与二项分布（1 1）独立重复试验）独立重复试验 掷骰子：掷骰子：“掷出掷出4 4点点”，“未掷出未掷出4 4点点”抽验产品：抽验产品：“是正品是正品”，“是次品是次品”设在一次试验设在一次试验E E中只考虑两个互逆的结
16、果：中只考虑两个互逆的结果：A A 或或这样的试验这样的试验E E称为称为贝努利试验贝努利试验 .（两点分布）（两点分布）将伯努利试验将伯努利试验E E独立独立地地重复重复地进行地进行n n次次 ,则称这一串则称这一串重复的独立重复的独立试验为试验为n n重贝努利试验重贝努利试验 .“重复重复”是是指这指这 n n 次试验中次试验中P P(A A)=p=p 保持不变保持不变.“独立独立”是指各次试验的结果互不影响是指各次试验的结果互不影响 .第23页，共57页，编辑于2022年，星期二三、几种常见离散型随机变量的概率分布三、几种常见离散型随机变量的概率分布例如：例如：某射手独立向目标连续射击某
17、射手独立向目标连续射击4 4次，每次的命中率次，每次的命中率均为均为0.80.8，求其恰好命中，求其恰好命中3 3次的概率。次的概率。分析：分析：该实验为该实验为4 4重贝努利重贝努利第24页，共57页，编辑于2022年，星期二三、几种常见离散型随机变量的概率分布三、几种常见离散型随机变量的概率分布 由此可见，由此可见，n n重贝努利试验中，所研究的事件重贝努利试验中，所研究的事件在多次试验中在多次试验中“恰好发生恰好发生k k次次”的概率，对于研究试的概率，对于研究试验序列各种复杂的结果有着重要的意义。验序列各种复杂的结果有着重要的意义。第25页，共57页，编辑于2022年，星期二三、几种常
18、见离散型随机变量的概率分布三、几种常见离散型随机变量的概率分布 用用X X表示表示n n重贝努利试验中事件重贝努利试验中事件A A发生的次数，则发生的次数，则且两两互不相容且两两互不相容.共有共有（2 2）二项分布）二项分布第26页，共57页，编辑于2022年，星期二称这样的分布为称这样的分布为二项分布二项分布，记为，记为三、几种常见离散型随机变量的概率分布三、几种常见离散型随机变量的概率分布二项分布描述的是二项分布描述的是n n重贝努利试验中事件重贝努利试验中事件 A A 出现的次数出现的次数 X X 的分布律的分布律 .第27页，共57页，编辑于2022年，星期二例例6 6 已知已知100
19、100个产品中有个产品中有5 5个次品，现从中有放回个次品，现从中有放回地取地取3 3次，每次任取次，每次任取1 1个，求在所取的个，求在所取的3 3个中恰有个中恰有2 2个次品个次品的概率的概率.解解:因为这是有放回地取因为这是有放回地取3 3次，因此这次，因此这3 3 次试验的条件次试验的条件完全相同且独立，它是贝努利试验完全相同且独立，它是贝努利试验.依题意，每次试验取到次品的概率为依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.0.05.设设X X为所取的为所取的3 3个中的次品数，个中的次品数，于是，所求概率为于是，所求概率为则则X X B B(3,0.05)(3,0.05)，三、几种常见
20、离散型随机变量的概率分布三、几种常见离散型随机变量的概率分布第28页，共57页，编辑于2022年，星期二 若若将本例中的将本例中的“有放回有放回”改为改为“无放回无放回”,那么各次那么各次试验条件就不同了试验条件就不同了,此试验就不是伯努利试验此试验就不是伯努利试验 .此时此时,只能用古典概型求解只能用古典概型求解.注意注意：三、几种常见离散型随机变量的概率分布三、几种常见离散型随机变量的概率分布第29页，共57页，编辑于2022年，星期二分分析析 这是不放回抽样这是不放回抽样.但由于这批元但由于这批元件的总数很大件的总数很大,且抽查元件的数量相对于元件的总数且抽查元件的数量相对于元件的总数来
21、说又很小来说又很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.例例7三、几种常见离散型随机变量的概率分布三、几种常见离散型随机变量的概率分布 把检查一只元件是否为一级品看成是一次试把检查一只元件是否为一级品看成是一次试验，检查验，检查2020只元件相当于做只元件相当于做2020重贝努利试验重贝努利试验.第30页，共57页，编辑于2022年，星期二解：解：三、几种常见离散型随机变量的概率分布三、几种常见离散型随机变量的概率分布第31页，共57页，编辑于2022年，星期二注意：注意：P P(X X=4)=4)最大。最大。三、几种常见离散型随机变量的概率分布三、几种常见离
22、散型随机变量的概率分布第32页，共57页，编辑于2022年，星期二 一般地，若在一般地，若在k k0 0处，概率处，概率PX=kPX=k 达到最大（称达到最大（称k k0 0为随机变为随机变量量X X的最可能值），则的最可能值），则k k0 0应满足应满足 解上述不等式得解上述不等式得(n n+1)+1)p p-1-1 k k0 0 (n n+1)+1)p p 。因为。因为k k0 0必须为整必须为整数，所以数，所以 当当(n n+1)+1)p p为整数，为整数，其它，其它，本例中，本例中，n n=20=20，p p=0.2,=0.2,所以，所以，(n n+1)+1)p p=4.2,=4.2,
23、故故k k0 0=4=4。三、几种常见离散型随机变量的概率分布三、几种常见离散型随机变量的概率分布第33页，共57页，编辑于2022年，星期二三、几种常见离散型随机变量的概率分布三、几种常见离散型随机变量的概率分布二项分布与两点分布的关系二项分布与两点分布的关系二项分布二项分布两点分布两点分布1 1、2 2、第34页，共57页，编辑于2022年，星期二三、几种常见离散型随机变量的概率分布三、几种常见离散型随机变量的概率分布第35页，共57页，编辑于2022年，星期二三、几种常见离散型随机变量的概率分布三、几种常见离散型随机变量的概率分布 练习练习4 4 某人进行射击，设每次击中的概率为某人进行
24、射击，设每次击中的概率为0.020.02，独立，独立射击射击400400次，求至少击中两次的概率是多少？次，求至少击中两次的概率是多少？解解：这这是是一一个个独独立立重重复复试试验验概概型型，设设击击中中的的次次数数为为 X X，则则它它服服从从参参数数为为n n=400=400，p p=0.02=0.02的的二二项项分分布布，即即X XB B(400(400，0.02)0.02)，其概率分布为其概率分布为第36页，共57页，编辑于2022年，星期二三、几种常见离散型随机变量的概率分布三、几种常见离散型随机变量的概率分布4 4、泊松分布、泊松分布 泊泊松松分分布布是是18371837年年法法国
25、国数数学学家家泊泊松松（PoissonPoisson）作作为为二二项项分分布布的的近近似似计计算算机机引引入入的的。近近年年来来日日益益显显示示其其重重要要性性，即即它它不不仅仅是是二二项项分分面面的的泊泊松松近近似似，它它本本身身就就是是一一种种重重要要的分布。的分布。若随机变量若随机变量X X全部可能取值为一切非负整数，且全部可能取值为一切非负整数，且第37页，共57页，编辑于2022年，星期二三、几种常见离散型随机变量的概率分布三、几种常见离散型随机变量的概率分布泊松分布的背景及应用泊松分布的背景及应用二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射
26、性物质放出的粒子个数的情况时与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他他们做了们做了26082608次观察次观察(每次时间为每次时间为7.57.5秒秒)发现放射发现放射性物质在规定的一段时间内性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数其放射的粒子数X X 服从泊松分布服从泊松分布.在生物学、医学、工业统计、保险科学及在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中公用事业的排队等问题中 ,泊松分布是常见的泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等话呼唤次数等,都服从泊松分布都服从泊松分布.第38页，共57页，编辑于20
27、22年，星期二,则对固定的则对固定的 k k，有有设设PossionPossion定理定理:PoissonPoisson定理说明，若定理说明，若X bX b(n n,p p),),当当n n很大很大p p很小时，很小时，历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于18371837年由法国数学家泊松引入的年由法国数学家泊松引入的 .二项分布与泊松分布的关系二项分布与泊松分布的关系三、几种常见离散型随机变量的概率分布三、几种常见离散型随机变量的概率分布二项分布 泊松分布第39页，共57页，编辑于2022年，星期二三、几种常见离散型随机变量的概率分布三、几种常见离
28、散型随机变量的概率分布 在本节练习在本节练习3 3中，如果射手命中率是中，如果射手命中率是0.010.01，连续射击，连续射击400400次，击中至少两次的概率为次，击中至少两次的概率为 由于由于n n=400=400较大，较大，p p=0.01=0.01较小，因此可用泊松分布较小，因此可用泊松分布近似计算，即近似计算，即于是于是第40页，共57页，编辑于2022年，星期二三、几种常见离散型随机变量的概率分布三、几种常见离散型随机变量的概率分布 例例8 8 某商店出售某种贵重商品，根据以往经验，每月销某商店出售某种贵重商品，根据以往经验，每月销售量售量 X X 服从参数服从参数=3=3 的泊松
29、分布，问在月初进货时要库的泊松分布，问在月初进货时要库存多少件此商品，才能以存多少件此商品，才能以9999的概率充分满足顾客的需要的概率充分满足顾客的需要？解：设月初库存解：设月初库存k k件，则件，则即即查表，得查表，得 k k+1=9+1=9，即，即 k k=8.=8.第41页，共57页，编辑于2022年，星期二练习练习5 5 独立射击独立射击50005000次次,命中率为命中率为0.001,0.001,解解 (1)(1)k k=(=(n n+1)+1)p p =(5000+1)0.001=5=(5000+1)0.001=5求求 (1)(1)最可能命中次数及相应的概率；最可能命中次数及相应
30、的概率；(2)(2)命中次数不少于命中次数不少于1 1 次的概率次的概率.(至少命中至少命中1 1次的概率次的概率)三、几种常见离散型随机变量的概率分布三、几种常见离散型随机变量的概率分布第42页，共57页，编辑于2022年，星期二(2)(2)令令X X 表示命中次数表示命中次数,则则 X X B B(5000,0.001)(5000,0.001)三、几种常见离散型随机变量的概率分布三、几种常见离散型随机变量的概率分布第43页，共57页，编辑于2022年，星期二解解 令令X X 表示命中次数表示命中次数,则则 令令 此结果与用二项分布算得的结果此结果与用二项分布算得的结果0.99340.993
31、4仅相差万分仅相差万分之一之一.利用利用PoissonPoisson定理再求练习定理再求练习4 4 X X B B(5000,0.001)(5000,0.001)三、几种常见离散型随机变量的概率分布三、几种常见离散型随机变量的概率分布小概率事件虽不易发生，但重小概率事件虽不易发生，但重复次数多了，复次数多了，就成大概率事件就成大概率事件.启示启示第44页，共57页，编辑于2022年，星期二三、几种常见离散型随机变量的概率分布三、几种常见离散型随机变量的概率分布5 5、超几何分布、超几何分布在抽样理论中在抽样理论中(1)(1)有放回抽取，抽取的次品数服从二项分布有放回抽取，抽取的次品数服从二项分
32、布 （参数（参数n n为抽取数，为抽取数，p p是次品率）是次品率）.(2)(2)无放回抽取，抽得的次品数服从超几何分布无放回抽取，抽得的次品数服从超几何分布 （N N为产品总数，为产品总数，M M为次品总数，为次品总数，n n是抽取数）是抽取数）.第45页，共57页，编辑于2022年，星期二三、几种常见离散型随机变量的概率分布三、几种常见离散型随机变量的概率分布注：注：在在n n重伯努利试验中重伯努利试验中6 6、几何分布、几何分布第46页，共57页，编辑于2022年，星期二四、随堂练习四、随堂练习第47页，共57页，编辑于2022年，星期二四、随堂练习四、随堂练习5.5.有加以两种味道和颜
33、色都极为相似的名酒各有加以两种味道和颜色都极为相似的名酒各4 4杯，杯，如果从中挑如果从中挑4 4杯即能将甲种酒全部挑出来算试验成杯即能将甲种酒全部挑出来算试验成功一次。功一次。（1 1）某人随机去试，求其试验成功一次的概率。）某人随机去试，求其试验成功一次的概率。（2 2）某人声称他具有品酒能力，连续独立试验）某人声称他具有品酒能力，连续独立试验1010次成功次成功3 3次，试推断此人是否具有品酒能力。次，试推断此人是否具有品酒能力。第48页，共57页，编辑于2022年，星期二四、随堂练习四、随堂练习第49页，共57页，编辑于2022年，星期二四、随堂练习四、随堂练习第50页，共57页，编辑
34、于2022年，星期二F F(x x)=P=P(X X x x)四、随堂练习四、随堂练习第51页，共57页，编辑于2022年，星期二故故四、随堂练习四、随堂练习第52页，共57页，编辑于2022年，星期二四、随堂练习四、随堂练习第53页，共57页，编辑于2022年，星期二四、随堂练习四、随堂练习第54页，共57页，编辑于2022年，星期二四、随堂练习四、随堂练习第55页，共57页，编辑于2022年，星期二四、随堂练习四、随堂练习第56页，共57页，编辑于2022年，星期二5.5.有加以两种味道和颜色都极为相似的名酒各有加以两种味道和颜色都极为相似的名酒各4 4杯，杯，如果从中挑如果从中挑4 4杯即能将甲种酒全部挑出来算试验成杯即能将甲种酒全部挑出来算试验成功一次。功一次。（1 1）某人随机去试，求其试验成功一次的概率。）某人随机去试，求其试验成功一次的概率。（2 2）某人声称他具有品酒能力，连续独立试验）某人声称他具有品酒能力，连续独立试验1010次成功次成功3 3次，试推断此人是否具有品酒能力。次，试推断此人是否具有品酒能力。四、随堂练习四、随堂练习小概率事件的发生意味着鉴别成功绝非偶然。小概率事件的发生意味着鉴别成功绝非偶然。第57页，共57页，编辑于2022年，星期二