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1、平面曲线运动转动刚体第一页，讲稿共二十五页哦2-3 平面曲线运动平面曲线运动一、抛体运动一、抛体运动(斜抛斜抛)抛体运动抛体运动从地面上某点抛向空中的一个物体在空中的运动从地面上某点抛向空中的一个物体在空中的运动 抛体运动一般是二维运动抛体运动一般是二维运动 若忽略空气阻力和风的作用，则抛体在任意时刻的加速若忽略空气阻力和风的作用，则抛体在任意时刻的加速 度都是重力加速度度都是重力加速度 而而 一般被视为恒矢量，所以，一般被视为恒矢量，所以，这种抛体运动又是这种抛体运动又是二维匀加速运动二维匀加速运动ggyox0vxv0斜抛运动的轨迹方程和最大射程斜抛运动的轨迹方程和最大射程已知已知t=0时时
2、x0=y0=0，0vtv轨迹方程轨迹方程 沿沿x、y轴的分量为轴的分量为0vsincos0000vvvvyx 为为抛射角抛射角yv0gm第二页，讲稿共二十五页哦yox0vyv0 xv02-3 平面曲线运动平面曲线运动抛体在空中的加速度为抛体在空中的加速度为2220cos2tanxvgxy20021sincosgttvytvx轨迹方程轨迹方程gtvvvvyxsincos00速度速度位矢位矢jgttvitvr20021sincos运动方程运动方程jgtvivvsincos00gaayx0利用初始条件可得利用初始条件可得 tvxvyv第三页，讲稿共二十五页哦yox tvxvyv0vyv0 xv02-
3、3 平面曲线运动平面曲线运动最大射程最大射程物体从抛出到回落到与抛出点同一水平物体从抛出到回落到与抛出点同一水平面所用时间为面所用时间为gvTsin20射程射程物体从抛出到回落到与抛出点同一物体从抛出到回落到与抛出点同一高度所经过的水平距离高度所经过的水平距离gvX2sin20在初速度给定的情况下，在初速度给定的情况下，射程与抛射程与抛射角有关射角有关令令gvX20max02cos2dd20gvX4最大射程最大射程X射程射程第四页，讲稿共二十五页哦2-3 平面曲线运动平面曲线运动yox实际路径实际路径真空中的路径真空中的路径斜抛运动的实际路径斜抛运动的实际路径若空气阻力和风力不能忽略若空气阻力
4、和风力不能忽略，则物体经历的路径不再是，则物体经历的路径不再是对称的抛物线对称的抛物线最大高度最大高度抛体达到最大高度时，vy=0，由此可得gvH2sin220gvtsin0最大高度最大高度在初速度给定的情况下，在初速度给定的情况下，最大最大高度与抛射角有关高度与抛射角有关第五页，讲稿共二十五页哦2-3 平面曲线运动平面曲线运动jgttvitvr20021sincosjgti tvr2021jgttvr2021jgttvr2021jgtvivvsincos00斜抛运动的几个特例斜抛运动的几个特例=0，平抛=/2，竖直上抛=-/2，竖直下抛jgtivv0jgtvv0jgtvv0第六页，讲稿共二十
5、五页哦2-3 平面曲线运动平面曲线运动二、圆周运动二、圆周运动圆周运动圆周运动质点的运动轨迹始终在一个平面内，且运动轨迹为一个质点的运动轨迹始终在一个平面内，且运动轨迹为一个圆圆匀速率圆周运动匀速率圆周运动变速率圆周运动变速率圆周运动圆周运动圆周运动v=常数常数v随时间变化随时间变化圆周运动是变速运动圆周运动是变速运动质 点 运 动质 点 运 动方 向 在 不方 向 在 不断变化断变化平面极坐标平面极坐标直角坐标系与极坐标系的变换关系为AOxyr质点在平面上作曲线运动，某时刻位于A点，将从原点O指向A点的有向线段 称为径矢径矢，与Ox轴之间的夹角，则质点的坐标可以用(r,)来表示rrsinco
6、sryrx第七页，讲稿共二十五页哦2-3 平面曲线运动平面曲线运动质点在平面上作圆周运动时，若采用图示极坐标(坐标原点位于圆心)，则角位置角位置(角坐标角坐标)：随时间变化，则运动方程运动方程为：ttdd角速度角速度(角坐标随时间的变化 率，单位：rads-1)：角速度与线速度的关系角速度与线速度的关系rtrtsvddddOxyArAs平面自然坐标系平面自然坐标系(弧坐标系弧坐标系)坐标系的建立方法坐标系的建立方法在质点运动轨迹曲线上选择一点O作为原点Os以原点O至质点位置的长度s(弧长)作为质点的位置坐标规定规定在原点O的某一侧s为正，另一侧s为负这样，就可以用s唯一的确定质点的位置第八页，
7、讲稿共二十五页哦2-3 平面曲线运动平面曲线运动Ostene矢量的正交分解矢量的正交分解在质点所在位置处，其在质点所在位置处，其方向沿曲线的切线并指方向沿曲线的切线并指向自然坐标向自然坐标s增加的方向增加的方向切向单位矢量切向单位矢量te法向单位矢量法向单位矢量ne在质点所在位置处，在质点所在位置处，其方向为垂直于其方向为垂直于 并指并指向质点运动轨迹的凹向质点运动轨迹的凹侧侧te0dd0ddtetent，在平面自然坐在平面自然坐标系中，它们标系中，它们的方向不断变的方向不断变化化第九页，讲稿共二十五页哦2-3 平面曲线运动平面曲线运动圆周运动的切向加速度和法向加速度圆周运动的切向加速度和法向
8、加速度设一质点作半径为r的圆周运动，在平面自然坐标系中，任一时刻，质点的运动速度可表示为ter1v1 te2v2te1 te2tetevetvevttvatttddddddddtetettt0limdd质点运动的加速度为质点运动的加速度为rsdd111ttee ntteeetdd0时，dddd21ttteee vtsddotevvnetddnetsrdd1nerv 第十页，讲稿共二十五页哦2-3 平面曲线运动平面曲线运动nnttnteaeaetvetvadddd切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度tvatddrvtsrvtvan2dddd加速度的大小加速度的大小22ntaaa加速度的方向加
9、速度的方向tnaaarctan 为为 与与 之间的夹角之间的夹角 va描述速度大小变化的快慢，方向沿切线描述速度方向变化，方向沿法线指向圆心第十一页，讲稿共二十五页哦22222dd vtvaaanttnaaarctan推广：对于一般的曲线运动推广：对于一般的曲线运动匀速直线运动变速直线运动匀速曲线运动变速曲线运动利用自然坐标，一切运动都可用切向、法向加速度表示atanaatene00tnaa，00tnaa，00tnaa，00tnaa，ntnnttevetveaeaa2dd与的夹角a2-3 平面曲线运动平面曲线运动为质点所在处运动轨迹的曲率半径几种典型运动第十二页，讲稿共二十五页哦2-3 平面曲
10、线运动平面曲线运动例例解解(1)质点作圆周运动的速度btvtsv0ddbtstvat22ddddrbtvrvan202切向加速度法向加速度rbtvbraaatn402222rbbtvaatn20tanarctanarc(1)求 t 时刻质点的总加速度；(2)t为何值时总加速度在数值上等于b？(3)当加速度达到b时，质点已沿圆周运行了多少圈？一质点沿半径为r的圆周按规律 运动，v0、b都是常量2021bttvs第十三页，讲稿共二十五页哦2-3 平面曲线运动平面曲线运动(2)由题意a=b，即bbtvbrr4022)(1bvt0(3)从t=0开始到t=v 0/b 时间内，质点经过的路程为bvssst
11、2200质点运行的圈数为 brvrsn4220第十四页，讲稿共二十五页哦2-4 转动刚体的角速度和角加速度转动刚体的角速度和角加速度一、刚体的平动与转动一、刚体的平动与转动二、转动刚体的角速度和角加速度二、转动刚体的角速度和角加速度三、刚体的匀变角速转动三、刚体的匀变角速转动四、定轴转动刚体上各点的速度和加速度四、定轴转动刚体上各点的速度和加速度刚体刚体在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体显著特征显著特征在运动过程中，构成刚体的任意两质点之间的距在运动过程中，构成刚体的任意两质点之间的距离保持不变离保持不变第十五页，讲稿共二十五页哦2-4 转动刚
12、体的角速度和角加速度转动刚体的角速度和角加速度刚体的平动刚体的平动刚体运动时，连接刚体上任意两点的直线刚体运动时，连接刚体上任意两点的直线的方向始终不变的方向始终不变ABABABAB在运动过程中，刚体上各点在任一时刻都在运动过程中，刚体上各点在任一时刻都具有相同的速度和加速度具有相同的速度和加速度基本特征基本特征一、刚体的平动与转动一、刚体的平动与转动或者说，或者说，刚体内任意两点间的连线总是平行于刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线它们的初始位置间的连线或者说，或者说，刚体中所有点的运动轨迹形状都保刚体中所有点的运动轨迹形状都保持完全相同持完全相同平动是刚体的一种基本运动形
13、式，刚体做平动时，刚体上各点运动都相同，可用其上任何一点的运动来代表整个刚体的运动第十六页，讲稿共二十五页哦转轴转轴2-4 转动刚体的角速度和角加速度转动刚体的角速度和角加速度刚体的转动刚体的转动刚体运动时，刚体上各点都绕刚体运动时，刚体上各点都绕同一同一直线直线作圆周运动作圆周运动定轴转动实例定轴转动实例刚体的定轴转动刚体的定轴转动转轴的位置和方向固定不动且不转轴的位置和方向固定不动且不随时间改变的刚体转动随时间改变的刚体转动在运动过程中，刚体作为一个整体在转动，其上各点都做圆周运动基本特征基本特征门、窗、时钟指针等门、窗、时钟指针等瞬时转轴瞬时转轴：转轴随时间变化一般转动一般转动固定转轴固
14、定转轴：转轴不随时间变化刚体定轴转动刚体定轴转动各质点做圆周运动的平面垂直于转轴，且圆心都在 转轴上各质点的径矢在相同的时间内转过的角度相同各质点具有相同的角速度和角加速度第十七页，讲稿共二十五页哦刚体的一般运动刚体的一般运动一个汽车轮子在地上的滚动A、B、C、各点的运动都不相同刚体的运动平动转动刚体的运动平动转动绕过O 轴的转动ABCOO轮子的平动B C A OBACOOOBACABC第十八页，讲稿共二十五页哦2-4 转动刚体的角速度和角加速度转动刚体的角速度和角加速度二、转动刚体的角速度和角加速度二、转动刚体的角速度和角加速度 t角坐标角坐标刚体绕定轴转动的运动学方程刚体绕定轴转动的运动学
15、方程规定规定从上向下看，当径矢从上向下看，当径矢 从从Ox轴开始轴开始沿逆时针方向转动时，角坐标为沿逆时针方向转动时，角坐标为正值；正值；r00当径矢当径矢 从从Ox轴开始沿顺时针方向轴开始沿顺时针方向转动时，角坐标为负值转动时，角坐标为负值rPrxOzS第十九页，讲稿共二十五页哦正负法正负法刚体转轴的空间方位随时间变化时刚体转轴的空间方位随时间变化时，把右手拇指伸直，其余四指沿刚体转动方向弯曲，则拇指所指方向就是角 速度矢量的方向右手法则右手法则2-4 转动刚体的角速度和角加速度转动刚体的角速度和角加速度 ttt角位移角位移tttddlim0角速度的角速度的大小大小角速度角速度描述刚体绕定轴
16、转动快慢与转动方向的物理量描述刚体绕定轴转动快慢与转动方向的物理量工程上的角速度工程上的角速度602 n角速度的角速度的方向方向刚体转轴的空间方位固定不变时刚体转轴的空间方位固定不变时，若刚体沿正方向转 动，即d0，则角速度为正；反之为负(n的单位：rmin-1)第二十页，讲稿共二十五页哦2-4 转动刚体的角速度和角加速度转动刚体的角速度和角加速度角加速度角加速度220ddddlimtttt角加速度的角加速度的大小大小刚体绕定轴转动时角加速度的刚体绕定轴转动时角加速度的方向方向1001正负法正负法22第二十一页，讲稿共二十五页哦2-4 转动刚体的角速度和角加速度转动刚体的角速度和角加速度三、刚
17、体的匀变角速转动三、刚体的匀变角速转动当刚体绕定轴转动的角加速度的大小当刚体绕定轴转动的角加速度的大小 为恒量为恒量时，刚体做匀角变速转动时，刚体做匀角变速转动t0)(2020220021tt质点直线运动和刚体绕定轴转动的比较质点直线运动和刚体绕定轴转动的比较 质点直线运动 刚体绕定轴转动 坐标 x=x(t)角坐标=(t)txvdd tdd 22ddddtxtva 22ddddtt atvv0，a 为常数 t0，为常数 22100attvxx 22100tt)(20202xxa vv)(20202 第二十二页，讲稿共二十五页哦2-4 转动刚体的角速度和角加速度转动刚体的角速度和角加速度四、定轴
18、转动刚体上各点的速度和加速度四、定轴转动刚体上各点的速度和加速度刚体绕定轴转动的特点刚体绕定轴转动的特点刚体内所有的点都绕定轴作圆周运动刚体内所有的点都绕定轴作圆周运动组成刚体的每个质点具有相同的角速度，都等于刚体的角速度组成刚体的每个质点具有相同的角速度，都等于刚体的角速度每个质点的角加速度也相同，都等于刚体的角加速度每个质点的角加速度也相同，都等于刚体的角加速度rvtanaateterv22rrvannterera2ddrs rtrtsvddddrtrtvatdddd第二十三页，讲稿共二十五页哦t=300s时，n=18000 rmin-12-4 转动刚体的角速度和角加速度转动刚体的角速度和
19、角加速度由题意可知解解kttdd分离变量，代入上下限积分得ttkt00dd221kt0=0602 n602212nkt32srad7515tnk于是，转子的角速度为1502tt dd150dd2tt分离变量，代入上下限积分得ttt020d150d3450t在300s内，转子转过的转数为 圈4331039003009002tN由角速度的定义在高速旋转的微型电动机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动开始时其角速度0=0，经过300s后，其转速达到18000rmin-1已知转子的角加速度与时间成正比，问在这段时间内，转子转过多少转？例例2-6第二十四页，讲稿共二十五页哦2-4 转动刚体的角速度和角加速度转动刚体的角速度和角加速度习题习题2-13解解(1)由题意及角速度和角加速度的定义得质点作圆周运动，轨道半径r=0.2m,以角量表示的运动方程为22110tt试求：(1)第3s末的角速度和角加速度；(2)第3s末的切向加速度和法向加速度的大小tt10dd2-sradddt角速度角加速度(2)由切向加速度和法向加速度的定义得切向加速度法向加速度2.0rrat2210trran-1s3srad13t-2s3sradt2s3sm2.0tta22s3sm8.33tna第二十五页，讲稿共二十五页哦