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1、常微分方程的数值解第一页，讲稿共二十二页哦第八章第八章 常微分方程的数值解常微分方程的数值解第二页，讲稿共二十二页哦0)(),()1(yaybxayxfy)(,)(),()2(0ayyaybxayyxfy nybyyaybxayyxfy)(,)(),()3(0第三页，讲稿共二十二页哦00)(),()1(yxyyxfy2121),(),(yyLyxfyxf第四页，讲稿共二十二页哦第五页，讲稿共二十二页哦一、欧拉（Euler）方法hxyxyxxxyxyxy)()()()()(0101010由00000)(),()(yxyyxfxy10001),()(yyxhfyxy得第六页，讲稿共二十二页哦hxy
2、xyxxxyxyxynnnnnnn)()()()()(111),()()(1nnnnyxhfxyxy),()(nnnyxfxy由得若记11)(,)(nnnnyxyyxy则上式可记为),(1nnnnyxhfyy第七页，讲稿共二十二页哦Pn+1yOxx0 x1x2xnP0P1P2Pny=y(x)xn+1Euler方法的几何意义：（Euler折线法）第八页，讲稿共二十二页哦例:用Euler方法求解常微分方程初值问题 yyxyxy203002()().并将数值解和该问题的解析解比较。21)(xxxy解析解：解：Euler方法的具体格式：yyhyxynnnnn122()第九页，讲稿共二十二页哦取h=0.
3、2,xn=nh,(n=0,1,2,15),f(x,y)=y/x 2y2 计算中取f(0,0)=1.计算结果如下：第十页，讲稿共二十二页哦由表中数据可以看到，微分方程初值问题的数值解和解析解的误差一般在小数点后第二位或第三位小数上，这说明Euler方法的精度是比较差的。第十一页，讲稿共二十二页哦00.511.522.5300.20.40.60.8O:数值解；:准确解 数值解和解析解的图示比较如下：第十二页，讲稿共二十二页哦xn,xn+1dxxyxfxyxynnxxnn1)(,()()(1)(,()(,(1nnxxxyxfhdxxyxfnn),(1nnnnyxhfyyxnn)(,()(,(111n
4、nxxxyxfhdxxyxfnn第十三页，讲稿共二十二页哦),(111nnnnyxhfyy得),()0(1nnnnyxhfyy),()(11)1(1knnnknyxhfyy),(),(11)(111)1(1nnknnnknyxfyxfhyy1)(1nknyyhL第十四页，讲稿共二十二页哦二、梯形方法dxxyxfxyxynnxxnn1)(,()()(1由)(,()(,(2)(,(111nnnnxxxyxfxyxfhdxxyxfnn),(),(2111nnnnnnyxfyxfhyy得第十五页，讲稿共二十二页哦),()0(1nnnnyxhfyy),(),(211)(111)1(1nnknnnknyx
5、fyxfhyy1)(12nknyyhL),(),(2)(11)1(1knnnnnknyxfyxfhyy第十六页，讲稿共二十二页哦由以上分析可以看出，隐式方法的计算比显式方法复杂，需要用迭代法求解非线性方程才能得出计算结果。可采用将显式Euler格式与梯形格式结合使用的方法来避免求解非线性方程。记),(1nnnnyxhfyy再用梯形格式计算：),(),(2111nnnnnnyxfyxfhyy预测校正上面两式统称预测校正法，又称改进的Euler方法。第十七页，讲稿共二十二页哦三、单步法的局部截断误差和精度),(11hyyxhyynnnnn),(1hyxhyynnnnx0开始，考虑每一步产生的误差，
6、直到xn，则有误差nnnyxye)(称为数值方法在节点xn处的整体截断误差。但en不易分析和计算，故只考虑从xn到xn+1的局部情况。第十八页，讲稿共二十二页哦),(,()()(11hxyxhxyxyTnnnnnxn+1)(),()()(11pnnnnnhOhyxhxyhxyT第十九页，讲稿共二十二页哦)(,()()(11nnnnnxyxhfxyxyT)()()(nnnxyhxyhxy)()()(2)()(2nnnnnxyhxyyhxyhxy)()(2)(2322hOxyhyhnn ),(1nnnxx)()2/(2nxyh Tn+1O(h2)ynxn其中第二十页，讲稿共二十二页哦)()(2)()(111nnnnnxyxyhxyxyT)(!3)(2)(32nnnxyhxyhxyh )()(2)()()(242hOxyhxyhxyxyhnnnn )()(1243hOxyhn 故Tn+1O(h3)()12/(3nxyh 第二十一页，讲稿共二十二页哦本章作业第二十二页，讲稿共二十二页哦